整合課本與資料 探究與拓展并行*
——“直線與圓相切”微專題課堂實(shí)錄

☉甘肅省天水市第一中學(xué) 劉 怡

本節(jié)課是筆者參加與兄弟學(xué)校同課異構(gòu)交流活動(dòng)時(shí)所做的課堂實(shí)錄.教學(xué)設(shè)計(jì)綜合考慮高考題的考點(diǎn)，復(fù)習(xí)資料中學(xué)生的難點(diǎn)，課本中的一些經(jīng)典習(xí)題，試圖將直線與圓相切的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地整合在一起，設(shè)計(jì)成適合學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的高三一輪復(fù)習(xí)課.

考情分析：在全國卷文科試題中，直線與圓位置關(guān)系中的相切問題是高頻考點(diǎn).試題大多帶有綜合性，內(nèi)容涉及對(duì)稱、定點(diǎn)、定值、最值等題型.試題強(qiáng)調(diào)幾何問題代數(shù)化，代數(shù)問題幾何化的意識(shí)，要求提高應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的能力.

學(xué)情分析：授課班級(jí)為高三文科普通班

（1）學(xué)生做復(fù)習(xí)資料題時(shí)遇到的難點(diǎn)：對(duì)過圓外一點(diǎn)引圓的兩切線，求兩切點(diǎn)所在的直線方程的這類問題存在解題困難.

（2）對(duì)圓的幾何性質(zhì)掌握較差，且缺少探究，在解答直線與圓有關(guān)的問題時(shí)，偏重代數(shù)運(yùn)算，忽略圓的幾何性質(zhì)，從而將簡單問題復(fù)雜化.

（3）僅會(huì)運(yùn)用基本方法解答問題，運(yùn)算過于繁瑣，對(duì)“設(shè)而不求”等思想方法缺乏理解，不會(huì)運(yùn)用.

教學(xué)目標(biāo)：（1）會(huì)探究直線與圓相切的相關(guān)問題.例如求切線方程、切線長、兩切點(diǎn)連線所在的直線方程等.（2）能結(jié)合直線與圓相切的幾何性質(zhì)來解決一些最值問題.

重點(diǎn)：過圓外一點(diǎn)引圓的切線，求兩切點(diǎn)所在的直線方程.

難點(diǎn)：有關(guān)直線與圓相切的最值問題.

一、課堂簡錄

1.直線與圓相切幾何元素的探究

例1 過點(diǎn)O（0，0）作圓M：（x-3）2+（y-4）2=5的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q.

（1）試求切線OP、OQ的直線方程.

變式2：過點(diǎn)（2，6），求圓的切線方程呢？

讓兩名學(xué)生同時(shí)在黑板上解答例1（1）.

生1：設(shè)切線方程為y=kx，聯(lián)立方程得（k2+1）x2-（6+8k）x+20=0，然而在計(jì)算Δ=0時(shí)出錯(cuò).

教師點(diǎn)評(píng)：學(xué)生2側(cè)重幾何法，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，然后用此性質(zhì)進(jìn)行求解.學(xué)生1側(cè)重代數(shù)法，直線與圓的方程聯(lián)立后，讓判別式等于0，進(jìn)而求得切線斜率.相比而言幾何法運(yùn)算量少，不容易出錯(cuò).但是聯(lián)立方程的方法是討論直線與圓錐曲線位置關(guān)系的基本方法，具有一般性.可以遷移到直線與橢圓、雙曲線、拋物線相切的相關(guān)問題上.

師：變式1先不計(jì)算，并思考在解答中和（1）有什么相同和不同嗎？

生3：等量關(guān)系和前者相同，解題思路也一樣.

生4：點(diǎn)都在圓外，要用點(diǎn)斜式設(shè)切線方程.

生5：數(shù)字比之前的麻煩，并且?guī)в懈?hào).

師：同學(xué)們說的這些都對(duì)，大家有沒有注意到設(shè)點(diǎn)斜式的前提是斜率存在，結(jié)合圖形這個(gè)圓有兩條斜率不存在的切線，x=3±作出圖形），因此，數(shù)據(jù)代入得到的方程只能求出一條切線的斜率，另外一條就是斜率不存在的x=3-

師：從圖形中可以很直觀的看出前兩題的點(diǎn)都在圓外，那么變式2呢？就不那么直觀了，我們可以借助方程來判斷.

學(xué)生齊聲：點(diǎn)在圓上.

生6：因?yàn)榍芯€和過切點(diǎn)的半徑垂直，故求出切線斜率即可.

師生總結(jié)：過一點(diǎn)求圓的切線，首先要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.若點(diǎn)在圓上則是一條切線；若點(diǎn)在圓外則是兩條切線，如若方程此時(shí)只有一解，說明另外一條切線的斜率不存在.

（2）求切線OP、OQ的長度.

（3）求兩切點(diǎn)連線PQ的直線方程.

