例談初中數學教學環節的“相似性”

☉安徽省六安市第九中學 李 勝

在近期初中數學課堂教學中，筆者發現有些課例的教學設計或教學環節之間具有一定的“相似性”，這些“相似性”可以很好地幫助一線教師開展教學，也有效地促進了學生的自主學習，下面以案例的形式進行簡單介紹.

一、案例1：“同底數冪的除法”與“三角形內角和定理”的教學分析

“同底數冪的除法”選自魯教版教材六年級下冊第六章第三節，安排在同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方之后，為后續學習零指數冪和負整數指數冪奠定了基礎.“三角形內角和定理”選自魯教版教材七年級下冊第八章第六節，和平行線的相關知識安排在一起，體現了知識的一致性與連貫性.下面，結合這兩節課的教學，對代數與幾何教學的“相似性”進行分析.

1.“同底數冪的除法”教學設計簡述

猜一猜：你能根據同底數冪的乘法運算法則（am·an=am+n，其中m、n都是正整數）猜一下同底數冪的除法運算法則嗎？

預設：am÷an=am-n，其中m、n都是正整數（教師指出本節課只研究m＞n的情況）.

驗一驗：怎么驗證你的猜測是正確的呢？

預設：取特殊值，比如，104÷102=104-2=102.

證一證：你能證明嗎？依據是什么？

預設：

證法1：，其中m、n都是正整數，且m＞n，依據是乘方的意義.

證法2：由于am-n·an=a（m-n）+n=am，所以am÷an=am-n，其中m、n都是正整數，且m＞n，依據是乘法與除法互為逆運算.

2.“三角形內角和定理”教學設計簡述

猜一猜：你知道三角形的內角和是多少度嗎？

預設：學生都清楚三角形的內角和是180°.

驗一驗：我們在小學時是如何得出這個結論的？

預設：量一量，即教師引導學生每人畫一個三角形，然后分別測量三個角的度數，再求和；拼一拼，即教師引導學生將三個角撕下來，然后將三個角拼在一塊，構成了一個平角；動一動，此處教師指出我們僅僅根據自己所畫的三角形得出了一個猜想，能夠進一步驗證嗎？此時出示幾何畫板課件，進行進一步的驗證（如圖1）.

圖1

證一證：進入初中，你能證明這個結論嗎？你是如何得出證明方法的？

預設：教師引導學生在拼一拼的基礎上，尋找添加輔助線的靈感，進而給出嚴格的幾何證明.

3.思考

一是猜一猜.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果.可以看出，上述兩個課例中的“猜一猜”應該就是合情推理，“同底數冪的除法”中“猜一猜”是在類比同底數冪的乘法的運算基礎上進行的，“三角形內角和定理”則是在歸納同學和老師測量結果的基礎上給出的一個猜測.

二是驗一驗.教學中要培養學生驗證的意識，引導學生體會要說明一個內容正確很難，但是要說明一個內容錯誤是非常容易的，那就是舉一個反例.如上所述的兩個案例，要說明猜測的正確性，還需要有后面的嚴格證明，但是，如果要推翻猜測，只需要一組數據不滿足猜測的法則或一個同學測量的三個角的和不是180°即可，可見“驗一驗”是學習過程中一個非常重要的環節，也是學生必須具備的一種意識，教學中應該引起一線教師的足夠重視.

三是證一證.《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的法則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算.同底數冪的除法的證明方法一是依據乘方的定義給出的證明，方法二則是在同底數冪的乘法法則的基礎上進行的.三角形內角和定義則是運用剛剛掌握的平行線的相關內容和平角的知識解決的.可以看出，上述“證一證”與演繹推理的要求完全一致，再次也應該引導學生體會證明的必要性，因為并不是所有的“猜想”都是正確的.

二、案例2：“有理數的乘法”與“零指數冪與負整數指數冪”的教學分析

“有理數的乘法”選自魯教版教材六年級上冊第二章第七節，是在學生掌握了有理數加減運算及其混合運算的基礎上展開的，為后續學習有理數的除法打下了堅實的基礎.“零指數冪與負整數指數冪”則選自魯教版教材六年級下冊第六章第四節，是在學生掌握了同底數冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數冪的除法的基礎上，對相關運算法則和概念的繼續學習.上述兩節課同屬代數，而且都涉及了規定，第一個規定是：負負得正；第二個規定是非零數的零次冪等于1，教材在編寫過程中上述兩個課例表現出了高度的“相似性”，下面進行簡單說明.

1.“有理數的乘法”教學設計簡述

教材中以“上面各式中，積的符號與各因數的符號有什么關系？積的絕對值與各因數的決定值有什么關系？再換幾個數試一試”引導學生得出有理數乘法的運算法則，并引導學生感受“負負得正”的合理性，這里建議增加一些現實生活中的實際例子，比如，“先向后轉，再向后轉，最后的方向和一開始的方向是一致的”等來加深學生的認同度.

2.“零指數冪與負整數指數冪”教學設計簡述

首先，教材中提供兩組運算，一組是以10為底數的冪的運算，另一組是以2為底數的冪的運算（這里限于篇幅，只呈現一組）.

此外，這里有比“有理數的乘法”編寫過程中做的好的一點就是給學生提供了一個現實生活中的實際例子（細胞分裂），幫助學生理解“20=1”的合理性，教師在教學中也應該重視這樣的例子，引導學生體會規定的合理性.

3.思考

上述兩個案例針對數學中的“規定”給出了相似的教學設計或教材編寫方式，即以找規律的形式呈現，而不是直接告知，這是新課標教材編寫中一個很大的進步.當然，這樣做最重要的意義在于便于學生理解，便于學生接受，有利于后續相關內容的進一步學習.

三、寫在最后

我們給出了代數教學中教學環節相似的一個案例、給出了代數與幾何中教學環節相似的一個案例，幾何教學中教學環節相似的案例則比較多，比如，在性質定理的教學過程中，大多可以設計如上文介紹的“猜一猜—驗一驗—證一證”等三個主要環節開展教學，期待其他教師給出更多優秀的案例，不當之處，敬請指正.