噴霧干燥過程中霧滴內傳質與傳熱方程的數值求解

張同旺，張 翊，朱丙田，劉凌濤，韓 穎，何廣湘，陳海英

(1.中國石化 石油化工科學研究院，北京 100083;2.北京石油化工學院 化學工程學院，北京 102617;3.青海大學 化工學院，青海 西寧 810016)

噴霧干燥方法制備的催化劑顆粒呈球形，具有良好的流動性和耐磨性，適合在流化床中使用[1]。霧滴隨熱空氣運動過程中，傳熱與傳質同時進行。噴射的霧滴與熱空氣接觸，熱量以對流方式從空氣傳給霧滴，將水分蒸發變為汽化潛熱；同時水從料霧中蒸發，蒸發的水分經過霧滴周圍的邊界層由對流傳入空氣。

蔣維鈞、王喜忠等[2-3]研究發現，濕物料中的水分為非結合水和結合水，非結合水的汽化與自由液面水的汽化相當，霧滴表面溫度及蒸汽分壓保持不變，由表面氣膜的擴散阻力控制，為恒速干燥階段；然后是結合水的干燥，干燥速率取決于物料的性質、結構、形狀尺寸，與干燥介質的流速關系不大，為降速干燥階段，又稱為物料內部遷移控制階段。

若空氣溫度過高，水分很快蒸發，則霧滴內部水分遷移率不能維持霧滴表面濕潤，使霧滴內的濕度梯度較大，且霧滴表面很快就形成干燥層，而干燥層又會嚴重阻礙水分的傳遞，將水分滯留在霧滴內部；傳入的熱量又會使霧滴內的水分氣化，導致霧滴內壓力升高，將干燥層崩開，使細粉增加，并有可能對所制備催化劑的微觀結構產生影響[4]。因此，對噴霧干燥過程開展研究，對于生產球形度高、流化性能好、細粉量小的催化劑具有重要意義。

噴霧干燥過程中，霧滴內的傳遞過程與霧滴外流體(熱空氣)流動是既獨立又相互影響的關系，二者通過霧滴表面的傳熱和傳質相互關聯。目前對于噴霧干燥的研究主要圍繞噴霧干燥塔內氣體的流動展開，將霧滴視為一個濕度、溫度均勻的霧滴[5-6]。這與實際相去甚遠，也會影響計算結果的準確性。周健[7]利用CFX的UserFortran將霧滴內傳遞與霧滴外流動相結合，對噴霧干燥過程進行了初步探索，但霧滴內傳遞方程計算速率較低。筆者目的是建立霧滴內部的傳質、傳熱模型，并找到進行快速、準確數值計算的方法，為后續霧滴內外傳遞行為的耦合作準備。

1 霧滴中的傳質與傳熱方程

1.1 傳質方程

(1)

(2)

式中，C為水的質量分數，kg/kg；D為水在霧滴內的擴散系數，m2/s；r為徑向位置，m。

圖1 噴霧干燥催化劑電鏡照片Fig.1 SEM of spray drying catalyst

催化劑制備流程如圖2所示，先將分子篩、高嶺土、擬薄水鋁石與水混合加入剪切機分散打成漿液，然后加入鹽酸剪切制成固體質量分數為20%～35%的均勻膠體，上述膠體老化12 h后制成均勻的膠體，再由噴霧干燥塔頂部霧化器霧化成中位粒徑100 μm左右的小霧滴，并與熱空氣接觸實現干燥，霧滴離開霧化噴嘴時，霧滴內各個位置處水的質量分數即為膠體中水的質量分數C0，故其初始條件為：

C(r,0)=C0

(3)

由于角方向濃度均勻，徑向位置相同則水的質量分數相同，采用中心差分求濃度梯度，則霧滴中心處的濃度梯度為0[10]。霧滴表面則由于與外界存在濃度差，并且溫度較高，液體氣化并向霧滴外空間擴散。此處采用雙膜理論，認為霧滴表面的傳質速率與霧滴表面水的濃度及飽和蒸氣壓成正比，故式(1)的邊界條件為：

圖2 催化劑制備工藝流程圖Fig.2 Scheme of the catalyst preparation process

(4)

式中，R為顆粒半徑，m；p為溫度T下水的蒸氣壓，kPa；k為霧滴表面傳質系數，m/(s·kPa)；kCp(T)為顆粒表面水的傳質速率，kg/(m2·s)。

1.2 傳熱方程

與傳質方程類似，傳熱方程有：

(5)

式中，T為溫度，℃；ρ為顆粒密度，kg/m3；cp為顆粒的比熱容，J/(kg·℃)；λ為導熱系數，W/(m·℃)；離開噴嘴時霧滴內各處的溫度相等且為物料的初始溫度T0，故其初始條件為：

T(x,0)=T0

(6)

由于霧滴內角方向溫度均勻，故中心處的溫度梯度為0。霧滴表面溫度的變化率不僅與霧滴表面的傳熱速率有關，還與霧滴表面液體蒸發氣化吸收的熱能有關，故顆粒表面的傳熱速率為傳遞進入的熱量-液體氣化吸收的熱量，即式(5)的邊界條件為：

(7)