生8：聯(lián)立切線與圓的方程，求切點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線方程.

生9：只需求出一個(gè)切點(diǎn)即可，PQ和OM垂直，用點(diǎn)斜式更簡單.

師：你覺得哪個(gè)切點(diǎn)運(yùn)算簡單些？

全班齊聲：Q點(diǎn).

全班動(dòng)手運(yùn)算得出結(jié)果，PQ的直線方程為：3x+4y-20=0.

師：以上解法是代數(shù)解法，記作解法一.注意觀察圖形，大家還能發(fā)現(xiàn)其他解法嗎？

生10：因?yàn)椤螼PM=∠OQM=90°，所以P，Q兩點(diǎn)在以O(shè)M為直徑的圓上，以O(shè)M為直徑的圓的方程為x2-3x+y2-4y=0，因此PQ是兩圓公共弦所在的直線方程.與圓M相減即可得PQ的直線方程.

師：這個(gè)方法是幾何解法，記作解法二，其運(yùn)算的確比解法一更為簡便.大家還能找到其他解法嗎？

全班沉思中，沒有學(xué)生主動(dòng)發(fā)言.

師：對(duì)MP⊥OP也可以用向量構(gòu)建等量關(guān)系.設(shè)切點(diǎn)P（x，y），由=0得x2-3x+y2-4y=0，同理Q點(diǎn)也滿足此方程，即這個(gè)方程是過P，Q兩點(diǎn)的圓，以下同解法二.

解法三是解法一和解法二的綜合，在此過程中要注重對(duì)點(diǎn)的設(shè)而不求的解題方法.

例2 （2015年江蘇10）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)A（1，0）為圓心且與直線l：mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.

師：首先要利用數(shù)形結(jié)合思想，認(rèn)真作圖.并思考這條直線有何特點(diǎn)？什么在變，什么沒變？

生齊聲：有定點(diǎn)，斜率在變.

師：求定點(diǎn).

生齊聲：（2，-1）.

師：不妨記為點(diǎn)P.

師：因?yàn)閳A與直線相切，所以圓心到動(dòng)直線的距離就是圓的半徑.利用電子黑板作圖軟件，繪制直線，并讓直線繞著定點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生仔細(xì)觀察定點(diǎn)A（1，0）到直線距離的變化，讓學(xué)生直觀感受.不一會(huì)兒，學(xué)生齊聲回答，當(dāng)PA⊥l時(shí)，PA

二、課堂小結(jié)

這節(jié)課我們對(duì)直線與圓相切的問題做了一個(gè)有機(jī)整合，此類題型涉及對(duì)稱、定點(diǎn)、最值等，同時(shí)對(duì)相切的幾何元素做了一個(gè)深入的學(xué)習(xí).一般解析幾何的解題思路不唯一，我們不要畏懼運(yùn)算，但更不能死算，在解決圓與直線相切的問題時(shí)，要善于分析圓的幾何性質(zhì)，并利用數(shù)形結(jié)合思想，才能找到更為簡便的計(jì)算方法.

“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海”，最后，希望我們能養(yǎng)成善于對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、反思的學(xué)習(xí)習(xí)慣，也祝愿大家在學(xué)習(xí)的道路上，不斷前行.

三、教學(xué)反思

高三復(fù)習(xí)中，學(xué)生和教師大都重資料而輕課本，容易陷入題海戰(zhàn)術(shù)之中，那么復(fù)習(xí)中如何落實(shí)核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生先把課本復(fù)習(xí)好，然后再以課本為生長點(diǎn)，讓學(xué)生體會(huì)很多高考題是對(duì)課本的變式、綜合或者拓展.以課本為生長點(diǎn)，對(duì)知識(shí)加以整合、探究并拓展，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)的深度學(xué)習(xí)，使復(fù)習(xí)更高效.整個(gè)課堂是師生在對(duì)話中交流，在合作中學(xué)習(xí)，因此課堂氣氛自然、流暢.

四、“微專題”的教學(xué)思考

1.專題的確定：遵循“真”、“實(shí)”、“小”的原則

“微專題”不求面面俱到，而是針對(duì)學(xué)生在單元復(fù)習(xí)和大專題復(fù)習(xí)中暴露出的在知識(shí)、方法和能力方面的薄弱環(huán)節(jié)，選擇切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的小專題，以學(xué)生復(fù)習(xí)中的“問題”促“專題”的生成，力求解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的“真問題”和“實(shí)問題”.教學(xué)設(shè)計(jì)主要是考慮到以下兩點(diǎn)因素：學(xué)生的難點(diǎn)和考試的熱點(diǎn).

2.注重知識(shí)的整合，突出“以小見大”

“微專題”的教學(xué)關(guān)鍵在于抓住課堂內(nèi)容的主線，讓學(xué)生在真情境、真討論、真問題、真思考中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，理清例題之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，這樣才能使學(xué)生做到“舉一反三”，“觸類旁通”.F