從三角問題解法錯誤上進行的探究性教學思考

☉安徽省臨泉第二中學 劉 帥

幫助學生修正學習中的錯誤是教師的教學日常，因此，幫助學生有效認識錯因并修正錯誤也就成了教師教學中的重大任務.很多教師在實際教學中喜歡采取直接告知的方式來糾正學生的錯誤，但這樣的教學行為卻往往無法收到教師預期的教學效果.事實上，教師準確把握學生的錯誤及原因并因此啟發學生反思錯因、探究錯誤的修正方法，才能真正使學生學有所獲.

以下是筆者在學生的一些錯誤練習上進行的探究性教學，圍繞學生的解法與錯誤所展開的教學簡錄.

一、課堂簡錄

1.凸顯矛盾并制造問題

問題1：已知2cosx=1+sinx，求

（筆者在講評之前打印了學生的四種解法并發給了學生，這四種解法都具有一定的代表性.）

解法1：兩邊平方，得4cos2x=（1+sinx）2.

因為cos2x=1-sin2x，所以4（1-sin2x）=（1+sinx）2，

解法2：因為，所以2cosx=+sinx，兩邊同除以cosx得+tanx，解得tanx=

2.揭示矛盾并探究問題

師：大部分同學在本次練習中的表現都很好，現在請大家對以上四種解法進行認真的研究并闡述一下自己的想法.

（有意識地請運用解法1的學生代表首先進行了闡述）

生1：我運用的是解法1，我認為自己做得沒錯，不過對于解法3、解法4中出現的“-1”這個答案，我感到困惑.

師：你在解答過程中舍去了當sinx=-1時的情況，你這樣做的理由是什么呢？

生1（理直氣壯）：因為當sinx=-1時，cosx=0，因此可知tanx沒有意義，利用二倍角的正切公式求是行不通的，因此將這一情況舍去.

（大家紛紛點頭并表示贊賞）

師：很好，由以上討論可知，解法2是不正確的，那么大家對于解法2的錯誤之處能進行仔細地分析嗎？

生4：在解法2中，兩邊同除以cosx的過程中漏掉了cosx=0這一情況的討論，因此將-1這個解遺漏了.實際上，當cosx=0時，sinx=-1，等式成立，根據解法1可得=-1；由求時，解法1中的錯誤就再次發生了.

師：你的分析很到位，太棒了！大家再對解法3和解法4進行一下研究吧，看結果是對的，那解題過程是否有問題？

生5：兩種解法都對且在運算上顯得很簡潔.

師：大家的分析都很棒，大家比較一下這些解法并談談收獲吧.

生6：解法3和解法4目標明確且運算簡單，漏解和多解的現象也不易發生.

生7：方程的思想在以上四種解法中都得到了很好的運用.

（學生在分析、比較并收獲解題心得后表現得更加積極.）

3.積極實踐并深化認識

師：在三角函數的范疇中，角的范圍對三角函數的取值往往能起到決定性的影響，三角函數的值對于角的范圍也同樣會起到決定性的作用.大家在解決涉及角的范圍、三角函數取值之類的問題時一定要把握好兩者之間的關系，把握好這一制約關系能使大家對題目形成更深層次的挖掘，很多錯解也就能夠得到很好的避免.

二、教學感悟

單純的正面示范與反復練習在糾錯中無法取得更好的效果，學生的“自我否定”往往能使其在產生內在的“觀念沖突”時形成更好的思維，很多批判性的思維也會因此形成.

很多老師在平時教學中都會感覺較難搜集探究性學習的資料，事實上，很多的資料上提供的探究性學習材料與實際教學是無法有機銜接的，很多老師和學生面對這些材料時往往感覺無從下手，費時費力的同時也無法達到預期的教學效果.筆者認為，很多探究性學習的材料就在我們時時處處的留心之處，只要教師能夠處處留心，就會發現很多能夠促進學生理解力提升、問題意識形成、想象力和創造力發展的探究性學習材料.當然，教師在發現這些材料之余，還應注意材料內容、難度與學生已有知識的契合程度，恰當地把握材料的知識范疇與難度，才能令學生真正得到發展.事實上，學生的作業錯誤、測試錯誤、課堂生成問題等等都是教師可以好好利用的探究性材料.學生面對這些探究性學習材料時往往能結合自身的經驗、認知能力進行新的審視與分析.本文所進行的解題探究就是在學生的解題錯誤上所形成的，具有初步解題思考的學生在面對解題錯誤時所產生的思考令人欣慰.學生在這樣的探究過程中也更加具有自主參與和探究的熱情，靜態的知識也會因此頓時變得活躍，學生的自主發現與知識構建也因此變得積極而有意義，課堂活動充滿張力與激情.

總之，學生在自主參與數學活動的過程中往往會經歷更多的思考與體驗，正確體驗與錯誤體驗不斷交替出現的過程也將學生的問題一一暴露出來，學生的錯誤觀念得到徹底糾正的同時也會因此形成正確的認知.因此，教師在平時教學中應善待學生的解題錯誤，在學生的解題錯誤上設計探究性活動并令學生全身心地投入到數學活動的思考、分析、反思與總結過程中.W