基于協方差穩健模糊線性回歸的系統負荷預測數學模型

孫珍

摘 ?要： 針對統計學中基于線性回歸分析的系統負荷準確預測問題，提出一種基于協方差改進穩健模糊回歸的預測數學模型。通過引入協方差參數估計，對傳統基于均值參數的穩健估計方程進行改進，以便降低對數據中異常點的敏感性，并對多元正態變量的漸近性質進行分析。結合模糊線性回歸，將預測結果劃分在一個合理的模糊區間，從而進一步排除異常點。實例測試結果表明，相比傳統的模糊線性回歸模型，提出的穩健模糊回歸模型能夠有效降低異常數據的影響，降低預測誤差。

關鍵詞： 預測數學模型; 線性回歸分析; 負荷預測; 穩健估計; 漸近性質分析; 模糊回歸

中圖分類號： TN911.1?34; TP393 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2019）15?0094?03

System load forecasting mathematical model based on

covariance robust fuzzy linear regression

SUN Zhen

（Ankang University， Ankang 725000， China）

Abstract： In allusion to accuracy problem of system load prediction based on linear regression analysis in statistics， a predictive mathematical model based on covariance improved robust fuzzy regression is proposed. The robust estimation equation based on mean parameter is improved by introducing covariance parameter estimation， so as to reduce the sensitivity to the abnormal points in the data. The asymptotic property of the multivariate normal variables is analyzed. The prediction results are divided into a reasonable fuzzy interval in combination with fuzzy linear regression， so as to further eliminate the abnormal points. The example test results show that in comparison with the traditional fuzzy linear regression model， the proposed robust fuzzy regression model can effectively reduce the influence of abnormal data and effectively reduce the prediction error.

Keywords： forecasting mathematical model; linear regression analysis; load forecasting; robust estimation; asymptotic property analysis; fuzzy regression

0 ?引 ?言

隨著我國經濟持續快速發展，各行各業對能源的需求也日益增長，導致對電網和配電管理系統的現代化要求逐漸提高。電網運行的穩定控制和實時調度決策關系到整個系統的安全性和經濟效益，而預測是決策和控制的前提和基礎，因此系統負荷預測是電網和配電管理系統的重要組成部分。準確的系統負荷預測已經得到了廣泛的關注，并成為現階段電力行業研究的熱點方向[1?2]。

系統負荷數學預測模型需要對歷史數據進行趨勢歸納，并對各種相關因素之間的內在聯系進行分析，以便實現對未來變化情況的準確估計。傳統的預測方法主要分為兩種類型[3]：基于統計方法的系統化負荷預測和基于人工智能的系統負荷預測。前者中最為經典的是回歸分析預測方法，通過探索自變量與因變量之間的邏輯聯系，得出回歸數學方程，具體又分為線性回歸和非線性回歸[4]。文獻[5]提出基于多元和逐步線性回歸的玉米生物量預測模型，并進行了交叉結果驗證。文獻[6]對傳統的月售電量預測線性回歸模型進行改進，提高了隨機變動下的預測精度。文獻[7]采用多個非線性回歸模型對房地產價格進行估計并給出金融分析。

上述研究提出線性回歸均對預測數值的歷史數據和相關影響因素進行了統計分析，但實際情況中存在大量的異常測量數據。而現有的線性回歸預測模型均對異常數據點十分敏感，過多的異常數據點將大幅降低預測的精確度和可靠性。然而，模糊線性回歸具有較強的穩定性。此外，一般的穩健估計，大多數只對均值參數進行計算，沒有考慮到協方差參數的影響，從而忽略了異常點的負面效應。因此，本文對傳統穩健估計方法進行改進，增加協方差參數的估計。并將改進后的穩健估計與模糊線性回歸相結合得到穩健模糊回歸預測模型，從而降低異常點對系統負荷的預測結果影響，得到良好的準確度。

1 ?回歸分析預測方法原理

1.1 ?線性回歸分析法介紹

目前，回歸分析預測方法主要分為線性回歸和非線性回歸，本文研究的主要內容為線性回歸分析方法。基于線性回歸分析的預測原理為[8]：

式中：[y（t）]表示時刻[t]的預測值;[xip]表示預測相關的各種因素，即隨機自變量;[bp]表示回歸方程的回歸系數;[θ（t）]表示隨機干擾，一般服從正態分布。

1.2 ?模糊線性回歸模型

在線性回歸分析的基礎上，文獻[9]通過模糊集的概念提出短期模糊線性回歸的預測模型：

傳統基于線性回歸分析的預測方法實現較為簡單，參數少[9?10]。而基于模糊線性回歸分析的預測方法提高了穩定性，但是仍對數據中的異常點較為敏感，導致魯棒性不高，影響實際應用場景的適用性。

