HPM視角下球體積公式推導的教學設計

☉上海市進才中學 張樂瑛

一、引言

祖暅原理是我國傳統數學中的一個非常重要的成就，在數學史上它與被稱為微積分萌芽的卡瓦列里定理是相媲美的；球體積公式的推導是古代幾何學中的一個難題，東西方好幾代數學家都竭盡智慧探求其精確公式.在滬教版高中數學教科書中由于篇幅有限，直接給出了祖暅原理以及由應用祖暅原理和長方體的體積推導出棱柱體積的結論，且對于球的體積公式僅有結論呈現.教材的安排很難讓學生真正理解祖暅原理，亦感悟不到古代數學家在推導球體積公式時所迸發出的創造性的思維火花和豐富的文化內涵，因此本文將嘗試從數學史的視角對祖暅原理以及球體積公式的推導進行教學設計.

二、數學史料

1.《九章算術》中的球體積公式

《九章算術》認為正方體與其內切圓柱的體積之比等于正方形和其內切圓的面積之比為4∶3（取π=3），等邊圓柱與其內切球的體積之比是4∶3（如圖1），于是得球與其外切正方體的體積之比為9∶16，即得公式

圖1

圖2

2.劉徽和牟合方蓋

圖3

圖4

牟合方蓋恰好把立方體的內切球包含在內并且同其相切，因此兩者的體積之比為面積之比

因為球體與牟合方蓋任何一個等高的截面面積之比均為π∶4，所以可以確定球體與牟合方蓋的體積之比亦為π∶4（如圖5）.此時，只要求出牟合方蓋的體積，球的體積便迎刃而解.

圖5

3.祖暅原理和球的體積

兩百年后，祖暅沿用劉徽的思想，利用牟合方蓋的理論去進行體積計算.祖暅首先取牟合方蓋的八分之一來進行研究，他沒有直接求八分之一牟合方蓋的體積，轉而研究從八分之一小正方體中扣除八分之一牟合方蓋后的剩余幾何體的體積.按常規說來，剩余幾何體形狀不規則，更不易求，但祖暅用平行于底的平面在高h處截八分之一正方體與牟合方蓋，發現截面在立方體內且在牟合方蓋外的部分由勾股定理計算可得面積S陰影=r2-（r2-h2）=h2（如圖6），且底邊為r，高也為r的倒立方錐在高h處的截面面積亦為h2，于是他發現兩個等高的幾何體在任意等高處的橫截面面積相同，即祖暅原理——緣冪勢既同，則積不容異，根據這一結論，通過計算得出V剩余=V倒立錐，V牟合方蓋=牟合方蓋=故得出

圖6

三、教學設計與實施

1.回顧歷史，提煉思路

教師：這節課首先讓我們跟隨前人探索和發現的腳步去重溫古人是如何推導出球體積公式這段歷史的.

學生閱讀材料.

教師：從材料中我們可以看到，當古人探索球體積這個新問題時，他們是怎么做的？

生1：將球的體積問題和正方體、圓柱的體積聯系起來.在高度相同的情況下，研究他們相切的面積之比作為體積之比.

教師：如果說面積是二維的，那么體積就是三維的，我們可以將體積問題向面積問題轉化，這里體現了一種什么解決問題的方法？

生2：降低維度，就是將復雜向簡單轉化.

教師：祖暅沿用了劉徽的思想，他第一個聰明的地方是將原來的“牟合方蓋”平均分為八份，取它的八分之一來研究.為什么可以這樣做？

生3：因為對稱性.

教師：祖暅第二個聰明的地方在于他沒有直接求八分之一牟合方蓋的體積，轉而求從小正方體中扣除八分之一牟合方蓋后的剩余體積.祖暅根據直覺和經驗提出祖暅原理，今后可以用微積分知識證明.通過短短的回顧球體積公式推導的歷史，我們看到了凝結在數學公式背后的努力和智慧，探索和突破，談談你印象最深刻的地方.

生4：劉徽的質疑和牟合方蓋的構造，祖暅的分解難點和轉化困難尋找突破的智慧.

2.應用原理，推導體積

教師：在這里最核心的就是祖暅原理，同學能把這個定理中的關鍵點提煉出來嗎？

教師板書：祖暅原理：兩個幾何體

（1）等高；

（2）任意高度截面面積相等；

（3）轉化為已知或者易求體積的幾何體.

教師：今天我們能否嘗試和古人一樣從已知體積的幾何體出發推導球的體積呢？想一想，我們前面學習了哪些幾何體的體積？如果想運用祖暅原理，必須是兩個幾何體同底等高，但球沒有底，我應該如何構造與它同底面的幾何體？

生5：我們已知圓柱、圓錐的體積，由球的對稱性，取二分之一的球體計算，半球是有底面的幾何體.

教師：在祖暅原理中，除了高度相同，我們要關注截面的面積是否相同，在不知道用什么幾何體來和半球對比時，我們可以從球的截面面積公式中尋找靈感，若已知球的半徑為r，則用與底面平行且高度為h的平面截球所得的截面形狀是什么？截面面積為多少？

生6：截面形狀為圓，截面面積S=πr2-πh2.

