高階思維培養視角下“做數學”的探究*

☉廣東省廣州市第一中學 賀小意

高階思維能力包括分析能力、評價能力、創造能力、批判性思維能力等四大能力.“做數學”是學習個體在實踐操作中實施數學問題解決的一種數學學習活動.在高階思維培養視角下數學教育開展有針對性的“做數學”活動可以促進高中生的高階思維發展.

一、高階思維概述

目前，高階思維的研究理論基礎多源自布魯姆（B.S.Bloom）的認知目標分類理論.國內外大多數學者贊同布魯姆（Bloom）認知目標分類當中的分析、綜合、評價能力等為高階思維能力.為此筆者做出相應的理解，提出高階思維能力包括的四大能力為：分析能力、評價能力、創造能力、批判性思維能力.《普通高中數學課程標準》（2017年版）（以下簡稱《標準》）提出，“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質”，“數學教育幫助學生掌握現代生活和進一步學習所必須的數學知識、技能、思想和方法；提升學生的數學素養，引導用數學語言表達世界；促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展”.《標準》提出的核心素養的關鍵的能力要求與培養學生的“高階思維能力”是一致的.

二、“做數學”的界定

“做數學”是指學習個體在實踐操作中使數學問題得以解決的數學學習活動.“做數學”不能等同于“做數學習題”，它的表征是“實踐”、“操作”、“探究”“體驗”、“參與”.“做數學”與“說數學”有區別但又緊密聯系.鐘進均對“說數學”深有研究，他認為：“說數學”是指個體用口頭表達的具體認識、理解，解決數學問題的思路、思想、方法和數學學習情感、體會等數學學習活動.筆者認為“說數學”可以理解為“做數學”的部分活動，但是“做數學”更注重動手操作，動腦探究.新課程標準提出數學學科教學要注重學生的實踐參與，“評價既要關注學生的學習結果，更要重視學生的學習過程.”

三、高階思維視角下“做數學”的活動探究

杜威認為思維不是自然發生的，而是由一些“難題和疑問”或者是“困惑、混淆或懷疑”所“引發”的，思維離不開“訓練”.同樣高階思維也不是自然產生的，也需要經過培養和訓練.在我國，鐘志賢教授對高階思維的培養研究比較深入.鐘志賢教授深刻反思并剖析了傳統教學設計模型的局限性，他認為“要發展高階思維能力，必須有高階學習的支持.”哈佛大學著名的心理學教授戴維·珀金斯（David Perkins）認為良好的思維能力的培養需要相應的教學資源的支持，并通過教育工作者進行一系列有針對性的訓練.對于教育工作者而言，高階思維的培養則應在學科教學中進行.筆者從教以來一直注重學生的思維培養，關注如何在學科教學中發展學生的高階思維.筆者在發展學生的高階思維方面做了以下探究.

1.“做改編數學”培養創造性思維

創造性思維是高階思維的重要形式.“創造性思維是人類在探索未知領域和開展創造創新活動的過程中，充分發揮認識的能動作用，不斷以新穎的方式和多角度的思維轉化來尋求獲得新成果的思維活動.”創造性思維是可以通過訓練培育出來的.筆者在“做數學”中嘗試“做改編數學”活動等方式來培育學生的創造性思維.

在上完人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5.必修》（以下簡稱必修5）第三章“不等式”后，筆者開設了一堂章節小結課（以下用“課例1”表述）.課例1中筆者選用了人教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5.必修》中104頁“復習參考題”B組第5題作為例題.原題如下：

最大值、最小值各是多少？

課堂上老師引導學生“小導師”（筆者所教班級設有學生小教員和學生小導師的角色）在課堂上分析講解.在講解過程中，發現學生對x2+y2理解不到位，通過思想的碰撞后完成了此題的講解，并最終解決問題.講解完此題后筆者并沒有停下，而是讓學生在課堂上改編此題.

改編問題比完成一個問題需要的能力更高.在改編過程中教師可以發現學生是否理解、掌握此問題的關鍵點和易錯點，同時還可以培養學生的創造性思維.下面是部分同學比較成功的問題改編：

從上述的改編中可以發現，學生對目標函數z=x2+y2有了較好的理解，并能區分z=x2+y2和z=的不同.當我對這些同學的成功改編進行表揚和鼓勵后，班上同學甲站起來說：“老師，我有一個改編，不知是否可以？”我鼓勵他大膽地寫出來進行展示.甲同學的改編是：

題4：已知2x+y-2≥0，當x，y取何值時，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

這位同學在課堂展示時有些羞澀，但這位同學的改編確實是十分成功的，他簡潔明了地突出了教材習題考查的關鍵之處.我非常高興地表揚了這位同學，效果非常好.課堂上全班同學對這些改編問題進行了完整的解答.學生自己對數學問題進行改編，然后完成自己改編的問題.學生學習的迫切心更強了，學習的興趣也更濃了.課堂即時展示，培養了學生的實踐意識和競爭意識.課堂上學生即時改編教師提出的問題不僅培養了自己的創造性思維，同時在這種競爭過程也激發了全班學生創造性思維的培養.

