2018歐洲女子數(shù)學(xué)奧林匹克第1題探究

江蘇省泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校 (225500) 江蘇省姜堰中等專業(yè)學(xué)校 (225500)

左小寧 陳 宇

2018歐洲女子數(shù)學(xué)奧林匹克第1題：在⊿ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,M為邊AB的中點，設(shè)P為⊿ABC外接圓Γ上的一個動點，Q為線段CP上一點，且滿足QP=2QC.已知過點P且垂直于線段AB的直線與直線MQ交于唯一點N.證明：當(dāng)點P在圓Γ上運動時，點N恒在一定圓上.

筆者對這道賽題從解析法角度進行了一番探究.不揣冒昧，奉諸讀者.

探究一：別解

圖1

證明：以圓Γ的圓心O為坐標(biāo)原點，OC為y軸,過O點且與OC垂直的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖1).設(shè)|CA|=|CB|=2a(a>0)，則C(0,2a),M(0,a).圓Γ的方程為x2+y2=4a2.又設(shè)圓Γ上的一個動點P的坐標(biāo)為P(m,n).

由題設(shè)知OC⊥AB,PN⊥AB,∴PN∥OC.可得

⊿PNQ∽⊿CMQ.以下法一：

圖2

解析法所得動點N的軌跡顯然更直觀.

探究二：變式1改變點Q的位置，不改變線段QP,QC的大小關(guān)系

在⊿ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,M為邊AB的中點，設(shè)P為⊿ABC外接圓Γ上的一個動點，Q為線段PC延長線上一點，且滿足QP=2QC.已知過點P且垂直于線段AB的直線與直線MQ交于唯一點N.證明：當(dāng)點P在圓Γ上運動時，點N恒在一定圓上.

圖3

證明：如圖3.如上可知，C為線段PQ中點.由中點坐標(biāo)公式可分別求得xQ=-m,yQ=4a-n?xN=m,yN+2a=n.

探究三：變式2 改變點Q的位置，且交換線段QP,QC的大小關(guān)系

圖4

簡證：如上可得，λ=

探究四：推廣在△ABC中，CA=CB,∠ACB=120°,M為邊AB的中點，設(shè)P為⊿ABC外接圓Γ上的一個動點，Q為直線PC上異于點C,P的一點，且滿足QP=λQC.已知過點P且垂直于線段AB的直線與直線MQ交于唯一點N.證明：當(dāng)點P在圓Γ上運動時，點N恒在一定圓上.

證明：建立直角坐標(biāo)系(如別解).設(shè)|CA|=

|CB|=2a(a>0)，則C(0,2a),M(0,a).圓Γ的方程為x2+y2=4a2.又設(shè)圓Γ上的一個動點P的坐標(biāo)為P(m,n).

由題設(shè)知OC⊥AB,PN⊥AB,∴PN∥OC.可得⊿PNQ∽⊿CMQ.以下法一：

亦可以上述別解二證明之.

相對于解析法，當(dāng)Q為線段PC上一點時，解析法中λ>0，點N所在定圓為將△ABC外接圓Γ沿OC—y軸向上平移λa個單位所得.

當(dāng)Q為線段PC或CP延長線上一點時，解析法中λ<0，點N所在定圓為將△ABC外接圓Γ沿OC—y軸向下平移|λ|a個單位所得；

當(dāng)Q在線段PC上一點，且λ=2時，即為原賽題；

當(dāng)Q在線段PC延長線上，且λ=2，解析法中λ=-2時，即為本文之變式1；

該推廣當(dāng)然可以平幾法進行證明—通過分類，參照參考答案的證法.有興趣的讀者不妨一試.當(dāng)然最后的結(jié)論仍然缺少直觀性.而借助于解析法，真正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，可以完全直觀地看到點N所在定圓的具體位置.當(dāng)然，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的求異性，深刻性同樣多有益處.