巧用數(shù)形結(jié)合 優(yōu)化幾何直觀

江永勝

[摘 要]在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，也是最常用的解決問題方法之一。數(shù)形結(jié)合可以將抽象的信息、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系用幾何圖形直觀地呈現(xiàn)出來，使問題由抽象變具體、由復(fù)雜變簡(jiǎn)單，有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;幾何直觀;行程問題;小學(xué)數(shù)學(xué)

“行程問題”是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容之一，一般以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，有著豐富的變式。下面，我就以“行程問題”的教學(xué)為例，談?wù)勅绾吻捎脭?shù)形結(jié)合，優(yōu)化幾何直觀，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂。

一、“行程問題”教學(xué)案例

小學(xué)階段，“行程問題”最早出現(xiàn)在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教材，在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第五單元中設(shè)計(jì)和編排了列方程解決“行程問題”的內(nèi)容。“行程問題”具體是指與速度、時(shí)間以及路程有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，其中的數(shù)量關(guān)系式有“速度×?xí)r間=路程”“路程÷時(shí)間=速度”“路程÷速度=時(shí)間”。在“行程問題”中，涉及的數(shù)有整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù);設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)變化情況也很多，如單個(gè)物體運(yùn)動(dòng)、兩個(gè)或兩個(gè)以上的物體運(yùn)動(dòng);運(yùn)動(dòng)方向有相向運(yùn)動(dòng)、同向運(yùn)動(dòng)以及背向運(yùn)動(dòng)。在實(shí)際教學(xué)中，教師可先基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合分析和理解題中的數(shù)量關(guān)系，找到未知數(shù)，再讓學(xué)生依據(jù)等量關(guān)系列出正確的方程，最后解決問題。為此，我對(duì)人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“行程問題”的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)，巧用數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生解決問題。

教學(xué)片段1：

（1）出示教材第79頁的例5。

師：題中的已知條件和要求的問題是什么？

生1：已知條件為“小林家和小云家相距4.5千米”“小林的騎車速度是0.25千米/分鐘”“小云的騎車速度是0.2千米/分鐘”，要求的問題是“兩人何時(shí)相遇”。

師：求“兩人何時(shí)相遇”是什么意思？（生答略）

師（總結(jié)）：這里的路程已經(jīng)不是指一個(gè)人行駛的路程了，而是指兩個(gè)人行駛的路程之和，那么相遇時(shí)間就是指兩個(gè)人共同行駛完全程用的時(shí)間。

（2）活動(dòng)：讓學(xué)生上臺(tái)演示相遇情景，并用畫線段圖的方式分析題中的數(shù)量關(guān)系。

師：小林與小云分別從相對(duì)的方向同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間后相遇，也就是行駛完了全程。

師：從線段圖中，你知道了什么？

生2：小林騎的路程+小云騎的路程=總路程。

（3）質(zhì)疑。

師：現(xiàn)在能不能求出“小林騎的路程”和“小云騎的路程”呢？

生3：都不能求出，因?yàn)樗麄冃旭偟臅r(shí)間不知道。

師：他們行駛的時(shí)間一樣嗎？為什么？（生討論交流）

生4：他們是同時(shí)出發(fā)的，所以相遇時(shí)行駛的時(shí)間應(yīng)該是一樣的，可以把他們行駛的時(shí)間設(shè)為x。

（4）思考分析，嘗試列方程解答問題。

（學(xué)生先小組交流，然后小組代表匯報(bào)，師根據(jù)學(xué)生代表的匯報(bào)板書）

師：（小結(jié)）“相遇問題”中有哪些等量關(guān)系？（板書：甲的速度×相遇時(shí)間+乙的速度×相遇時(shí)間=路程）

（5）課件出示線段圖（如下），引導(dǎo)分析思考。

師：小林與小云分別從相對(duì)的方向同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過1分鐘后，他們共走了多少千米？

師：（追問）再經(jīng)過1分鐘，他們共走了多少千米？第5分鐘，他們共走了多少千米？（學(xué)生思考交流，嘗試?yán)斫猓核麄児沧吡藥追昼姡妥吡藥讉€(gè)0.45千米）

師：（總結(jié)）“行程問題”中的等量關(guān)系為“（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間=路程和”，即“速度和×相遇時(shí)間=路程和”。

……

二、反思教學(xué)，整改提升

在學(xué)生演示相遇情景時(shí)，一位學(xué)生脫口而出：“他們撞上了！”我先是一驚，然后對(duì)“相遇”與“相撞”進(jìn)行了解釋。然而，我在后面教學(xué)中出示表示相遇的線段圖時(shí)，仍有學(xué)生小聲嘀咕：“還是撞上了！”由于教學(xué)進(jìn)度的原因，我對(duì)學(xué)生的這一反應(yīng)沒有及時(shí)處理。課后，我不禁反思學(xué)生的這一反應(yīng)：“這樣的繪圖方式是不是可以改進(jìn)？要如何改進(jìn)呢？”隨后，我查閱了很多資料與習(xí)題集，并搜集小學(xué)和初中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的典型的“行程問題”，運(yùn)用畫線段圖的方式，嘗試解決問題。通過探究與實(shí)踐，我發(fā)現(xiàn)“行程問題”中多個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，除了有簡(jiǎn)單的“相遇問題”和“追及問題”外，還有復(fù)雜的“多次相遇”“流水行船”“環(huán)形跑道”等問題，如果都通過線段圖呈現(xiàn)和分析，不利于學(xué)生理解題意。于是，我將教學(xué)進(jìn)行了修改。

教學(xué)片段2：

師：（在學(xué)生明確題中的已知條件和問題，理解何為“相遇”后）現(xiàn)在能不能求出“小林騎的路程”和“小云騎的路程”呢？

生1：都不能求出，因?yàn)樗麄冃旭偟臅r(shí)間不知道。

師：他們行駛的時(shí)間一樣嗎？為什么？（生討論交流）

生2：他們是同時(shí)出發(fā)的，又同時(shí)停止行駛，所以相遇時(shí)行駛的時(shí)間應(yīng)該是一樣的。

師：小林與小云分別從相對(duì)的方向同時(shí)出發(fā)（用不同顏色的粗細(xì)線段表示小林和小云的行駛路程），經(jīng)過一段時(shí)間后相遇，也就是行駛完了全程。

師：他們的相遇地點(diǎn)離哪里比較近？為什么？

生3：離小云家比較近，因?yàn)樾×值乃俣瓤臁?/p>

生4：在相同時(shí)間內(nèi)，速度越快，行駛的距離越長。

（師引導(dǎo)學(xué)生完成線段圖）

……

上述教學(xué)，我遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過多媒體創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，并充分運(yùn)用直觀教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生理解題中的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及關(guān)鍵詞，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)潔美，使學(xué)生真正掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)形結(jié)合之美在于以形助數(shù)，通過直觀分析獲得對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，也就是通常所說的數(shù)學(xué)思想方法，只有這樣才能真正做到以不變應(yīng)萬變。學(xué)習(xí)掌握和靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)有重大作用和意義。此外，教師還要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)中思形、形中覓數(shù)的意識(shí)，使學(xué)生能夠準(zhǔn)確地構(gòu)造出圖形，找到數(shù)與形的切合點(diǎn)，從而理解圖中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的能力。

（責(zé)編 杜 華）