“找次品”方法再探究

華有稱

[摘 要]找次品的策略包含了邏輯推理思維，教學(xué)“找次品”時，不僅要教會學(xué)生分析推理的方法，還要讓學(xué)生學(xué)會從基本類型入手，最后總結(jié)出一般的計算法則。

[關(guān)鍵詞]找次品;三分法;公式

“找次品”是人教版教材五年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”中的內(nèi)容，為了有效開展“找次品”教學(xué)，筆者特意拜讀了《稱有形·找有方·用有數(shù)——談“找次品”的方法與提升策略》《我的方法和結(jié)論》《用合理的方法導(dǎo)出合適的結(jié)論——有關(guān)“找次品”問題的思考》三篇文章。后兩篇文章專門針對第一篇文章中的錯漏提出批評意見。這種圍繞同一學(xué)科問題展開激烈爭辯，引起學(xué)術(shù)爭鳴的做法，值得提倡。令人惋惜的是，這三篇文章都犯了一個致命的錯誤，那就是出現(xiàn)了結(jié)論性的硬傷。同一個問題引起三位教師的爭論，而每個人都犯了結(jié)論性的錯誤，這個問題的復(fù)雜性和難度可見一斑，而且至今沒有達(dá)成共識。因此，筆者想繼續(xù)深入探討這個問題。

一、從分組實驗中注意到“三分法”

在此，筆者先來研究“當(dāng)次品重于正品如何找次品？”這一問題。按照課本的指示，研究這類問題時，一般做法是先分組，然后稱重比較重量大小，最后進行邏輯推理。通過嘗試不同的分組方法，選出了最優(yōu)分組方案。最終證明，“三分法”為最優(yōu)方案。從教學(xué)上看，這個過程可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、推理等綜合能力。對于五年級學(xué)生來說，采用這樣一個較為簡單的模型（找次品），非常合適。但是由這樣的方式總結(jié)出“三分法”為最優(yōu)方案的結(jié)論，這種模型顯然并不合適。因為這需要一個合情推理的過程，而此時，歸納思維十分復(fù)雜，體現(xiàn)在兩個方面。

一是從特殊到一般的歸納需要大量案例。在這里，具體案例是從2個、3個、4個、5個、6個……物品中找到次品，如何分組稱量最省事，至少稱量幾次可以篩選出次品。對于學(xué)生來說，每一次實驗都很漫長，受到時間限制，很難做完大量實驗。

二是在不同個案中“分組”的重要程度不一樣，即使列舉大量事實，歸納時也很難注意到“分組方法”，特別是“三分法”。具體實驗時，多數(shù)時候無法采用“三分法”，因為有時物品的數(shù)量無法被“三等分”，即使可以“三等分”，“三等分法”也并不是總有必要。簡單回顧一下就會發(fā)現(xiàn)，除了從8個或9個物品中找次品，需要“三等分”或“盡可能三等分”以外，其余數(shù)量都無此必要。正因為如此，許多教師認(rèn)為“三分法”的提出很突兀。

二、從“三分法”的由來中總結(jié)出策略

不得不承認(rèn)，上述篩選出最優(yōu)稱量方案的過程，本身就是一種思想的進步，但其沒有觸及問題本質(zhì)，因而產(chǎn)生爭議。當(dāng)一個人采用某種方案解決問題使問題本身越發(fā)復(fù)雜時，就應(yīng)該改弦更張，另找出路。下面我們具體研究一個“找次品”的實例。

比如，從100個零件中稱量出超重的一個次品，需要確認(rèn)的條件有兩個：一是明確除了超出標(biāo)準(zhǔn)重量的那一個零件外，其余99個零件一樣重;二是有一個可以比較輕重的杠桿。通過杠桿一次次比較輕重。其實每一步稱量的方法都一樣，以后不斷重復(fù)第一步。因為有100個物品，所以第一次衡量輕重的方案有很多，如：

