《直線與圓的位置關系一》教學設計

肖奮勇

摘 要 讓學生親身經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣，感受“方程思想”、“坐標法”等數學思想的內涵，養成良好的思維習慣。

關鍵詞 直線與圓；位置關系

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）07-0171-01

一、教學目標

1.知識與技能：理解直線與圓的位置關系；掌握判斷位置關系的兩種方法。

2.過程與方法：

（1）理解直線與圓的三種位置關系，感受直線與圓的位置與它們的方程所組成的二元二次方程組的解的對應關系；

（2）體驗通過比較圓心到直線的距離和半徑之間的大小判斷直線與圓的位置關系，領會數形結合的思想方法，讓學生通過觀察圖形，明確數與形的統一性和聯系性。

二、教學重點

直線與圓的位置關系的判斷及判定方法的應用。

三、教學難點

直線與圓的位置關系的判定方法的靈活應用。

四、教學方法

教師啟發講授、學生探究學習。

五、教學準備

多媒體課件。

六、教學過程

（一）復習導入

1.知識準備

（1）直線方程一般式：Ax+By+C=0（A，B不同時為零）；

（2）圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2，圓心為（a，b），半徑為r；

（3）圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），圓心為 ， ，半徑為 ；

（4）點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距離是 。

2.問題引入

在初中，我們學過直線與圓的位置關系，請同學們回憶一下，直線與圓有哪幾種位置關系？我們怎樣判斷直線與圓的位置關系？

（二）問題探究

1.思考探究

現在，我們學習了直線和圓的方程，我們如何用直線方程和圓的方程判斷它們之間的位置關系？

實例探討：已知直線 與圓 ，判斷它們的位置關系。

2.方法提煉

判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：

幾何法：根據圓心到直線的距離d與圓的半徑r的關系來判斷。如果dr，直線與圓相離。

代數法：根據直線與圓的方程組成的方程組解的情況來判斷。如果有兩組實數解時，直線與圓相交；有一組實數解時，直線與圓相切；無實數解時，直線與圓相離。

（三）知識應用

1.例1：已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓的位置關系；如果相交，求它們交點的坐標。

設計意圖：體會判斷直線與圓的位置關系的思想方法，關注量與量之間的關系，使學生熟悉判斷直線與圓的位置關系的基本步驟。

分析：方法一，由直線l與圓的位置關系，就是看由它們的方程組成的方程組有無實數解；方法二，可以依據圓心到直線的距離與半徑長的關系，判斷直線與圓的位置關系.

方法總結：

比較兩種解法，我們可以看出，幾何法判斷要比代數法判斷快得多，但是若要求交點，仍需聯立方程組求解。

2.變式應用1

例2：設直線 和圓 相切，求實數m的值。

活動：學生思考或交流，教師引導學生考慮問題的思路，必要時提示，對學生的思維作出評價。

3.變式應用2

例3：已知⊙C：（x-1）2+（y-2）2=2，P（2，-1），求過點P作⊙C相切線的直線方程.活動：學生思考討論，教師提示學生解題的思路，引導學生回顧直線方程的求法，既考慮通法又考慮圖形的幾何性質。此切線過點p（2，-1），要確定其方程，只需求出其斜率k，可利用待定系數法（或直接求解）。直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑。

點評：過圓外已知點P（x，y）的圓的切線必有兩條，一般可設切線斜率為k，寫出點斜式方程，再利用圓心到切線的距離等于半徑，寫出有關k的方程，求出k。但是要首先根據題意，判斷切線斜率是否存在。

（四）鞏固練習

1.判斷直線 與圓 的位置關系。

2.以C（1，3）為圓心， 為半徑的圓與直線 相切，求實數m的值

3.求過點（1，-7）且與圓 相切的直線方程。

（五）課堂小結

教師提出下列問題讓學生思考：

1.通過直線與圓的位置關系的判斷，你學到了什么？

2.判斷直線與圓的位置關系有幾種方法？它們的特點是什么？

3.如何求圓的求切線方程？

（六）作業