提高課堂效率，減輕學生負擔
——關于幾何體的外接球問題

☉四川省內江市隆昌市第七中學 易 琴

☉四川省內江市隆昌市第一中學 陳 強

進入高三下學期，留給學生的時間越來越少，精力也越來越有限，對我們老師的要求也越來越高，勢必要求我們提高課堂效率，以減輕學生的負擔.那么，怎樣才能提高課堂效率呢？下面筆者就以“幾何體的外接球問題”為例，設計一堂探究課，談談筆者自身的一些看法.

一、研究考綱，明確要求，了解學生學情

根據高考的考綱要求，近幾年高考對球的要求從理解變為了了解，但不管怎么降低難度，幾何體的外接球始終都是高考的難點與熱點.對于空間想象能力較弱的學生來說，平時花了不少時間來訓練、練習，但到考試的時候還是一頭霧水，感覺無從下手.為了解決這個問題，筆者研究了近幾年的高考試題和各地的模擬試題，發現近幾年高考對幾何體的外接球的考查難度降低了不少，而且絕大部分試題可通過化歸轉換為兩類幾何模型的外接球問題，從而使問題輕松得到解決.

二、立足學生，引導探究，制定“特有”方法

1.長方體模型——側棱垂直于底面、對棱相等的四面體

對于一個長、寬、高分別為a、b、c的長方體，通過分析長方體與球的幾何圖形（圖1），得到關系式：，從而得到與外接球半徑相關的式子：（2R）2=，其中c為長方體的高h，而為平面ABCD與球O的截面的小圓直徑2r，由此可得：外接球半徑的關系式（2R）2=h2+（2r）2.所以對任何一個幾何體而言，只要具備“側棱垂直于底面”，都可化歸轉換為長方體模型，利用此關系式便可求出幾何體的外接球半徑，從而降低了對學生空間想象能力的要求.

另外，對于對棱相等的四面體也可轉換為長方體模型（圖2）.

若四面體的三組對棱的長度分別為x，y，z，則（2R）2=

圖1

圖2

看大家聽得都比較疲憊，在講解完模型后，給出了第一個例題：

例1如圖3，四邊形ABCD是邊長為的正方形，點E，F分別為邊BC，CD的中點，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為______.

圖3

許多空間想象能力弱的學生，看到這個題就感到慌張、煩躁，導致最后直接放棄.于是筆者開始引導學生尋找幾何模型，通過分析翻折前后的幾何圖形，學生很快就發現AP⊥平面PEF，此題具備“側棱垂直于底面”的特征，可以化歸轉換為長方體模型.此時，好多學生由剛才的煩躁開始變得活躍，甚至有人說：“只需求得底面PEF所在的小圓的直徑即可，而且易得底面小圓直徑EF=，AP=2，于是球的半徑，所以S表=18π.”

筆者看大家情緒高漲，于是給出了下一個例題（留足5分鐘思考）：

例2在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，AB=AC=，BC=2，點G為△ABC的重心，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則tan∠AGD=______.

剛展示完題目，就有不少學生吼道：“由AD⊥底面ABC可知，此題具備“側棱垂直于底面”的特征，可化歸轉化為長方體模型.”也有不少學生開始動筆演算起來；很快有不少學生就給出了標準答案：

圖4

所以由公式（2R）2=h2+（2r）2，可得AD=h=4，

于是tan∠AGD=2.故填答案：2.

此時，學生都比較興奮，于是筆者介紹了第二種幾何模型：

2.正n棱錐模型

設正三棱錐S-ABC的高為h，外接球的半徑為R，底面小圓的半徑為r，由（圖5）分析可得OC2=OO12+O1C2，其中OC為外接球半徑，OO1為小圓面的圓心與球心之間的距離，O1C為小圓面的半徑r，由此可得：正三棱錐外接球半徑關系式為R2=r2+|h-R|2，同理對正六棱錐S-ABCDEF而言（如圖6），也符合此關系式.

圖5

圖6

此時，大家都比較期待這個新模型能夠發揮作用，于是筆者給出了第三個例題：

例3在邊長為2的菱形ABCD中，BD=2，將菱形ABCD沿對角線AC對折，使二面角B-AC-D的余弦值為，則所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為______.

此題不僅考查了關于球的知識，還考查了學生比較薄弱的二面角知識，所以學生剛開始看到此題的時候，有點害怕，不敢做，于是筆者開始引導學生解決二面角的問題：

圖7

圖8

圖9

此時，學生已經有了很強的意識——尋找幾何模型，很快學生們就給出了下面兩種解法：

法1：由于四面體每對棱都為2，所以可將四面體放入棱長為的正方體中，于是球的半徑6π.故填答案：6π.

法2：由于正四面體的棱長為2（圖9），可得幾何體的高，底面小圓的直徑由R2=|h-R|2+r2可得解得R==6π.故填答案：6π.

三、學生回味、自我總結、化歸本質

至此，本堂課內容全部結束，讓學生們自行討論，并進行自我總結歸納：

學生A：求幾何體的外接球都可以用這個方法嗎？

學生B：必須具備這兩大模型才可以.

學生C：而且這兩種模型在計算時，最終都會由幾何體的高h、小圓的半徑r、外接球的半徑R來構成直角三角形，進而利用勾股定理求解.

學生A：若不具備這兩種模型，那該怎么求呢？

此時，教室突然安靜下來，大家都把疑惑的目光集體投向了老師.

老師微笑著答道：

1.高考對幾何體的外接球要求降低，幾乎都考這兩種模型，此法足以應對高考；

2.解決幾何體的外接球、內切球問題，實際上有通法——截面法，這也是我們下次課所要探究的課題.至此，本堂課結束.

一堂有效率的課如何產生呢？筆者認為既要老師認真備課——研究高考考綱、鉆研高考真題，又要深入了解學生的難點、弱點——思考具有針對性的解決方案.F