稱法一：杠桿左右兩邊各放置50個零件，記作（50，50）。

稱法二：杠桿左右各放置40個零件，另20個零件暫時不管，記作（40，40，20）。

下面辨析哪種方案更優(yōu)。為此，我們詳細(xì)分析兩種分法面臨的難題。“稱法一”中，杠桿肯定無法平衡，于是斷定次品摻雜在較重的50個中;“稱法二”中，杠桿可能出現(xiàn)平衡和不平衡兩種情況。若平衡，次品必然摻雜在另外20個中;若不平衡，次品摻雜在較重的40個中。因此在“稱法一”中，第一次稱量后，必須繼續(xù)在較重的50個零件中繼續(xù)尋找;“稱法二”中，將從20個零件或40個零件中尋找次品。我們有一個慣性思維，那就是數(shù)量少的物品比數(shù)量多的物品找次品更容易。于是覺得，方案2優(yōu)于方案1。進一步思考，能不能優(yōu)化方案2？如杠桿左右兩邊各放39個，余下22個暫時擱置不理。這樣進行分配，顯然比前一種分配方案更好。

沿著這個思路進一步思考，于是得出兩種“最佳稱法”：稱法A（33，33，34），稱法B（34，34，32）。

以上兩種方案的共同點是：第一次稱量之后，都可能面臨從34個零件中挑揀次品的問題，34成為最小值。稍加總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)杠桿兩端的數(shù)量，或者剩余的數(shù)量，就是下一次需要重新分配稱量的總量。當(dāng)然，第二次稱量的總量越少越好，但是先期稱量的數(shù)量與放置一旁的數(shù)量此消彼長。于是權(quán)衡利弊：為了確保第二次稱量的總量最少，達(dá)到穩(wěn)定值，于是就將放置在杠桿兩端的數(shù)量與閑置一旁的數(shù)量盡量相等，也即是所謂的“三分法”。由上述討論不難看出，所謂“分三組”，其實是由杠桿特性決定的，杠桿一次可以比較兩份重量，再加上暫擱一旁的一份。這樣，零件自然被分成3組，特殊情況下，暫擱一旁的零件數(shù)量為0。大膽設(shè)想，假若創(chuàng)造一種十字杠桿，可以同時放置四份零件，無疑就要用到“五分法”。

三、從找次品的難度中總結(jié)公式

至此，我們探索到了“找次品”的方法，但這還不行，因為直覺告訴我們“零件越少，次品越好找”，最優(yōu)方案并不一定需要“盡量三分”。那么，方案最佳的必備條件是什么呢？我們已經(jīng)確認(rèn)，從2個或3個零件中挑揀次品，只需—次。在此記作：一次（2，3）。

再研究4個零件中挑揀次品的方案。

此時，第一次稱量有兩種方法：（2，2，0）和（1，1，2）。

無論采用哪種方法，都要考慮從2個零件中找次品的第二次操作。這個已經(jīng)解決，需要1次稱量。于是從4個零件中找次品，需要2次稱量。

類似的，從5個零件中找次品，也需要2次稱量。

再研究從6個零件中找次品的例子，此時，首次稱量有三種方法：（1，1，4），（2，2，2），（3，3，0）。

上述第一種方法，需要考慮從4個中找次品，還需2次。而上述第二、三種方法中，需要從2個或者3個中找次品，還需一次。因此，上述第二、三種方法為最優(yōu)方案。從6個物品中找次品，最多也需2次稱量。

繼續(xù)推理：

需2次稱量：4、5、6、7、8、9個零件;

需3次稱量：10、11、12、13…26、27個零件;

需4次稱量：28、29、30…80、81個零件。

至于具體方法，比如在35個零件中找次品，只需要保證第二次稱量的數(shù)量風(fēng)險控制在27以內(nèi)即可。比如可以分為（4，4，27）或者（10，10，15），即稱一次后，剩下的最大值要進入下一個值域里。

概括起來，對于從n個零件中找次品，當(dāng)[3k-1

關(guān)于次品不知輕重的“找次品”問題更復(fù)雜。以4個零件為例（不知次品輕重）：將4個零件進行編號（1，2，3，4）。第一次稱量1號和2號，若平衡，則次品藏在3號和4號中;第二次稱量2號和3號，若平衡，則次品就為4號零件，若不平衡，次品則確定為3號零件，如果第一次稱量1號和2號就不平衡，那么推定次品為1號或者2號其中之一，再將1號和2號分別與3號稱量比較，不與3號平衡者為次品。

（責(zé)編 黃春香）