基于應力強度干涉模型的船舶機械設備可靠性分析

王雨辰

（導航技術研究所 西安 710068）

1 引言

自1950年可靠性理論及工程誕生以來，可靠性工程作為一門學科日益受到重視。機械設備在船舶、火箭、衛星、飛船等大型復雜系統中占據了重要位置，尤其在船舶中占據了較大比例，船舶動力系統大部分都是由各類機械設備組成。

在機械設備中，常常使用應力強度干涉模型進行可靠性建模，因此，針對船舶機械設備的可靠性分析，有必要將應力強度干涉模型與可靠性理論結合起來分析，掌握船舶機械設備可靠性的特點。

2 應力強度干涉模型

在船舶機械設備中，一個組件是正常工作還是失效取決于其自身強度s（strength）和所受環境應力l（load）之間的關系。當組件所受強度大于應力時，組件正常工作；當組件所受強度小于應力時，組件遭到破壞，從而導致失效。因此，要求組件在一定的條件下和一定的時間內能夠正常工作的條件是

式中，s是組件自身的強度，l為組件所受的環境應力。

一般來說，應力和強度都是隨機變量，在一定范圍內應力和強度具有一定的分布規律，而式（1）的含義只有在某個確定性的強度和應力下才成立。如果利用式（1）計算兩個隨機變量，通常保守的做法是讓強度的最小值大于應力的最大值，但是這樣會導致不經濟、不現實的設計方案。因此，在考慮經濟性和功能性等約束條件下，允許船舶機械設備零組件的強度在一定概率下小于應力，這個允許的概率（失效概率）取決于工程中對組件的可靠性要求。

圖1 組件強度和所受應力干涉模型圖

圖1 中 fl(l)、fs(s)分別為應力、強度對應的某種隨機分布的概率密度函數，在兩者相交的陰影部分組件所受應力大于組件強度，組件已經發生失效。應力強度干涉模型是用來計算強度大于應力的概率。假設應力和強度都是（0，+∞），定義“條件可靠度R(l)”，即在確定性應力l下組件不失效的概率：

圖2 在確定性應力l下的條件可靠度R(l)

由于應力是定義在（0，+∞）上的連續隨機變量，對式（2）求期望可以得到應力l在所有可能取值情況下的組件不失效概率，即組件的可靠度計算公式

式中，fl(l)、fs(s)分別為環境應力、強度所服從的某個分布的概率密度函數。

式（3）與傳統的應力強度干涉模型形式相同，但是推導過程中沒有用到干涉的概念，該式是根據可靠度的定義、條件概率和全概率公式推導得到。其中定義的條件可靠性充分體現了全概率思想，為下文基于該模型的系統可靠性開辟了思路。

3 應力一次作用的系統可靠性模型

“應力一次作用”可以理解為組件強度不退化或者強度退化中某一時刻的應力作用，即組件強度不隨應力的作用變化。在第2節中，定義了“條件可靠度”為在確定性應力l作用下組件的失效概率，本節把該定義擴展到系統可靠性模型中。在一個確定性應力作用下，系統中組件的失效概率完全取決于組件的強度，由于組件強度相互獨立，于是在一個確定性應力下，系統中發生故障的組件相互獨立。

在船舶機械設備中，系統中各個組件的連接方式有串聯、并聯、n中選k連接等，不同連接方式，具有不同的可靠性模型，下面就對這幾種連接方式下的機械設備可靠性模型進行分析。

一個共有n個組件的系統，當且僅當至少k個組件工作時，系統工作，這是n中選k：G系統；一個包含n個組件的系統，當且僅當至少k個組件失效時，系統發生失效，這是n中選k：F系統。由定義可知，一個n中選k：G系統就相當于一個n中選（n-k+1）：F系統。串聯系統和并聯系統都是n中選k系統的特例：一個串聯系統等同于一個n中選1：F系統或一個n中選n：G系統；一個并聯系統等同于n中選n：F系統或一個n中選1：G系統。因此，我們從n中選k系統出發，獲得其可靠性模型，從而拓展到串并聯系統中。

圖3 n中選k系統可靠性框圖

圖3 是一個n中選k系統的可靠性框圖，以n中選k：F系統為例，其特點是系統中當且僅當至少k個組件失效則系統失效。n中選k系統中的“系統條件失效概率”可以定義為，在確定性應力l作用下，組件失效相互獨立時系統的失效率。

式中 fs(si)是組件Ci強度所服從分布的概率密度函數。

假設系統中每個組件的強度都服從同一個隨機分布，則n個組件的條件失效概率為

在系統的整個壽命周期內，系統所承受的環境應力是個隨機變量，所以系統在其壽命周期內的失效率可以用條件失效率的數學期望來表示，可解釋為系統條件失效率在應力全部可能的取值區間內的統計平均值，即

將式（5）代入式（6）可得

這是一個考慮系統級應力強度干涉模型的組件失效概率。我們假設第1到k個組件處于正常工作狀態，第k+1到第n個組件為失效狀態，則式（7）可以延伸到n中選k：F系統中：

式中，fl(l)是壽命周期內應力所服從分布的概率密度函數，Fsi()是強度所服從分布的累積分布函數，Fsi(l)為應力l作用下組件Ci的失效概率。

傳統的基于應力強度干涉模型的n中選k：F系統的可靠度模型為

若考慮n中選k：G系統，其應力強度干涉可靠度模型為

n中選k：G系統中的k=n，可獲得串聯系統的應力強度干涉可靠度模型：

令n中選k：F系統中的k=n，可獲得并聯系統的強度應力干涉可靠度模型

4 結語

本文在應力強度干涉基本模型的基礎上，分析了組件強度和應力不是固定值并服從某一隨機分布時的應力強度干涉模型，針對串聯系統、并聯系統、n中選k：G系統和n中選k：F系統在應力一次作用下系統中組件可靠度的計算方法。利用這種方法，可以對船舶機械設備的可靠性進行分析，從而開展合理的可靠性試驗，及早發現機械設備的問題，有針對性地進行維修和保障。