具有指數項的高維循環差分方程的動力學性質

(湖南大學 數學與計量經濟學院,湖南 長沙 410082)

隨著計算機的迅速發展,差分方程理論不僅在數值分析等領域中有廣泛的應用,而且成為通信理論、現代控制論、神經網絡科學和社會經濟活動等的重要數學工具。差分方程已成為數學領域特別是動力系統研究中的一個重要分支,理論意義和應用價值重大，得到了深入研究[1-6]。指數型差分方程是用來描述自然現象變化規律的重要工具之一。隨著生物數學、現代物理、管理科學等自然科學及邊緣性學科的不斷發展，近年來，提出了許多應用指數型差分方程來描述的數學模型[7-13]，如[14]

xn+1=axn+bxn-1e-xn,

其中參數a,b∈(0,+∞),初始值x-1、x0為正數,n=0,1,2,…。文獻[15]中進一步把文獻[14]中的結果推廣到一類指數型差分方程，即

其中c、d也是正常數，并且初始值y-1、y0也是正值。由于總是有多個物種在同一區域中同時生存，因此，種群間存在諸如捕食、競爭、協作等相互作用。研究單種群或兩種群模型的目的之一是為研究多種群間的相互作用奠定基礎。上述模型耦合的多種群生物數學模型為

(1)

1 主要結果與證明

定理1若系統中正實數ai、bi滿足

ai,bi∈(0,1),i=1,2,…,m,

(2)

則系統(1)的任一解是有界的。

因為fi(0)=M,

所以fi(x)≤M,x∈[0,M]。由此可推出

定理21)若系統(1)中正實數ai、bi滿足條件(2)，并且

(3)

2)若系統中正實數ai、bi滿足條件(2)，并且

(4)

則零平衡點(0,0,…,0)是系統(1)的唯一非負平衡點。

證明：1)考慮函數

hi∶+→+,

顯然，hi(x)嚴格單調遞增。定義

其中I為恒等函數，°為函數的復合運算。令xm+1=x1考慮代數方程組xi+1=hi(xi),i=1,2,…,m，可推出對任意j∈{1,2,…,m}有

hj(xj)+xj]。

定義

定理3若系統(1)中正實數ai、bi滿足條件(2)，并且ai+bi<1,i=1,2,…,m,

(5)

則系統(1)的任意解收斂于零平衡點。

(6)

考慮差分方程系統

(7)

則由式(6)、(7)可得

(8)

下面證明系統(7)的任一正解收斂于零平衡點(0，0，…，0)。

系統(7)等價于系統

(9)

A=

根據定理的已知條件，可選取一個常數ε>0滿足

(10)

(11)

其中

T-1AT=

由式(10)可知，εm<1且

從而有|T-1AT|<1。

設λi是矩陣A的特征值，則

|λi|≤|T-1AT|<1,i=1,2,…,2m，

因此，系統(11)的任一正解收斂于零平衡點(0,0,…,0)從而推出系統(9)的任一正解收斂于零平衡點(0,0,…,0)。由式(8)可知，定理的結論成立。

2 結論

高維非線性差分方程的研究既有理論方法的困難，也有幾何描述和數值計算的困難，因此，高維非線性差分方程的研究難度比低維情形的大得多，相關研究工作也很少。本文中在借鑒已有研究理論的基礎上，對一類可作為生物數學模型的高維指數型差分方程的動力學行為進行了有益的研究和探索，不僅拓展了差分方程模型，也突破了維數的限制。本文中的主要結果都是在充分性條件下獲得的，還有進一步改進的空間，今后將對方程中的參數個數及單個方程進行進一步拓展和深入研究。