快速求解關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的速度

鐘俊敏

(江西省新余市第四中學(xué),江西 新余 338000)

兩個(gè)相互接觸的物體的關(guān)聯(lián)速度的求解,一直是關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的教學(xué)難點(diǎn),又往往成為考查的重點(diǎn)．因?yàn)樗茌^好地檢測學(xué)生對運(yùn)動(dòng)合成與分解的掌握程度,又能較好地甄別學(xué)生矢量運(yùn)算能力．

關(guān)聯(lián)體是指兩個(gè)(或以上)相互關(guān)聯(lián)的物體,通常由輕繩或輕桿系在一起,或直接擠壓在一起運(yùn)動(dòng)．由輕繩(或桿)連接的兩個(gè)物體沿著繩子(或桿子)方向的分速度相等,這類關(guān)聯(lián)體運(yùn)動(dòng)比較形象,學(xué)生容易掌握．本文主要研究后者,即兩個(gè)直接擠壓接觸在一起的物體的運(yùn)動(dòng)(如圖1所示)．將物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)(即合運(yùn)動(dòng)),分解成幾個(gè)簡單的分運(yùn)動(dòng),逐個(gè)研究,找出其分運(yùn)動(dòng)的速度,再按其效果合成．如勻加速直線運(yùn)動(dòng)(位移):x=v0t+at2/2,分解為x1=v0t的勻速直線運(yùn)動(dòng),與x2=at2/2的勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩個(gè)運(yùn)動(dòng)分別進(jìn)行,再將兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)合成．不在一條直線上時(shí),按矢量的平行四邊形定則合成．這樣,教師講解思路清晰,學(xué)生理解過程簡單,能準(zhǔn)確找出關(guān)聯(lián)的關(guān)系,快速得出正確結(jié)果．

例1.如圖1所示,將傾角為的θ楔型木塊B放在光滑水平面上靠墻邊處,并用手扶著,然后在木塊和墻面之間放入一個(gè)小球A．放手讓小球和木塊同時(shí)由靜止開始運(yùn)動(dòng),某一時(shí)刻二者速度分別為vA和vB,則

(A)vA∶vB=1∶1.

(B)vA∶vB=sinθ∶cosθ.

(C)vA∶vB=cosθ∶sinθ.

(D)vA∶vB=sinθ∶tanθ.

解析:小球A的實(shí)際的速度vA(合運(yùn)動(dòng))豎直向下,它的運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)效果,一是沿斜面向下的運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度v1,二是垂直斜面向下的運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為v2,如圖2(甲)所示,則有v2=vAcosθ.

圖1

圖2

楔形木塊B的實(shí)際的速度vB(合運(yùn)動(dòng))水平向右,它的運(yùn)動(dòng)也有兩個(gè)效果,一是沿斜面向上的運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度v3,二是垂直斜面向下的運(yùn)動(dòng),設(shè)其速度為v4,如圖2(乙)所示,則有v4=vBsinθ.

又因二者在垂直斜面方面上緊緊地?cái)D壓在一起,則它們在垂直斜面方向上的分速度相等,于是有v2=v4.

由以上各式得vA∶vB=sinθ∶cosθ,故選(B).

這種解法要分解兩個(gè)矢量,學(xué)生對一個(gè)矢量分解就不易理解．并且學(xué)生對于“兩個(gè)物理沿彈力方向的速度相等”更不好理解．形成了思維障礙,導(dǎo)致了教學(xué)難點(diǎn)．

新解:運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解方法,把A球的運(yùn)動(dòng)分解成二個(gè)運(yùn)動(dòng)(如圖3所示):A隨B水平向右的勻速直線運(yùn)動(dòng)[如圖3(甲)所示],速度為vB;A沿斜面B向下的勻速運(yùn)動(dòng)[如圖3(乙)所示],速度為v,兩個(gè)運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的,故合速度vA與兩個(gè)分速度矢量關(guān)系如圖3(丙)所示．這樣只有一個(gè)矢量圖,幾何關(guān)系明顯,由vA∶vB=tanθ,得(B)正確．

圖3

圖4

練習(xí)1.如圖4所示,一根長為L的輕桿OA,O端用鉸鏈固定,輕桿靠在一個(gè)質(zhì)量為M,高為h的物塊上．若物塊與地面的摩擦不計(jì),桿上B點(diǎn)垂直桿的速度為v2,此時(shí)桿與水平方向的夾角為θ,求此時(shí)物塊向右運(yùn)動(dòng)的速度v．

解析:將物體的運(yùn)動(dòng)分解為沿桿方向的平動(dòng)v1,和沿O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),即切線方向垂直于桿的運(yùn)動(dòng)v2,如圖5所示,可見v2=vsinθ.

圖5

圖6

例2.一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度v0勻速運(yùn)動(dòng)．在半圓柱體上擱置一根豎直桿,此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng),如圖6所示．當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ時(shí),求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度．

解析:由于半圓柱體對桿的彈力沿OP方向,所以將豎直桿向上的速度v沿OP方向和沿半圓的切線方向分解,如圖7(甲)所示,將半圓柱體水平向右的速度v0也沿OP方向和沿半圓的切線方向分解,如圖7(乙)所示．二者在垂直于接觸面的方向上(即OP方向)的分速度相等,于是有:v0sinθ=vcosθ,解得v=v0tanθ．

圖7

這種解法同樣要分解兩個(gè)矢量,學(xué)生不易理解．

新解:將豎桿的運(yùn)動(dòng)分為二個(gè)運(yùn)動(dòng):一個(gè)沿柱面做圓周(曲線)運(yùn)動(dòng),速度v1與圓面相切,垂直于OP向上[如圖8(甲)所示];桿與柱面共同向右平動(dòng),速度為v0[如圖8(乙)所示],水平向右．而桿的實(shí)際運(yùn)動(dòng)(即合運(yùn)動(dòng))豎直向上,大小為v,因?yàn)橥瑫r(shí)進(jìn)行,故矢量圖[如圖8(丙)所示],得v=v0·tanθ.

圖8

練習(xí)2.如圖9所示,一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點(diǎn),用釘子靠著線的左側(cè),沿與水平方向成30°角的斜面向右以速度v勻速運(yùn)動(dòng)至圖中虛線位置,運(yùn)動(dòng)中始終保持懸線豎直,下列說法正確的是

圖9

圖10

(C) 橡皮的速度與水平方向成60°角.

(D) 橡皮的速度與水平方向成45°角.

上述方法,把一個(gè)運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)簡單運(yùn)動(dòng),分別進(jìn)行研究．學(xué)生容易理解,也容易找出分運(yùn)動(dòng)的速度．合成時(shí)只有一個(gè)矢量圖,學(xué)生容易理解,降低了難度,不防一試．