以數(shù)學(xué)建模為平臺的線性代數(shù)案例教學(xué)研究

□朱 玲

一、《線性代數(shù)》引入案例教學(xué)問題的提出

《線性代數(shù)》是高等院校理工科專業(yè)、經(jīng)管專業(yè)開設(shè)的一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之一，其教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法是大學(xué)數(shù)學(xué)系列課程教學(xué)改革一直關(guān)注的問題。在實際教學(xué)中，原有的線性代數(shù)教學(xué)重理論、重計算、輕應(yīng)用的教學(xué)模式，讓學(xué)生對課程開始空降的各種抽象感到莫名其妙，學(xué)生普遍認為線性代數(shù)抽象難學(xué)，理論無用。獨立院校的培養(yǎng)目標定位為培養(yǎng)應(yīng)用型人才，學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的成功與否直接關(guān)系到應(yīng)用型人才培養(yǎng)的質(zhì)量。也就是說，要重視理論與實踐的結(jié)合，這點對于獨立學(xué)院尤為重要。因此，應(yīng)用型本科院校線性代數(shù)教學(xué)的主要目的是使得學(xué)生具備基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠較好地處理和解決相關(guān)的實際問題。但由于獨立學(xué)院大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常薄弱，加之線性代數(shù)內(nèi)容抽象、邏輯推理強，學(xué)生畏難情緒重，學(xué)習(xí)積極性低。如何使這些學(xué)生掌握線性代數(shù)基礎(chǔ)知識、基本思想和基本方法，是大學(xué)數(shù)學(xué)教師必須面對的首要問題。

針對應(yīng)用型本科院校的人才培養(yǎng)目標，在《線性代數(shù)》課程的教學(xué)實踐過程中，將采用案例教學(xué)和傳統(tǒng)講授相結(jié)合的教學(xué)方法。教師需要根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，遵循“以應(yīng)用為目的，以夠用為度”的教學(xué)原則，引入適當(dāng)?shù)陌咐M行教學(xué)，搭建線性代數(shù)與各個專業(yè)之間的紐帶。

二、案例教學(xué)的概述

案例教學(xué)是一種通過模擬或者重現(xiàn)現(xiàn)實生活中的一些場景，通過學(xué)生討論或者研討來進行學(xué)習(xí)的一種教學(xué)方法。案例教學(xué)最早是在1870年由美國的克里斯托弗·哥倫布·朗代爾提出，之后美國的鄭漢姆對案例教學(xué)進行大量的推廣應(yīng)用，案例教學(xué)迅速由美國傳播到世界各地。20世紀80年代，案例教學(xué)引入我國。案例教學(xué)的重點是學(xué)生和教師互動的“學(xué)”。互動的“學(xué)”，就要很據(jù)學(xué)生的能力和需求，考慮學(xué)生的主體性和“學(xué)”的過程中學(xué)生可能采取的學(xué)習(xí)行為，在此基礎(chǔ)上，教師對案例教學(xué)過程進行整體設(shè)計和控制。

教師在《線性代數(shù)》課程教學(xué)中可以融入案例教學(xué)，那么教師選擇案例的時候就要考慮整個教學(xué)計劃的進度，要注意案例部分和理論部分、實踐部分之間的平衡。因為線性代數(shù)的案例往往與實際背景聯(lián)系緊密，而這些背景需要學(xué)生有深厚的專業(yè)知識，因此，案例教學(xué)的時間在45分鐘的課堂教學(xué)中不應(yīng)該超過15分鐘，案例僅是作為整個教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)的問題引入，剩余的時間主要用在概念的理解、方法原理的解釋、結(jié)論的嚴格推導(dǎo)證明等傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容[1]。案例引入讓學(xué)生了解線性代數(shù)可以解決哪些實際生活生產(chǎn)中的問題，至于怎么用，怎么解決實際問題，將在數(shù)學(xué)建模系列活動中進行探討，課堂教學(xué)環(huán)節(jié)則避免因復(fù)雜的求解計算耽誤課堂的寶貴時間。

