用“轉化與構造”求解向量中的最值問題

☉湖北大學附屬中學 章雄鋼

2017年版高中數學新課程標準強調“四基”“四能”，將“三維目標”整合、內化、升華為“數學核心素養”，體現了新時代對數學課程育人的要求：用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界.

平面向量是現代數學中既重要又基本的概念之一，它是由物理學和工程技術抽象出來的，是對某些自然事物高度概括抽象的結果，它是溝通幾何、代數的重要橋梁，是認識多維空間的基礎，是研究相關數學問題、解決物理學和工程技術的重要工具.高中階段平面向量一章的內容可以簡單概括為“234n”，即：兩個定理、三種法則、四種運算、n個概念，其中蘊含了數形結合、轉化化歸、坐標法等數學思想方法.向量有用，關鍵是它具有一套良好的運算性質，能實現“形”與“數”的互化，從而解決各種“形”與“數”的問題，其解決問題的路徑簡而言之為：“形到向量”?“向量的運算”?“向量和數到形”.用“轉化與構造”的方法求解向量中的最值問題就是最好的案例，也是培養學生數學核心素養的好載體.

一、“轉化”讓求解向量中的最值問題程序化

轉化是極其重要的數學思想方法，是實現由難到易、由繁到簡、由未知到已知的關鍵.平面向量有兩個解決問題的至尊法寶：平面向量基本定理和坐標.通常將問題轉化到“基底”和“坐標”表示的情境中，再利用相關定理和性質解決問題.

圖1

例1如圖1，在平面四邊形ABCD 中 ，AB⊥BC，AD ⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1. 若點E為邊CD上的動點，則的最小值為______.

分析：|cos∠AEB，、cos∠AEB均為變量，是一個“動態問題”，需要將其轉化為“靜態問題”來解決，通常采用的解決方法是“基底法”和“坐標法”，用相關的定理、性質解決問題，體現了“程序化”特點.

解法1：選取為基底，設t（t≥0），

圖2

向量題是高考的常考題，實踐證明，在解決有關向量問題時，一是要善于運用向量的各種運算解決問題，以體現出運用向量處理問題的優越性；二是向量的坐標運算體現了數與形相互轉化的思想，體現了數形結合思想在解決數學問題上的作用.“基底法”是根據平面向量基本定理，化未知為已知，化零亂為有序，在統一的表達方式下利用定理、性質解決問題.“坐標法”通過巧妙地建立平面直角坐標系，構建起代數與幾何聯系的橋梁，從而利用代數語言翻譯已知條件和所求結論，借助代數運算解決問題，實現以形思數，以數解形的化歸與轉化思想和函數與方程思想.坐標法解決問題通常有三個步驟：第一，建立直角坐標系；第二，將向量用坐標表示；第三，代入式子進行坐標運算.

二、“構造”讓求解向量中的最值問題圖形化

在解決向量數量積的最值時，根據向量的“方向”、“大小”的二元特性，在解決向量問題時，可以構造圓，將問題轉化為圓的性質、三角形中的正弦定理或余弦定理等來解決問題；也可以聯想向量加法的“三角形法則”、“平行四邊形法則”等構造三角形或平行四邊形解決問題.通過“構造”有效的圖形，讓向量問題“圖形化”.與學生對平面幾何的認知勾連起來，“構造”容易識別的函數模型，讓向量問題“代數化”與函數、不等式等知識勾連起來，實現知識、方法和能力的同化.

例2如圖3，在△ABC中，已知，AC=2，則的最大值是______；最小值是______.

分析：在△ABC中，對邊與對角是定值，則外接圓的半徑為定值，聯想并構造三角形外接圓.

解：如圖4，構造△ABC的外接圓，

圖4

根據向量的幾何屬性，構造出學生熟悉的圖形，讓解題更直觀，化難為易.讓學生利用已知知識解決新問題的過程，正是提升學生思維品質的過程，有利于激發學生學習的主動性、積極性、趣味性、創新性，真正發揮數學課程在培養學生核心素養中的作用.

三、“轉化與構造”讓求解向量中的最值問題模型化

學生數學核心素養的養成，其實質就是在學習的過程中，首先形成數學場域里的思維方式、解決問題的方法，并理解數學的本質，然后將形成的思維方式、解決問題的方法遷移到實際應用場域中去解決問題.基于數學核心素養和數學學科的本質特點，核心素養外顯的形式即解決問題方法的模型化，并根據學生學識的增長，不斷優化這些模型.上述案例顯示，學生在求解向量中的最值問題時，可以形成解決問題的模型.

例3已知a、b是平面內兩個相互垂直的單位向量，若向量c滿足（a-c）·（b-c）=0，則|c|的最大值是多少？

分析：如圖5，a⊥b?OA⊥OB?點O在以AB為直徑的圓上，

則O、C兩點都在以AB為直徑的圓上，OC是此圓的弦，因此，可以通過構造圓來解決問題.

圖5

解法1：（構造法）如圖5，構造圓，得弦OC的長=|c|≤直徑AB=，即|c|max=.

解法2：（轉化法）因為|a|=|b|=1，a·b=0，所以|a+b|=.

因為（a-c）·（b-c）=0，所以a·b-（a+b）·c+|c|2=0.

所以|c|2=（a+b）·c=|a+b·||c|cosθ=|c|cosθ（θ=〈a+b，c〉）.

解法3：（坐標法、構造法） 設a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），

平面向量中的最值問題的求解是強化學生“四基”，培養學生“四能”的良好的載體，我們在教學過程中要有效利用.求解平面向量中的最值問題，方法很多，但其本質是圍繞充分利用向量的基本知識、基本思想和處理向量問題的基本技能、基本活動經驗展開的，在“教”與“學”的過程中，根據問題背景，學生能發現并明確問題的本質是什么，并利用已有學識，通過分析，給出問題解決的方案.在這個過程中，其工具是“轉化”和“構造”，在轉化、構造過程中聯想與向量相關的函數思想、方程思想、數形結合思想、坐標化思想等，實現問題、知識、方法等本質上的關聯，以解決問題.W