一道數學文化試題及其變式賞析

☉湖北省襄陽市第一中學 王 勇

我國南宋著名數學家秦九韶（約1202-1261）的著作《數書九章》卷五“田域類”中有一題：“問有沙田一段，有三斜.其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知為田幾何.”該題就是已知三角形的三邊長，求三角形的面積《.數書九章》給出的解法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”寫成公式形式就是△ABC的面積其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a>b>c.這個公式中的三斜具有“對稱性”，a，b，c只要分別表示三角形的三邊即可，不一定專指大斜、中斜與小斜.

下面給出一道以此為背景的數學文化題及其若干變式題，供同行們品味其中的韻味.

問題（2018·石家莊市模擬題）南宋數學家秦九韶早在《數書九章》中就提出了已知三角形的三邊求其面積的公式“：以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”（即△ABC的面積其中△ABC的三邊分別為a，b，c，且a＞b＞c）并舉例“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知為田幾何？”則該三角形沙田的面積為（ ）.

A.82平方里 B.83平方里

C.84平方里 D.85平方里

分析：認真閱讀弄懂題意，直接代入“三斜求積”公式計算即得.

解：由題意知三角形沙田的三邊長分別為13里、14里、15里，代入三角形的面積公式可得三角形沙田的面積=84（平方里）.故選C.

變式1：（2018·武漢市調考題）（背景材料及公式同問題）.若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為（ ）.

分析：由a2sinC=4sinA及正弦定理（化角為邊）可得ac=4，由（a+c）2=12+b2可得a2+c2-b2=4，整體代入“三斜求積”公式計算即得，與問題相比，難度略增.

解：根據正弦定理，由a2sinC=4sinA，得ac=4.

再結合（a+c）2=12+b2，得a2+c2-b2=4，

故選A.

變式2：（2018·南寧市模擬題）（背景材料及公式同問題）.若a2sinC=24sinA，a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）·sinA，則用“三斜求積”公式求得的S=（ ）.

分析：由a2sinC=24sinA及正弦定理（化角為邊）可得ac=24，由a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）sinA及正弦定理（化角為邊）可得a2+c2-b2=27，整體代入“三斜求積”公式計算即得，與變式1相比，難度略增.

解：根據正弦定理及a2sinC=24sinA，得a2c=24a，即ac=24.根據正弦定理及a（sinC-sinB）（c+b）=（27-a2）sinA，得a（c-b）（c+b）=（27-a2）a，即a2+c2-b2=27，

變式3：（2018·益陽市、湘潭市調考題）（背景材料及公式同問題）.現有周長為的△ABC滿足sinA∶sinB∶sinC=（-1）（∶+1），用上面給出的公式求得△ABC的面積為（ ）.

分析：由sinA∶sinB∶sinC=（+1）及正弦定理可得a∶b∶c=（+1），結合三角形的周長可求出三角形的三邊，再代入“三斜求積”公式計算即得，與變式2相比，難度又增.

變式4：（2018·濟南市模擬題）若一個三角形的三邊長分別為a，b，c，設，則該三角形的面積S=，此公式也被稱為海倫——秦九韶公式，之所以用我國古代數學家秦九韶的名字命名，原因在于秦九韶曾提出“三斜求積術”，即三角形的面積，該公式的本質與海倫——秦九韶公式相同，現有一個三角形其周長為16，且其中一邊長為6，則此三角形的面積的最大值為（ ）.

A.10 B.12 C.14 D.8

分析：鑒于“三斜求積”公式與海倫公式是完全等價的，本題利用海倫公式及基本不等式求解更方便快捷.

解：設三角形的三條邊長分別為a，b，c，由題意，不妨設c=6，則a+b=10，所以S=4×當且僅當8-a=8-b，即a=b=5時，此三角形的面積最大，最大值為12，故選B.

變式5：（2018·襄陽市調考題）（背景材料及公式同變式4）.在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=6，c=2b，則其面積取最大值時，sinA=（ ）.

分析：本題用海倫公式及二次函數知識進行求解，注意三角形面積公式bcsinA的靈活應用.

解：因為a=6，c=2b，設b=x，則c=2x，可得（a+b+c）=. 所 以由三角形三邊關系有：x+2x＞6，且x+6＞2x，解得2＜x＜6，故當x=時，S取得最大值12.由sinA=12，解得sin.故選C.

變式6：（2018·深圳市調考題）（背景材料及公式同問題）.若b=2，且tan，則△ABC的面積S的最大值為______.

分析：本題由三角恒等變換得到sinC=sinA，進而由正弦定理得到a是解決問題的關鍵.注意到b=2，代入“三斜求積”公式后利用二次函數知識即可求得三角形面積的最大值，與上述各變式相比，難度明顯增大.

以上各例取材于教材中出現的“三斜求積”公式及海倫公式，考查了運算求解能力、分析問題和解決問題的能力，考查了轉化與化歸思想，同時也傳播了中華優秀的傳統文化.