對一道模考題的研究和教學啟示

安徽省合肥市第一中學 (230601)

谷留明

1.問題提出

2.解法賞析

評注：這是參考答案的方法,巧妙卻略顯“生硬”,“轉化為探究OM、ON垂直”這一思路看起來有些突兀，需要考生畫圖比較準確.對直角三角形的射影定理理解透徹并能聯想起來；或者在切線斜率不存在的情況中得到結果為2時,猜想到：若結果為定值,則為2,并聯想到2=|OP|2，從而若OM⊥ON,則|PM|·|PN|=|OP|2=2,為定值.考后統計了全市12233份有效理科答卷,這兩小問的平均分、難度、區分度分別為：3.51分,0.701,0.66與1分,0.143,0.38.說明學生對第(2)問所涉及知識、方法掌握得很薄弱,有必要進行深入研究.

評注：此法思維上簡單自然,過程上直譯直敘,學生易著手,但很考驗學生的計算能力.

評注：根據圖像特點和所要探求的|PM|·|PN|,很容易聯想起直線的標準參數方程中參數的幾何意義,想到|PM|·|PN|=|t1t2|.此法思路簡潔又比較自然,計算量適中.

3.變式研究

(1)若圓O的半徑r=1,其它條件不變,則

|PM|·|PN|是否為定值?

4.題根探源

結合以上探究,發現文[1]中性質定理的逆定理也成立.經進一步研究,在圓與部分雙曲線中也有類似結論,從而有以下更一般的定理:

結合直角三角形的相關性質,還有以下推論：

5.新題命制

6.教學啟示

(1)立足教材 把握高考

這道模考題的題根就在課本上,重視課本習題潛在功能的挖掘和利用,不僅要弄懂課本提供的知識和方法,還要弄清定理、公式的推導過程和例題的求解過程,揭示例題、習題、復習參考題之間的聯系和變換.因為考點在書中,但試題在書外,源于課本又高于課本.因此要順利解答此類題目，必須在掌握課本方法的基礎上向外拓展,進行深挖,在教學和復習時不可脫離課本,堅持“以本為綱”,數學教學中,要夯實基礎,不要一味的追求解題的難度,以不變應萬變.

(2)變式探究 提煉思想和方法

在日常的教學中,需要老師能靜下心來,對教材認真研讀,深度挖掘,不盲目跟風.課本是試題之源,只要我們能反復研究,在平時的教學中注重變式訓練,不僅可以提高學生的數學解題能力,而且通過變式來透過現象看清本質,一舉切中要害.更重要要的是還可以讓學生從書山題海中解放出來.因此應充分認識例題、習題本身蘊含的價值,掌握其中的通性通法,只有平時教學重視思想的滲透,才能讓學生在高考選拔中脫穎而出.