三、線性代數(shù)案例教學(xué)的實踐內(nèi)容

編寫高質(zhì)量的線性代數(shù)教材，增加數(shù)學(xué)建模實例，開展課程的資源建設(shè)，是提高教學(xué)質(zhì)量的重要途徑。以數(shù)學(xué)建模為平臺的線性代數(shù)案例教學(xué)主要從教材、教學(xué)大綱、教學(xué)資料和數(shù)學(xué)建模四個方面進行研究與探索。以現(xiàn)代教育思想指導(dǎo)課程的改革，從認知規(guī)律入手，重新編排教學(xué)內(nèi)容、針對工程應(yīng)用需要，構(gòu)建課程體系。

(一)搜集線性代數(shù)案例教學(xué)的資料。線性代數(shù)案例教學(xué)的關(guān)鍵是選擇與各專業(yè)相關(guān)的合適案例，因此，搜集整理與線性代數(shù)相關(guān)的各專業(yè)應(yīng)用案例是首要問題。有了案例，教師就可以針對所教學(xué)生的專業(yè)，分專業(yè)選擇不同的案例進行教學(xué)，因材施教，為學(xué)生后期的專業(yè)學(xué)習(xí)打下一定基礎(chǔ)。

(二)編寫線性代數(shù)教材。獨立學(xué)院的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，他們獲取數(shù)學(xué)知識的主要途徑是通過自學(xué)教材和教師授課兩個途徑。學(xué)生對教材和教師的依賴程度和信任程度比較強，因此將實際案例編入教材，融入到各個章節(jié)的理論教學(xué)中，學(xué)生從心理上愿意接受和探究實際案例。線性代數(shù)抽象的理論知識和實際案例的結(jié)合，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，對于提高學(xué)生運用線性代數(shù)知識解決實際應(yīng)用問題的能力也有很大的促進作用。

(三)修訂線性代數(shù)教學(xué)大綱。課程教學(xué)大綱是執(zhí)行教學(xué)計劃實現(xiàn)人才培養(yǎng)目標的教學(xué)指導(dǎo)性文件，也是組織課程教學(xué)、選用和編寫教材以及進行教學(xué)質(zhì)量評估、教學(xué)管理的基本依據(jù)。為了確保課程教學(xué)質(zhì)量與效果，針對獨立學(xué)院不同專業(yè)學(xué)生對線性代數(shù)知識需求的不同應(yīng)做到以下幾點，第一，任課教師參與調(diào)研各專業(yè)線性代數(shù)所用的知識點。第二，了解和掌握后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)中學(xué)生普遍反映的線性代數(shù)難點。第三，針對各個專業(yè)提出的線性代數(shù)知識點和知識點難易程度，在原有教學(xué)大綱基礎(chǔ)上進行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，以融入生活生產(chǎn)案例的教材為依托，制定適合各專業(yè)不同層次學(xué)生的線性代數(shù)教學(xué)大綱。

