上證50ETF期權隱含波動率曲面的非參數擬合

摘?要：在Black-Scholes期權定價模型中，波動率是假設在期權存續期內保持不變的，而通過對我國上海證券交易所的50ETF期權合約交易數據分析發現，其隱含波動率有著明顯的微笑表現。因此，本文根據BS隱含波動率函數對上證50ETF期權進行了非參數擬合，通過所建立的隱含波動率曲面發現了其具有的波動率微笑特征，這為未來期權價格的預測模型的建立奠定了基礎。

關鍵詞：上證50ETF期權;期權定價;隱含波動率曲面;非參數擬合

中圖分類號：F83文獻標識碼：A文章編號：1008-4428（2019）06-0137-02

一、 引言

2015年2月9日，上證50ETF期權在我國上海證券交易所開始交易，A股迎來了股票期權時代。目前，我國的期權主要有場內期權以及場外期權，相對于場外期權來說，場內期權由政府監管和行業自律來保障其交易，具有集中交易、標準化合約以及高流動性、交易量大等特點，因此對場內期權合約進行波動率曲面建模對投資組合的風險管理有著重要的意義。

在金融產品的交易市場中，波動率通常被作為衡量投資風險程度大小的指標，一般來說，波動率越大，風險程度越高。Black and Scholes（1973）提出的BS期權定價模型，可應用于對無紅利支付的歐式期權定價中，以看漲期權定價公式為例：

其中，C為是看漲期權價格，S為標的資產價格，K為期權的行權價格，r為無風險利率，τ 為剩余有效時間，σ為標的資產價格收益率的波動率，Nd1、Nd2為累計正態分布概率函數。該定價公式給出了期權價格C與5個參數（S，K，τ，r，σ）之間的關系，隱含波動率即是將從市場上得到的期權價格代入該模型中反推得到的波動率。本文考慮采用多項式擬合方法對上證50ETF期權的數據進行模擬，并根據隱含波動率、行權價格以及期限三者之間的關系建立隱含波動率曲面。

二、 數據的描述和處理

根據BS定價公式可得出看漲期權隱含波動率的函數，即：

其中，Ci為從市場上觀察到的上證50ETF期權合約的價格，σi為隱含波動率。本文選取了2019年3月1日上證50ETF的交易數據，在這一天有存續期為21天、56天、119天和210天的期權報價數據，當日標的資產價格S為2.802，將當天的中債國債收益率曲線作為無風險利率曲線，得到r為1.8491%，代入上式并得到隱含波動率的散點分布圖，如圖1所示：

由圖1可以看出，在每個存續期時，波動率曲線的分布有著明顯的微笑特征。

本文基于上述的市場交易樣本數據，根據上證50ETF期權的不同行權價格進行多項式插值形成隱含波動率曲線，并對不同的到期時間再進行插值形成隱含波動率曲面。

三、 隱含波動率曲線的擬合

在非參數估計中，將離散的數據以光滑的函數表示的方法有很多，如線性光滑、基函數展開和局部多項式擬合等，本文采用多項式擬合方法來擬合在每個存續期時期權的隱含波動率曲線。

根據樣本數據中已有的期權合約價格和行權價格以及到期時間，采用牛頓二分法在BS期權定價模型中進行迭代，得到對應的隱含波動率，并采用二次多項式擬合構建波動率微笑曲線，如圖2所示：

由圖2可知，在固定的存續期下，隨著執行價格的不斷增大，期權的隱含波動率先減小后增大，且在平值期權附近有最小值;其次，隨著到期時間的臨近，期權的隱含波動率增大，這說明在即將到達期權執行時間時，期權的交易越活躍;最后，對于合約期限較短的樣本合約，其隱含波動率曲線呈現出更加明顯的波動率微笑特征，而合約期限較長的樣本，隱含波動率曲線趨于平緩。

四、 隱含波動率曲面的擬合

基于上述已得到的隱含波動率曲線，再對四個存續期進行多項式插值并擬合，便可得到觀測日下的上證50ETF看漲期權的隱含波動率曲面，如圖3所示：

如圖3所示，由通過多項式擬合對上證50ETF期權建立的隱含波動率曲面可知，在觀察日2019年3月1日，樣本數據的隱含波動率和行權價格有著明顯的波動率微笑特征，此外，當期權合約臨近到期時，其微笑程度更明顯，波動率曲線更為陡峭，而當到期時間較遠時，期權的波動率曲線更為平緩。

五、 結論和展望

本文通過對觀察日交易市場上的實際期權合約數據，構建出了隱含波動率曲線以及曲面模型，發現了50ETF期權市場中存在著較為顯著的隱含波動率微笑現象，且對于存續期較短的期權合約更為明顯。

首先，本文在構建上證50ETF期權的波動率微笑及波動率曲面模型時，主要采用的是非參數方法中的插值法。而通常來說，非參數法雖然靈活性更高，能夠針對較為復雜的隱含波動率曲面建模，但它的應用需要較為嚴格的條件，例如期權的價格設定需要滿足無套利條件。且非參數法無充足的理論基礎支持，對于數量較少的樣本數據，在采用非參數法構建隱含波動率曲線時，在邊界區域往往會產生較大的估計誤差，因此采用非參數法估計隱含波動率曲面，存在較大的局限性。

其次，本文選取的觀察日中，50ETF期權合約只有四種合約到期時間，樣本的數據較少，且行權價格的范圍也較小，建立的模型缺乏較高的精度。

最后，隨著50ETF期權市場的發展，隱含波動率也會受到投資者的構成和市場交易環境的影響，因此應建立一個更全方面、更具適用性的隱含波動率模型。

參考文獻：

[1]ZHANG C Q，ZHAO N，KONG D. New developments on functional data analysis[J]. Journal of GuangzhouUniversity：Natural Science Edition， 2006，5（3）：1-3.

[2]Black F，Scholes M.The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Politics，1973，81（5-6）：637-59.

作者簡介：

謝智敏，女，江西新余人，江西財經大學學生，研究方向：證券投資。