式中，α為霧滴表面的傳熱系數，W/(m2·℃)；h為水的蒸發焓，J/kg。

1.3 數值求解

式(2)、式(5)形式類似，邊界條件類似，且霧滴表面為第三類邊界條件。趙秉新等[12-15]對形如式(2)、式(5)的數值求解方法進行了較為深入的研究，尋找高階精度且穩定性好的離散格式，首先對空間項進行高精度離散，將方程化為各個節點上值為未知數的常微分方程組，然后對該常微分方程組應用龍格-庫塔算法進行數值求解，但趙秉新等考察的邊界條件均為第一類邊界條件，邊界處的函數值可以顯式求解，而對于霧滴表面的傳質與傳熱，均無法用顯式格式直接求解。因此須將邊界條件進行特殊處理，也化為關于時間項的常微分方程，并與其他節點上的值一起采用龍格-庫塔方法進行求解。

1.3.1 方程離散化

由于式(2)、式(5)的形式一致，此處以式(2)為例討論離散格式及最外層邊界條件的處理。將空間劃分為n-1個網格，共計n個節點，r1為顆粒中心，rn為顆粒表面。對于中心點，其導數為0，即式(2)右側一階偏導項為0，對右側二階偏導項采用二階精度的中心差分格式進行離散，則有：

(8)

式中，C1為第1個空間離散節點上水的質量分數，即中心的濃度，C2為第2個空間節點上水的質量分數，其余類推。對于非邊界點，式(2)右側偏導項也采用具有二階精度的中心差分格式進行離散，則各個節點離散后的格式為：

(9)

對式(2)關于最外層網格進行積分：

(10)

(11)

令：

將式(11)代入式(10)可得：

(12)

將邊界條件式(4)代入式(12)可得：

(13)

Tn為顆粒表面的溫度，則顆粒表面濃度的時間導數為：

(14)

將上述方法應用于傳熱方程式(5)和邊界條件式(6)、式(7)，霧滴內傳質、傳熱方程可化為如下的半離散常微分方程組：

(15)

1.3.2 方法驗證

張亞剛等[12,16-18]將中心差分數值格式應用于有精確解的算例，用于驗證該數值格式的準確性。為了驗證前述數值方法的準確性，筆者將如下的初始條件和邊界條件應用于式(2)，

(16)

(17)

則式(2)其解析解為：

(18)

式(16)和式(17)與式(6)和式(7)同屬第三類邊界條件，故式(18)可用于檢驗前述數值方法的準確性，其相應式(15)空間離散后的常微分方程組為：

(19)

對式(19)采用龍格-庫塔算法求解，令空間步長Δr=0.01 mm、D分別為0.01和0.20 mm2/s，如圖3所示。D值不同，曲線的變化規律差別較大，當D=0.20 mm2/s 時，徑向分布隨時間、沿徑向均單調下降，數值結果與解析解吻合較好；當D=0.01 mm2/s 時，徑向分布為波動曲線，振幅隨時間逐漸降低，還會出現不具有物理意義的負值，但數值結果依然與解析解吻合較好。這表明前述的數值求解算法能夠用于求解噴霧干燥過程中霧滴內的傳質與傳熱。

2 實際體系求解

圖3 數值解與解析解的比較Fig.3 The comparison between numerical and analytical solution

水的密度取值ρ=900 kg/m3，水的比熱容取值為cp=4 kJ/kg，初始溫度為60 ℃、霧滴的水的質量分數0.3，查物化手冊得不同溫度時水的飽和蒸氣壓，霧滴內水的質量分數和溫度徑向分布隨時間的變化如圖4 所示。

霧滴噴入流場后，霧滴內的溫度急劇上升，在較短時間內即上升至系統溫度；霧滴表面的水的質量分數快速降低，受擴散影響，霧滴中心處水的質量分數下降趨勢相對較慢。

此處未考慮水蒸發導致環境濕度變大及其對界面處傳質速率的影響；采用的擴散系數為定值，沒有考慮水的質量分數降低后水的擴散速率會降低以及對水的質量分數徑向分布的影響；此處的導熱系數為水的導熱系數，當含水量較大時，這種近似較為合理，但水量減少后，固體的導熱系數的作用增加；這些都會使計算結果與實際結果有所差別，未來在對噴霧干燥塔內的流場進行計算流體力學模擬、并將霧滴內外的流場相互耦合時，須綜合考慮擴散系數、導熱系數，以及霧滴表面的傳質系數和傳熱系數等隨濃度的變化關系，才可能真實描述工藝條件對噴霧干燥效果的影響，進而指導工藝條件的優化。

圖4 霧滴內水的質量分數與溫度的分布Fig.4 The mass fraction of water and temperature in aqueous

3 結 論

(1)將廣義Navier-Stokes方程應用于噴霧干燥過程中的霧滴，并進行簡化，建立了霧滴的傳質、傳熱模型。

(2)由于霧滴表面的邊界條件為第三類邊界，無法對霧滴表面的水的質量分數、溫度進行顯式求解，將邊界條件與霧滴的傳遞模型相結合，采用中心差分格式對空間項進行離散，將傳質、傳熱模型化為每個節點上關于時間的常微分方程組，并應用龍格-庫塔法求解，建立了快速求解霧滴內濃度、溫度分布的方法。以具有解析解的某個特殊方程對前述結果進行數值實驗。結果表明，前述方法準確、可靠。

(3)應用前述數值求解方法求解實際霧滴內水的質量分數、溫度分布，結果合理。隨時間進行，霧滴溫度急劇升高，霧滴表面的水的質量分數快速降低，中心的水的質量分數降低趨勢相對緩和。