(四)開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)。數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)的語言去近似地刻畫一個實際研究對象，構(gòu)建一座現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的橋梁，并以計算機為工具，應(yīng)用現(xiàn)代計算技術(shù)，達到解決各種實際問題的目的[2]。目前，數(shù)學(xué)建模是在校大學(xué)生用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的一條重要途徑，因此要加大數(shù)學(xué)建模的宣傳活動，讓更多的學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模，參與數(shù)學(xué)建模。學(xué)校開展數(shù)學(xué)建模選修課、暑期數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)和全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽等多項活動，構(gòu)件線性代數(shù)案例教學(xué)的第二課堂教學(xué)，擺脫單一的課堂講授型教學(xué)體系。數(shù)學(xué)建模弱化了線性代數(shù)中抽象的理論學(xué)習(xí)，強化學(xué)生Matlab求解能力，擴展了課程教學(xué)內(nèi)容的外延與內(nèi)涵，從思維創(chuàng)新、動手實踐、問題解決等學(xué)生的薄弱能力進行全面提升。通過對已參加數(shù)學(xué)建模活動學(xué)生的調(diào)查，學(xué)生一致認為：傳統(tǒng)線性代數(shù)課程教學(xué)僅是抽象的概念和邏輯推理，學(xué)完線性代數(shù)后不知道這個課程到底有什么用，怎么用。在線性代數(shù)課堂教學(xué)中引入適當(dāng)相關(guān)的案例，對學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程是非常必要的。案例教學(xué)不僅能使學(xué)生體會到用線性代數(shù)知識解決實際問題的樂趣，也會讓學(xué)生自覺地養(yǎng)成一種用數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法去觀察、解決生活生產(chǎn)問題的思維習(xí)慣，這也是素質(zhì)教育的根本所在。下面以線性代數(shù)第四章特征值與特征向量的城鄉(xiāng)人口流動問題為例，探討案例教學(xué)的實施。

問題 對城鄉(xiāng)人口流動的年度調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每年農(nóng)村居民有3.5%遷往城鎮(zhèn)，城鎮(zhèn)居民有0.5%遷往鄉(xiāng)村，預(yù)測今后各年住在城鎮(zhèn)和農(nóng)村的人口[3]。

模型假設(shè) 城鄉(xiāng)總?cè)丝诤腿丝诹鲃拥内厔荼３植蛔儭?/p>

模型建立 設(shè)開始時城鎮(zhèn)人口為x0，農(nóng)村人口為y0，第i年后城鎮(zhèn)人口為xi，鄉(xiāng)村人口為yi，每年農(nóng)村居民遷往城鎮(zhèn)的比例為p，城鎮(zhèn)居民遷往農(nóng)村的比例為q。根據(jù)人口流動的比例數(shù)據(jù)，可推算一年以后的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口計算公式為：

x1=(1-q)x0+py0

y1=qx0+(1-p)y0

用矩陣表示為

依次類推，可得到兩年后城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口計算公式

及第年后城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口計算公式：

Ak=(PΛP-1)(PΛP-1)…(PΛP-1)=PΛkP-1

從而，

案例在課堂教學(xué)中只作為本節(jié)的問題引入，讓學(xué)生了解線性代數(shù)可以解決的實際問題，課堂講授的重點主要是特征值和特征向量有關(guān)知識。由于實際問題通常都涉及到復(fù)雜的計算，因此，模型的求解、模型的分析、模型的推廣安排在數(shù)學(xué)建模選修課環(huán)節(jié)。

四、結(jié)語

基于數(shù)學(xué)建模的線性代數(shù)案例教學(xué)的研究與探索為獨立學(xué)院大學(xué)線性代數(shù)課程的教學(xué)改革和實踐提供借鑒依據(jù)，為提高大學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的動手能力提供方法和途徑。通過近年來線性代數(shù)的案例教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)知識的積極性提高了，參加數(shù)學(xué)建模活動的人數(shù)也逐年增加。通過數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)和數(shù)學(xué)建模競賽，學(xué)生的團隊協(xié)作能力和解決實際問題的動手能力顯著提高，其就業(yè)競爭力顯著增強。當(dāng)然，在實際教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)了一些問題。比如年輕教師教學(xué)經(jīng)驗不足，數(shù)學(xué)建模能力有待提高，獨立學(xué)院學(xué)生選修數(shù)學(xué)建模課程的積極性遠遠不夠，這些都直接影響到線性代數(shù)案例教學(xué)改革的實施效果。在當(dāng)今數(shù)學(xué)建模如火如荼的今天，線性代數(shù)案例教學(xué)是順應(yīng)時代發(fā)展和獨立學(xué)院應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標的教學(xué)改革方法。隨著線性代數(shù)案例教學(xué)的深入，這些問題將會一一得到解決，使之成為適合獨立學(xué)院教學(xué)改革的一種教學(xué)方法。