教師：這樣的形式，我們想到什么圖形的面積會是這樣？

生7：圓環.兩個同心圓，大圓的半徑為r，小圓的半徑為h，大圓中挖去小圓形成圓環.

教師：如果球是確定的，則半徑r是常數，而h是隨著截面高度變化而變化的.根據祖暅原理，下面我們該怎么做才能求出半球的體積.

生8：要找一個幾何體和半球等高，高度h的截面面積為S=πr2-πh2，一個圓柱去掉一個圓錐.底面半徑為r的圓柱、高（遲疑之際，同學提醒：等高）也為r，底面半徑和高均為r的圓錐.

教師：（畫出正立圓錐）是這樣的嗎？距離底面距離為h的截面的面積是πh2？

生9：不是，應該是π（r-h）2.應該是倒立的圓錐！

教師：（畫出倒立的圓錐）此時距離底面距離為h的截面的面積是πh2，你怎么想到的？

生10：祖暅想到的！所以根據祖暅原理，半球的體積等于圓柱的體積減去圓錐的體積，相當于是一個圓柱中挖去底面積相等，高度相同的圓錐（圖7）大家鼓掌！

圖7

教師：同學們通過對祖暅原理的學習，能夠將體積求解的關注點放在截面上進行觀察，從而通過截面的特征看到幾何體的構造.今天我們站在巨人的肩膀上，用傳統數學上的很重要的結論——祖暅原理，在短時間內完成了古人三百年探求的結論，說明我們只有跟隨前人探索和發現的腳步，才能將前人思考和突破的方法進行借鑒與創新.

3.理解思路，應用鞏固

教師：我們都知道球體可以看做是圓面繞直徑旋轉而成的旋轉體，如果橢圓繞對稱軸旋轉一周是一個橢球，那么你能嘗試求出來橢球的體積嗎？

例1 請在研究和理解球的體積公式求法的基礎上，解答問題：已知橢圓的標準方程為1，將此橢圓繞y軸旋轉一周后，得一橄欖狀的幾何體，求其體積.

生11：先研究在x軸上方的橢圓繞y軸旋轉所得的半個橢球的體積.

平行于x軸，且距離為y（y＞0）的直線交橢圓第一象限部分的交點為則對應平面截得橢球的截面是一個圓，面積為這個截面也可以看做是一個圓環，兩個同心圓，大圓半徑為2，小圓半徑為

根據祖暅原理，可構造幾何體，從一個圓柱中間挖去一個倒立的圓錐.所以橢球的體積為

教師：很好，該同學不僅正確地解決了這個問題，而且思路清晰，并將這類問題的解決步驟規范化，值得我們大家學習.（鼓掌）

四、結語

本節課屬于重構式的HPM教學案例，通過探尋數學歷史中球的體積公式的發展脈絡，從劉徽到祖暅，從球的體積到祖暅原理，讓學生經歷探究過程，感受古人在探究過程中的非凡智慧和探索精神.同時，將前人的結論進行借鑒和創新，嘗試后獲得成功的快樂.本教案在設計和實踐中，有如下感悟：

1.教學實踐中應選擇合適的數學史融入教學

我們在數學教學中經常會遇到學生有這樣的問題：為什么要學這個定理？它是怎么想到的？本節課根據教學內容選擇了重構式，重現劉徽構造牟合方蓋推導球的體積，祖暅提出祖暅原理得到球體積公式的完整過程.數學史的運用使定理的出現合理自然，同時也解決了對祖暅原理的內涵理解，應用方式等教學難點.數學教材需要保證知識的系統性，但也容易讓學生認為數學學習是靠死記硬背的方式去學習一些孤立的知識，解決這一矛盾的有效途徑之一是適當地將數學史融入日常教學中，做到既讓學生學習到系統的數學知識，又讓學生清晰地了解和認識到數學知識的產生過程，養成良好的思維方式，從而為創新思維的培養做好鋪墊.

2.教學實踐中應重視數學史中蘊含的數學思想和教育功能

科學家傅鷹教授有一句名言“科學只給我們知識，而歷史卻給我們智慧”.在學科學習中，了解知識的發展歷程，可以促進我們正確地理解科學本質.在球的體積公式的推導過程中，首先多次運用到轉化思想，如《九章算術》中公式雖然不對，但古人將空間問題轉化為平面問題處理的轉化思想蘊含其中；其次在推導過程中構造的思想方法亦不斷出現，學生印象最深刻的是祖暅將未知幾何體的體積與倒立正方錐的體積對等，在后面構造幾何體推導半球體積中根據截面面積S=πr2-πh2學生自然想到倒立的圓錐，教學難點不攻自破；最后，無論在劉徽構造牟合方蓋還是祖暅提出祖暅原理的過程中都蘊含著極限思想，從直到曲，從有限到無限，雖然沒有明確提出極限的概念，但是讓學生感受到極限的思想.

在歷史重構過程中學生經歷了古人揭開數學奧秘的艱辛歷程，經歷了令人振奮的探索過程，為劉徽和祖暅的智慧而驚嘆，為數學家敢于堅持真理的鉆研精神而心生敬佩，為古代數學的輝煌成就而感到自豪，從而激勵學生為科學的發展而努力學習.