多解賞析，變式探究
——一道直線與圓的最值試題

☉山東省日照第一中學 孫 蕾

直線與圓是解析幾何中的簡單圖形，但是它們兩者間的位置關系涵蓋方程與函數(shù)思想、數(shù)形結合思想等，常見的問題有位置關系問題、參數(shù)問題、弦長問題、最值問題、性質問題、動態(tài)問題等，有時也涉及相對難一點的軌跡問題，因此其一直成為各級各類考試的必考內容和熱點內容，要引起重視.下面結合一道直線與圓的動態(tài)中的最值問題，采用多角度思維進行解法賞析與變式探究.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為______.

本題以圓所對應的標準方程為問題背景，結合等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦進行展開，探討|PC|的最大值問題.由于隨著弦AB的變化，要使得|PC|取得最大值，顯然點P應該在弦AB異于圓心C的另一側，且隨著弦AB的變化，點P的位置也隨著變化，因此如何把直線與圓的動態(tài)問題進行代數(shù)化，從而得以代數(shù)運算是解決問題的切入點.

二、多解思維

思維角度1：（直線與圓的位置關系法）取特殊情況，假設點P在y軸上，根據條件確定直線PB的傾斜角，進而設出對應的直線方程，根據條件轉化已知直線PB與圓C有公共點，利用點到直線的距離公式以及絕對值不等式來確定|PC|的最大值.

圖1

解法1：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性可知PC⊥AB，假設點P在y軸上，設P（0，b），如圖1所示，依題意可知直線PB的傾斜角為，其對應的斜率為，故設直線PB的方程為y=x+b，即x-y+b=0.根據題目條件可知直線PB與圓C有公共點，則有圓心C（0，1）到直線PB的距離≤r=2，則有|b-1|≤4，所以 |PC|=|b-1|≤4，即|PC|的最大值為4，故填答案：4.

思維角度2：（三角函數(shù)法）結合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設出∠ACP=α，結合三角函數(shù)的定義可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，利用|PC|=|PH|+|HC|的關系式的轉化，通過三角函數(shù)的輔助角公式的應用得以確定|PC|的最大值.

解法2：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性知PC⊥AB，垂足記為H，設∠ACP=α，可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，那么|PC|=|PH|+|HC|=2sinα+2cosα=4sin時，即時，|PC|取最大值為4，故填答案：4.

思維角度3：（解三角形法）結合圓的對稱性確定PC⊥AB，在△PBC中利用正弦定理建立相應的關系式，再通過轉化得到|PC|所對應的三角關系式，利用三角函數(shù)的圖象與性質來確定其最大值，此時恰好PB與圓C相切.

圖2

解法3：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性知PC⊥AB，如圖2所示，在△PBC中，|BC|=r=2，∠CPB=30°，由正弦定理有，可得·sin∠PBC=4sin∠PBC，則當∠PBC=90°時，此時PB與圓C相切，|PC|有最大值為4，故填答案：4.

思維角度4：（參數(shù)方程法）取特殊情況，假設點P在y軸上，并設出P（0，y0），結合圓C的參數(shù)方程，通過點B的坐標建立參數(shù)y0的關系式，并結合三角函數(shù)的輔助角公式轉化為正弦函數(shù)來確定y0的最小值，進而通過數(shù)形結合來確定|PC|的最大值.

解法4：由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性可知PC⊥AB，假設點P在y軸上，設，如圖3所示，由圓C：x2+（y-1）2=4，其對應的參數(shù)方程為θ為參數(shù)），結合等邊三角形的性質可知1，則當θ==1+2sinθ=0時，y取得最小0值-3+0=-3，此時|PC|的最大值為3+1=4，故填答案：4.

圖3

思維角度5：（導數(shù)法）結合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設出|AB|=2t，利用s=|PC|=|PH|+|HC|得到對應的函數(shù)關系式，通過求導，結合函數(shù)的單調性來確定相應函數(shù)的極大值，也就是最大值，從而得以確定|PC|的最大值.

解法5：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性知PC⊥AB，垂足為H，設|AB|=2t，可得s=|PC|=|PH|+|HC|=0＜t＜2），而，令s′=0，解得t=，則當t∈（0，）時，s′＞0，函數(shù)單調遞增；當t∈（，2）時，s′＜0，函數(shù)單調遞減.

思維角度6：（柯西不等式法）結合條件先確定圓C的半徑r=2，利用等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦得到PC⊥AB，設出|AB|=2m，利用|PC|=|PH|+|HC|的關系式的轉化，結合柯西不等式來確定其最值，從而得以確定|PC|的最大值.

解法6：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性可知PC⊥AB，垂足為H，設|AB|=2m，結合柯西不等式，可得|PC|=|PH|+|HC|=4，當且僅，即m=時等號成立，所以當|AB|=時，|PC|取最大值為4，故填答案：4.

三、變式探究

【變式1】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，則當|PC|取得最大值時，△PAB的面積為______.

解析：由題可得圓C的半徑r=2，由于等邊△PAB的一邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性知PC⊥AB，垂足為H，設|AB|=2m，結合柯西不等式，可得|PC|=|PH|+|HC|=4，當且僅當，即m=時等號成立，所以當|AB|=2時，|PC|有最大值為4，此時△PAB的面積S=×3=3，故填答案：3

【變式2】在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+（y-1）2=4，若等腰直角△PAB的斜邊AB為圓C的一條弦，則|PC|的最大值為______.

解析：由題可得圓C的半徑r=2，由于等腰直角△PAB的斜邊AB為圓C的一條弦，根據對稱性知PC⊥AB，垂足為H，設∠ACP=α，可得|AH|=2sinα，|HC|=2cosα，那么|PC|=|PH|+|HC|=2sinα+2cosα=2sin），當α+時，即時，|PC|的最大值為2，故填答案：

解決此類平面解析幾何中的動態(tài)問題，關鍵是抓住題目條件，把對應的動態(tài)問題進行有效的代數(shù)化或幾何化，進而通過代數(shù)方法或幾何方法來解決相應的動態(tài)問題，從而得以巧妙處理，正確破解，方法各異，奇思妙想，切入點不同，破解策略多樣.其實，在處理數(shù)學中的動態(tài)問題時，合理地將動態(tài)問題靜態(tài)化，然后通過代數(shù)法或幾何法來處理，特別在破解一些相關的小題時是非常重要的一種解題策略，充分體現(xiàn)出“小題小做，小題巧做”的思想，有助于數(shù)學解題能力與應用能力的提高，從而真正提升綜合能力，拓展數(shù)學素養(yǎng).F