一道高三模擬題引發(fā)的思考

甘肅省蘭州市第二十七中學 (730030) 陳鴻斌甘肅省蘭州市第五十二中學 (730030)

賈麗紅

數學教師要善于思考、挖掘、研究,這對反思自己的教學行為和提升學生的數學思維能力具有積極的作用.本文通過對一道高三模擬考試題學生的解答情況進行調研,弄清楚學生思維誤區(qū)的成因,談談自己的一點思考,希望對各位一線教師的教學有所啟示.

1.試題呈現

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

本題是甘肅省蘭州市第二十七中學高三第四次模擬考試第10題,主要考查了核心概念平面向量的加減運算、數量積的含義以及它們的幾何意義.從閱卷結果來看,本題得分率很低,絕大多數學生從形的角度出發(fā),但是沒有理解數量積的幾何意義而進入思維的誤區(qū)致錯,一部分做對的同學則是從數的角度,通過運算求得結果.縱觀近幾年的高考題,平面向量的問題主要還是以考察數學運算的核心素養(yǎng)為主,但是,學生在訓練中總是想走捷徑,試圖借助于幾何意義快速求解,逐漸形成了思維定勢而忽略了向量本身的代數特性.這就啟示我們在平面向量的教學中,要堅持代數法和幾何法兩手抓,兩手都要硬,從中培養(yǎng)學生數學運算和直觀想象的核心素養(yǎng).

2.思維誤區(qū)

錯誤一：大約有50%的同學解答如下:

錯誤二：大約有20%的同學解答如下:

圖1

錯因分析:這些學生錯誤的認為平行四邊形兩條對角線向量的數量積不可能等于一條對角線向量的平方,陷入思維的誤區(qū),沒有理解數量積的幾何意義.反映出學生在學習中往往側重于形式上的計算結果而忽視知識的背景和幾何意義.提示我們在高三教學中要加強對類型題的歸類和思辨性,同時仍要重視揭示知識產生的背景和形成過程.

3.正確解答

點評:利用解法1解答正確的同學僅占5%,這些學生熟練掌握了向量加減法及其幾何意義,理解了平面向量的基本定理和數量積運算,將原問題轉化為勾股定理而快速求解,足見其數學素養(yǎng)很好.

點評:利用解法2正確求解的同學大約10%,這些學生熟練掌握了平面向量的加減法、數量積運算及其運算律,具有良好的數學運算的核心素養(yǎng),因此培養(yǎng)學生數學運算的核心素養(yǎng)必須長期得以重視.

圖2

4.“姊妹”題思辨

A．等邊三角形B．等腰三角形

C．等腰直角三角形D．直角三角形

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

此處完全是數的運算,具有消去律.幾何法優(yōu)于代數法，前面“錯誤一”中的解答就是與這兩個題目混淆而不能區(qū)分,所以題型的歸類和思辨在高三復習中是很重要的.下面求解第(2)題:

解法2:對角線相等的平行四邊形是矩形,故選A.

點評：以上4道題與原題屬于“姊妹題”,既有區(qū)別又有聯(lián)系,但是這4道題明顯幾何法優(yōu)于代數法.通過對“姊妹題”的思辨,將觀察與實驗、比較與類比、分析與綜合、抽象與具體化、概括與特殊化、猜想與反駁這些思維活動探究數學過程的方法貫穿于教學之中,從而培養(yǎng)學生的數學思維能力.

5.一點思考

5.1 注重概念意義的教學

數學中,一切概念的意義是第一位的,而且數學概念的意義是確定而無歧義的,體現了數學的嚴謹性.這必然要求我們在教學中,特別強調使學生獲得明晰的概念意義.從內涵和外延兩方面引導學生去理解數學概念,概念的內涵決定了概念的外延,而對概念外延的清晰有利于辨析內涵與外延的關系,防止概念的非本質泛化,促進對概念內涵的理解和把握.

5.2 注重知識的產生背景和形成過程

在高三教學中,往往在大量的解題中多了形式化的計算結果,而缺失了數學知識的背景和形成過程的教學.事實上導致學生思維結果的思維方法是數學學習的方法,也是數學研究的方法,同時還是數學教學的方法,教學活動中應該體現觀察與實驗、比較與類比、分析與綜合、抽象與具體化、概括與特殊化、猜想與反駁這些思維活動的過程.2019年高考數學命題也要求有的試題通過揭示知識的產生背景和形成過程，體現數學的創(chuàng)造、發(fā)現和發(fā)展特點；有的將通過對數學思維方法的總結、提煉，呈現數學的思想性.

5.3 注重數學核心素養(yǎng)的發(fā)展

高考以能力立意,全面考查體現數學學科特點的六大核心素養(yǎng),即數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.在平面向量復習中要時刻把握數學運算和直觀想象兩大核心素養(yǎng)的培養(yǎng),從數與形兩方面抓,以學生數學能力的發(fā)展為目標,從多次反復的實踐中去鍛煉.