借助數軸認識假分數，突破單位“1”的局限

張龍昌

[摘 要]分數具有多重意義，教材一般是從分數的“平均分”角度開始，到分數的數字意義煞尾，使得分數的意義得到補充和擴展，教材還引進數軸來拓展分數的概念內涵，但如果使用不當，將不利于學生對假分數的掌握。引入數軸需謹慎，要借助數軸幫助學生正確認識假分數，從而突破單位“1”的局限，疏通思維阻塞。

[關鍵詞]數軸;假分數;單位“1”

一位特級教師執教蘇教版教材第十冊“真分數和假分數”一課時，引進伸縮性的長條演化成數軸，然后借助數軸來揭示假分數的起源和含義，整個假分數教學過程始終抓住“初等數軸”這個模型。數軸能將所有的數集融合起來，方便學生直觀理解。但事與愿違，教學效果卻很不理想，學生對數軸始終提不起興趣，越學越糊涂。那么，學生接納假分數的切入點在哪里？對于數軸，學生究竟了解多少？為此，筆者從8所同級小學的五年級中各抽調一個教學班（參與調研的學生學習進度還沒有到達第十冊“認識分數”這一章，他們只是在三年級對分數有初步的接觸）進行訪談調研。

一、對假分數掌握情況的測評調研調研試題：

1.用分數表示涂色部分。

2.在直線上畫出表示分數[13]、[23]的點。

對于第1題的第（3）問，有相當一部分學生錯誤地認為答案為[58]。通過訪談，筆者發現學生沒有領會大括號連接兩個圓盤的深刻用意，也沒有正確辨別“大括號”符號與“集合”符號的區別，將示意圖⑶與示意圖⑷相提并論。他們并不理解，將兩個圓盤中的一個視為單位“1”，第二個圓盤則是超出單位“1”的份額，這樣來表示分數的話，總份數也就是分母為4，選取的份額也就是分子為5，構成分數[54]。學生普遍感到困惑，分數的分子怎么能比分母大？這時學生的思維阻塞，需要及時疏導。

審視第2題的作答情況，許多學生把分數[13]、[23]錯誤地標注在數軸上的整數“1”和“2”的坐標處。學生出錯的原因主要有兩點：一是沒有正確認識數軸上的單位“1”，不知道將數軸上一個單位長度（兩個相鄰整數間距）看作單位“1”;二是簡單地將數軸等同于線段，將坐標距離等同于線段長度來表示分數。

二、正確理解單位“1”，疏通思維阻塞

以往教學生探析分數，都是從部分占整體份額比這個角度來定義分數，實際上是把單個物品、一個計量單位或一堆物品構成的集合視為單位“1”，在把單位“1”平均分成若干份，取其中一份或者幾份的情況下生成分數。在學生的意識形態里，單位“1”是“整體性”的概念，也就是所有的、全部的囊括所有個體的大全集，拿取的份額封頂也只能達到單位“1”，也就是拿走全部，但是不能超出單位“1”，因為全集之外已經沒有多余的了，這種偏見非常頑固。對單位“1”的偏見變成了學生對假分數的認知障礙。對于調研試題第1題（3）問，許多學生都把兩個圓盤組合起來，將其整體視為單位“1”，誤認為涂色部分是[58]。要讓學生正確認識假分數，當務之急就是要矯正和扭轉學生對單位“1”的偏見，重新正視單位“1”，理性與包容地看待把單個物品或者一定容量的整體設立為單位“1”，其余部分參照原單位“1”一律作為份額，不再出現第二個單位“1”。否則，學生無法心悅誠服地接受假分數，也無法領會假分數概念的本質內涵，更遑論解放思想，疏通思維阻礙了。

三、引入數軸需謹慎

現行各版本教材統統都是從“數尺”中抽象出“數線”，再將“數線”加工處理成“數軸”，這樣的過渡設計，符合學生的認知規律，確立了數軸的地位。但運用數軸表示分數存在弊端，學生除了不能明確判斷數軸上的單位“1”外，還有許多更深層次的原因。在數軸上表示分數與分面積、分割實物來表示分數不同，數軸除了表示數量，也就是基數性，還有序數性。用面積、實物模型刻畫分數，選取的部分比較隨意，沒有規定的順序，可以是其中任意幾等份，所表示的份額只是代表具體數量，即單純的比較大小。而數軸上表示分數，分數除了具備反映份額大小的功能，還能反映順次。數軸上表示的分數，從左至右依次增大，它們的次序不可調換。

在教學假分數時，應該將數軸作為唯一的直觀載體，還是把它作為揭示假分數的輔助手段，教師需謹慎考慮。

（責編 黃春香）