2 ?穩健模糊回歸預測數學模型

在上述基于模糊線性回歸分析的預測方法基礎上，本文引入了穩健估計理論，以便提高預測的魯棒性。

2.1 ?穩健估計

假設數據集的數量為[m]，第[i]個參數有[ni]次觀察數值，共有[n]次觀測記錄，則第[i]個參數在時刻[t]觀察到的結果為：

2.2 ?包含協方差參數的穩健估計改進

本文采用改進的穩健估計方程分別估計參數[δ0]和協方差參數[γ0]，如式（5）和式（6）所示：

2.3 ?漸近性質分析

接下來采用多元正態變量對[f0]和[γ0]的漸近性質進行分析。

2.4 ?預測算法步驟

采用改進的穩健估計結合模糊線性回歸分析實現負荷預測，具體步驟如下：

步驟1：估計參數[δ0]和協方差參數[γ0]初始化。

步驟2：在第[j]次迭代中設定[γ=γj-1]且[δ=δj]，并分別按照式（5）和式（6）求解得到[δj]和[γj]。

步驟3：[j=j+1]，重復步驟2直到迭代至收斂，從而得到[δ]和[γ]。

步驟4：檢測是否存在異常值并進行分類。

步驟5：按照如下公式構建穩健模糊回歸模型：

式中[μYx]表示模糊數[Y]的隸屬度函數。

步驟6：通過最小二乘方法對式（12）進行求解。

步驟7：輸出穩健的模糊區間。

3 ?仿真結果與分析

將本文提出的穩健模糊回歸預測數學模型、傳統的模糊線性回歸模型[14]，分別對某省會城市2014—2018年的電力負荷歷史數據進行區間預測。兩種預測模型的系統負荷估計區間結果如表1所示。

表1 ?系統負荷估計區間對比

2014—2018年，兩種預測模型的絕對百分比誤差結果如圖1所示。從表1和圖1可以看出，穩健模糊回歸預測模型的系統負荷預測數值與該時刻的真實數值更接近，預測誤差更小。特別是2016年，這是因為該年原始系統負荷數據中的異常點相對較多，導致傳統的模糊線性回歸模型受到較大的干擾。但是，穩健模糊回歸預測模型由于采用包含協方差參數的穩健估計，將異常點幾乎全部排除在估計區間之外，從而能夠以較高的準確度和魯棒性完成預測。

圖1 ?誤差結果對比

4 ?結 ?語

本文提出一種對傳統穩健估計方法進行改進的方法，增加了協方差參數估計。并將改進后的穩健估計與模糊線性回歸相結合得到穩健模糊回歸預測模型，從而降低異常點對系統負荷的預測結果影響，有效降低了預測誤差，增加魯棒性。但是本文提出模型在處理縱向型數據時穩健性不夠理想，因此在以后的研究中將針對B?樣條方法的穩健估計進行重點分析。

參考文獻

[1] XI G U， LIAO Z. Short?term load forecasting based on phase space reconstruction and Gaussian process regression [J]. Power system protection & control， 2017， 45（5）： 73?79.

[2] LI C， LI S， LIU Y. A least squares support vector machine model optimized by moth?flame optimization algorithm for annual power load forecasting [J]. Applied intelligence， 2016， 45（4）： 1?13.

[3] RUI H， WEN S， ZENG Z， et al. A short?term power load forecasting model based on the generalized regression neural network with decreasing step fruit fly optimization algorithm [J]. Neurocomputing， 2016， 221： 24?31.

[4] BERNARD ?tienne， GABRIEL Pierre. Asymptotic behavior of the growth?fragmentation equation with bounded fragmentation rate [J]. Journal of functional analysis， 2017， 272（8）： 3455?3485.

[5] 仇瑞承，苗艷龍，張漫，等.基于線性回歸的玉米生物量預測模型及驗證[J].農業工程學報，2018，34（10）：131?137.

QIU Ruicheng， MIAO Yanlong， ZHANG Man， et al. Prediction model and verification of corn biomass based on linear regression [J]. Transactions of the Chinese society of agricultural engineering， 2018， 34（10）： 131?137.

[6] 薛斌，程超，歐世其，等.考慮舒適溫度區間和突變量的月售電量預測線性回歸模型[J].電力系統保護與控制，2017，45（1）：15?20.

XUE Bin， CHENG Chao， OU Shiqi， et al. Linear regression model for monthly electricity sales forecast considering comfort temperature range and sudden change [J]. Power system protection and control， 2017， 45（1）： 15?20.

[7] 馮敬海，朱駿橋.房價非線性回歸模型及期權定價[J].大連理工大學學報，2017，57（5）：545?550.

FENG Jinghai， ZHU Junqiao. Nonlinear regression model of house prices and option pricing [J]. Journal of Dalian University of Technology， 2017， 57（5）： 545?550.

[8] PANDA S K， MOHANTY S N， JAGADEV A K. Long term electrical load forecasting： an empirical study across techniques and domains [J]. Indian journal of science and technology， 2017， 10（26）： 1?16.

[9] SONG K B， BAEK Y S， HONG D H， et al. Short?term load forecasting for the holidays using fuzzy linear regression method [J]. IEEE transactions on power systems， 2005， 20（1）： 96?101.

[10] LIU Weijiu. Asymptotic behavior of solutions of time?delayed Burgers′ equation [J]. Discrete and continuous dynamical systems—series B （DCDS?B）， 2017， 2（1）： 47?56.

[11] HANI Z， THOMANN L. Asymptotic behavior of the nonlinear schr?dinger equation with harmonic trapping [J]. Communications on pure & applied mathematics， 2016， 69（9）： 191?199.

[12] PAO C V. Asymptotic behavior of solutions for finite?diffe?rence equations of reaction?diffusion [J]. Journal of mathematical analysis & applications， 2017， 144（1）： 206?225.

[13] POTOMKIN Mykhailo. Asymptotic behavior of thermoviscoelastic Berger plate [J]. Communications on pure & applied analysis， 2017， 9（1）： 161?192.

[14] HUANG P， GAO G W， QIAN C S， et al. Fuzzy linear regression discriminant projection for face recognition ? [J]. IEEE access， 2017， 5： 4340?4349.