高觀點下的高考數學試題分析*

☉內江師范學院數學與信息科學學院 胡 琳

☉內江師范學院數學與信息科學學院 趙思林

“高觀點”是“高觀點下的初等數學”的簡稱，由此引申出“高觀點”下的高考數學這一重要的研究課題.本文從“高觀點”的角度，對高考數學試題的類型及案例做了分析，運用拉格朗日中值定理、定積分、拉格朗日乘數法等“高觀點”，對一些高考數學試題做了分析.

一、有關“高觀點”的研究現狀

對于高考數學試題而言，“高觀點”是指運用高等數學知識、方法、思想等，去分析、研究初等數學問題的一種解題策略和方法.結合“高觀點”來研究高考數學問題，逐漸成為近年來高考數學研究的趨勢和風向標，并且取得了大量的研究成果，如下：眾所周知，菲利克斯·克萊因首次提出“高觀點”，其著作為《高觀點下的初等數學》；美國的JimFey指出了利用“高觀點”來指導初等數學的教學過程；1989年蔣聲教授提出“滲透觀”；王敬庚立足變換群、拓展平面、數學方法論等“高觀點”來考察解析幾何；張勁松對“高觀點”進行了再認識，并基于“高觀點”來看待中學數學教師所處的角色；張勁松對“高觀點”的內涵、理論基礎、定位、在新課標中的體現等方面進行了總結；陳增武以高數的運算、概念、結論為背景，展現了高觀點試題呈現出的高、低現象；趙思林從高考創新題的背景出發，研究了高數、競賽數學等背景問題；周勇從2006年廣東省高考數學壓軸題中揭示了壓縮映射的重要概念；范東暉研究了高考試題中數學競賽的背景與策略；史利明用數學分析中的拉格朗日中值定理、數域概念等“高觀點”對近幾年的高考數學題進行了分析；蒲淑萍介紹了Klein與他的HPM思想，并給出了一定的啟示；曾建國研究了高觀點下關于圓錐曲線一組性質的統一，并總結了相應的命題、定理、引理等；方治結合2013年的高考數學試題來評析高考中的“高觀點”；陳美茹運用柯西不等式、拉格朗日中值定理、凸函數的性質、矩陣的方法、組合數學等知識來解決數學高考題；林毅用矩陣方法解決了一類橢圓問題，以及運用洛必達法則解決了一類含參導數問題；侯代忠等從學生的解題故事出發，啟發出初、高等數學兩個不同角度的探究，以及展現了線性遞歸方程、母函數、不動點等“高觀點”來研究問題的巧妙之處；王雅琪以2015年的北京高考數學的解析幾何試題為例，將幾何問題代數化；王雅琪以高考數學北京卷為例，考查了高考中的概率與統計問題；曹世鵬研究了以高等數學的符號和概念、以高等數學基本公式、以高等數學中的矩陣知識、以高等數學中的導數思想和積分思想等“高觀點”為背景的高考數學問題；王雅琪運用極點極限的“高觀點”解決了北京高考解析幾何中的圓錐曲線問題；陳建華通過對新課標的解讀，并結合“高觀點”對行列式展開了研究；郝保國展示了數論知識滲透到高考試題中的獨特魅力；張曉東從組合數學、反演變換、數論中的進位制等競賽背景來巧解高考數學題；張永春等利用拉格朗日中值定理來解決高考中的導數問題；王珊珊立足于切比雪夫多項式視角來探究高考題與競賽題；趙思林等從柯西不等式、凸函數的性質等高觀點來對一道高考不等式題進行研究性學習.

二、“高觀點”下高考數學試題的類型及案例

1.拉格朗日中值定理

例1（2017年全國Ⅱ卷文科21題）設函數f（x）=（1-x2）ex.

（Ⅰ）討論函數f（x）的單調性；

（Ⅱ）當x≥0時，f（x）≤mx+1，求m的取值范圍.

分析：借助高數知識，能夠巧妙地解決高考中難度較大的導數壓軸題.

解：（Ⅰ）對（fx）=（1-x2）ex求導，易得

（Ⅱ）首先，將x分成兩類，

即（fx）≤mx+1.

當x=0時，成立，m∈R；

然后，判斷f（x）=（1-x2）ex是否符合拉格朗日中值定理的條件.

因為f（x）=（1-x2）ex在［0，x］（x＞0）上連續，在（0，x）（x＞0）上可導，

所以存在ξ∈（0，x），使得

又f′（x）=ex（-x2-2x+1），

則f′（ξ）=eξ（-ξ2-2ξ+1），

所以f″（ξ）=-eξ（ξ2+4ξ+1）＜0.

則f′（ξ）在（0，x）上單調遞減.

故f′（ξ）max=f′（0）=1.

所以m≥1.

最后，取交集，

綜上所述，m的取值范圍為［1，+∞）.

注：本例運用了數學分析中的拉格朗日中值定理，通過分類（如x=0和x＞0）、條件（即滿足拉格朗日中值定理的前提條件）、取交集（即在分類討論下取值范圍的交集）來逐步完成對此類題的求解，但前提是不等式可以逐步構造成拉格朗日中值定理的形式，這也是數學的巧妙之處.

2.定積分

例2（2014年江西卷理科8題改編）若g（x）=2x+x）dx=______.

所以g′（x）=2.

可設g（x）=2x+c，

注：需要注意的是：如果定積分的積分上限和積分下限都是常數，則它的結果是一個數值.

3.拉格朗日乘數法

拉格朗日乘數法在條件φ（x，y）=0的限制下，求函數f（x）=f（y，z）的極值.對于條件極值問題，拉格朗日函數為L（x，λ）=L（y，z，λ）=f（y，z）+λφ（y，z），其中λ=（λ1，…，λm）T為拉格朗日乘數向量，依次求Lx′（x，y，λ）=0，Ly′（x，y，λ）=0，Lλ′（x，y，λ）=0，進而解出極值點（x，y）.

例3（2014年遼寧卷16題改編）?c＞0，對于所有的實數a，b（a，b≠0）符合條件4a2-2ab+4b2-c=0，并且使|2a+b|最大時的最小值是______.

解析：因為|2a+b|2=4a2+4ab+b2，

所以構造函數L（a，b）=4a2+4ab+b2+λ（4a2-2ab+4b2-c）.

將λ消去，則有2a=3b，

注：本例巧妙地利用了拉格朗日乘數法，便可使得多元參數的最值問題迎刃而解.

三、“高觀點”數學試題的教學建議

張勁松曾提出了“高觀點”的理論基礎，有認識的辯證運動、下位學習、螺旋式課程等，從中可以體會到“高觀點”對解決初等數學問題的獨特作用.“高觀點”是教學改革中的一種創新，“高觀點”具有高、深、難等顯著特點，高即是思維觀點高、素養品質高，深即是深刻，難即是有一定難度.基于“高觀點”的教學有如下建議：一是要結合要點學習、研究、思考；二是可以多搜集一些有關高觀點的文獻資料；三是精選案例進入課堂教學，為學生提供優良的教學案例；四是教師立足“高觀點”，自己開發練習題，讓學生得到好的訓練；五是通過對“高觀點”的學習，為學生編擬出更有價值的數學問題.“高觀點”的教學，要激發學生積極思考數學問題，引起學生的學習興趣，使學生們能舉一反三，逐漸領會變式、遷移等技巧.此外，還可以鼓勵并指導學有余力的尖子生學習一些高等數學.