2.“做多解數學”培養發散性思維

發散性思維是思維過程中從一方面向多方面展開，通過知識、觀念的重新組合，找出更多更新的可能答案、設想、或解決辦法，是高階思維的一種.

“多解數學”指的是一個問題可能有多種答案、多種解法、多種思路.我把“開放性問題”、“一題多解問題”歸類到“多解問題”.在數學學科教學中教師開展“做數學”實踐活動時經常策劃一些“做多解數學”，這樣可以培養學生的發散性思維.

在課例1的最后，我在課堂上拋出一個問題，甲同學改編的這個問題除了利用線性規劃思想解決外還有沒有其他方法？請同學們課后思考并用多種方法完成下一題：

題5：已知x+y-1≥0，當x，y取何值時，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

學生交上來的作業，居然出現了近7種方法.

解法1：線性規劃思想解題，轉化為原點到直線x+y-1=0的距離的平方問題.

以下方法先是通過圖形理解將問題轉化為：

已知x+y-1=0（x≥0，y≥0），當x，y取何值時，x2+y2取得最小值，最小值是多少？

解法2：基本不等式法

解法3：三角換元法之一

令x=cos2θ，y=sin2θ，則x2+y2=cos4θ+sin4θ，然后轉化為三角函數中的最值問題.

解法4：三角換元法之二

x2+y2=t，令x=cosθ，y=sinθ，x+y=cosθ+sinθ轉化為三角函數中的最值問題.

解法5：二次函數法

因為y=1-x，則z=（1-x）2+x2=2x2-2x+1轉化成二次函數中的最值問題.

解法6：判別式法

x2+y2=t，把y=1-x代入得x2+（1-x）2=t，利用Δ≥0得到答案.

解法7：解析幾何法

轉化為圓x2+y2=t與直線y=1-x相切的問題.

限于篇幅就不一一給出學生們的詳細解答過程.課例1是我在開展“做數學”活動時比較典型的“做多解數學”的課例.

3.“做質疑數學”培養批判性思維

質疑在傳統的教學中已經難以覓見.在傳統教學中，學生對教師、書本給出的知識點或答案一般被動接受，這對當前學生的發展是極其不利的.《標準》（2017年版）明確要求：通過高中數學課程的學習，學生能“樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創新意”.當前教師應該教會學生辯證地接受新知識，學會求異質疑.遲維東認為“批判性思維是思維創新的催化劑、原動力.可以說，創新性思維是廣義的批判性思維.”他認為批判性思維是一種“擺脫舊觀念的束縛、沖破舊知識的傳統作用”的思維過程.批判性思維實際上也是一種求異質疑的思維過程.筆者在開展“做數學”活動中不時地開展“做質疑數學活動”，旨在培育學生的批判性思維.

下面是高考數學題中存在爭議的兩個數學題，筆者在數學必修1和必修5的教學中展示給學生，同時公布當年高考的標準答案.

題6：（2005年福建理12）f（x）是定義在R上的以3為周期的奇函數，且f（2）=0，則方程f（x）=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

題7：（2003年江蘇1）如果函數y=ax2+bx+a的圖象與x軸有兩個交點，則點（a，b）在aOb平面上的區域（不包含邊界）為（ ）.

4.“做操作數學”培養綜合性思維

綜合思維是多種思維方法在思維活動中的全息式整合，是人腦綜合運用多種思維方法的思維過程和思維方式.

皮亞杰在《發生認識論原理》中這樣闡述邏輯思維、數學等認識的：認識都是不斷建構的產物，其建構過程則依賴于主體的不斷活動.皮亞杰認為：“我們可以越過那些可觀察到的東西來嘗試著建構結構，并不是從主體有意識地說或想的什么來形成結構，而是以當他解決對他來說是新問題時，他依靠他的運演所‘做’的什么來建構結構”.從行為主義理論來看，多讓學生操作、動手實踐，在親歷中更容易產生頓悟.“做操作數學”活動可以給學生多方面信息的刺激，易促進學生綜合思維的發展.

三、結束語

在數學學科教育中，教師通過開展“做數學”活動，可以使學生發現數學過程，親歷數學思維錘煉的過程.任何學習內容都可以設計成不同思維層次的任務要求.在高階思維視角下開展有針對性的“做數學”活動可以激發學生進行分析、評價、創造等高階思維的形成，并促進學生高階思維的發展.《標準》中“探索”所描述的數學活動的過程就是定位在高階思維水平.對照“探索”的內容要求，教師可以設計開展不同形式的“做數學”活動，從而培養高中生的高階思維能力.

高階思維視角下的學科教學并非設計數學難題，而是開展有效的“做數學”活動；高階思維能力是基于學生主體參與，設計探究性任務，驅動學生自主探究的“做數學”活動.