初中數學一輪復習中的大致、精致、一致*

☉江蘇省南京二十九中初中部 高 健

站在中考層面復習三角形，研究內容大致可以分為一個三角形的問題和多個三角形之間關系的問題，本文著重從一個三角形出發，我們研究了它的哪些內容？它與其他的幾何圖形從內容與思想方法上有什么聯系？下面，筆者結合課堂教學設計談談如何進行三角形的復習，與讀者研討.

一、設計說明

1.學情分析

初三一輪復習課是很難上的一種課型，很多教師依照《中考指導書》的要求、編排，按部就班講授，不會出大的問題，但是往往對于數學知識之間的聯系有所忽視，對于數學思想的點撥有所缺失，對學生而言課堂效率就有了提升的空間.筆者認為，一輪復習應體現三點：基礎性、結構性、層次性，本設計兼顧不同層次的學生，以“憶往昔”為起點，幫助學生梳理三角形的知識脈絡，落實“基礎知識”和“基本技能”，提煉不同圖形中解決問題的方法，注重通性通法，讓不同層次的學生都有不同的發展.

2.目標分析

經歷三角形知識梳理的過程，探索三角形的結構和體系，體會數學知識之間的聯系，感受從一般到特殊的數學思想方法.

探索直角三角形在不同圖形中的運用，體會轉化的數學思想，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.

二、教學設計

圖1

1.課堂前側

題1：已知三角形三邊的長分別為1、5、x，則x的取值范圍為______.

題2：（1）若一副直角三角板如圖1所示疊放，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，則∠BFD=______.

（2）一架長為2.5m的梯子ED，斜靠在一豎直的墻AC上，這時，梯足D到墻底端C的距離為0.7m，若梯子的頂端沿墻下滑0.4m，則梯足將向外移______m.

題3：若△ABC是等腰三角形，∠A=40°，則∠B=______.

設計意圖：本組練習在課堂前5分鐘內完成，以習題帶知識點的形式幫助學生回憶三角形中的基本元素及一些常見的特殊三角形，為后面的知識結構梳理打基礎、做鋪墊.

2.憶往昔

問題1：對于任意△ABC，我們研究了哪些內容？

【學生三角形知識結構化展示】

圖2

【教師三角形知識結構化展示】

圖3

設計意圖：筆者在聽課時發現這樣一個有趣的現象，很多教師在課堂上請部分學生就三角形知識點以提問的方式進行回顧，這樣其實存在一些弊端，知識點的復習本身就比較枯燥，同時并沒有真正落實調動每一名學生積極參與課堂，進行對三角形知識的結構化梳理.

因此，課前筆者要求所有學生以結構圖的形式在一張A4紙上寫出從一個三角形中能想到的所有知識點（注：不包括全等、相似、位似等，這些屬于兩個三角形的討論內容），呈現形式不限，可以用樹狀圖、表格、畫圖等.

學生經歷三角形知識梳理的過程，明確了三角形的構成要素：邊與角，以及它們之間的關系，有定性的研究，也有定量的探索，經歷探索三角形的結構和體系的過程，體會數學知識之間的聯系，感受從一般到特殊的數學思想方法.

教學建議：通過學生展示與講解，不斷將三角形的知識結構化，同時初步感受從一般到特殊的研究思路.通過對等腰三角形對稱性的分析，同時結合直角三角形的性質，將著力點放到將“斜三角形”轉化為直角三角形的問題中，同時對課堂前測進行簡單講解，對照結構圖前后呼應，夯實基礎.

3.再出發

題1：公交總站（點A）與B、C兩個站點的位置如圖4所示，AB=6km，∠C=30°，∠B=15°，求C站點離公交總站的距離即AC的長（結果保留根號）.

圖5

圖4

簡要解答：如圖5，過點B作BD⊥AC于點D，易得∠DAB=45°.在Rt△DAB中，易求得BD=AD=.在Rt△DCB中，易求得CD=，所以AC=CD-AD=（km）.

設計意圖：本題從學生最熟悉的三角形的構成元素，即邊與角之間的關系切入，利用三角函數和三角形的外角進行解答，強化了對基本圖形的理解與應用，引導學生掌握中考中解決三角形問題的基本解題方法即“化斜為直”，提高學生分析和解決問題的能力

題2：如圖6，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF 的面積為50cm2，則菱形的邊長為________cm.

圖6

簡要解答：如圖7，連接AC、BD交于點O.因為正方形AECF 的面積為50cm2，易求得AC=10.又因為菱形ABCD的面積為120cm2，易求得BD=24.在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=13cm.

設計意圖：經歷在四邊形中添加輔助線的過程，改造熟悉圖形，感受解題方法的必然性，利用構造出的直角三角形，感悟圖形的“生長與轉化”過程，注重“基本套路”.

追問1：剛才這名同學的解答有遺憾么？

設計意圖：在本問題中，學生容易默認B、E、F、D四點共線，從數學的嚴謹性上來說是有問題的，可以利用AE=CE，說明點E在AC的中垂線上，同理點F也在AC的中垂線上，得出四點共線.

題3：如圖8，正六邊形ABCDEF的邊長為6，O為正六邊形的中心，則點O到邊AB的距離為_______.

圖7

圖8

圖9

簡要解答：如圖9，過點O作OG⊥AB于點G，連接OA、OB.由題意得：.又因為OA=OB，所以△AOB是等邊三角形.由“三線合一”易求得AG=3.在Rt△AOG中，由勾股定理，得.

追問1：除了剛才的解法，你還可以怎么解決這個問題？

設計意圖：從四邊形到多邊形既是學生學習幾何圖形的過程，同時符合學生的認知規律，水到渠成.再次感悟從多邊形中構造直角三角形的過程，感悟轉化的數學思想.

在數學的學習和解題過程中，理性思維起主導作用，所以我們要注重“一題多解”“多解歸一”“多題歸一”，從而使數學解題步步為營，層層深入，有理有據，回歸自然.

題4：如圖10，矩形紙片ABCD的一邊BC過圓心O，且AB=4cm，BE=3cm，AF=5cm，則圓的半徑為____cm.

圖10

圖11

簡要解答：如圖11，過點O作OG⊥AD于點G，連接OF.設OE=OF=x.由題意易證四邊形ABOG為矩形，所以AB=OG=4，BO=AG，所以FG=AG-AF=BO-AF=（x＋3）-5=x-2.在Rt△FOG中，由勾股定理，得FG2＋OG2=OF2，即（x-2）2＋42=x2，解得x=5.

設計意圖：從多邊形到圓是學生初三接觸到的比較熟悉的問題，也是初中幾何學習的頂端，將多邊形與圓結合，在其中構建出所熟悉的基本圖形，即直角三角形，通過找尋其中的等量關系，利用其定量性質勾股定理列方程解決問題，進一步感悟知識之間的關系，注重通性通法，即落實到直角三角形在不同圖形中的運用.

三、思考

本節課從學生對知識點的整理開始，到在筆者引導下由一般到特殊的歸納，再到最后方法的總結，從學生在知識認知結構上的“大致”，引導學生不斷完善知識系統，本質上就是讓體系更加“精致”，而后體驗在不同的圖形中解決問題的方法的“一致”，著眼點都是尋找解決問題的關鍵——直角三角形，

1.一點遺憾

因為公開課的緣故，筆者也采用了稍微穩妥一點的方式，最初的設計實際上是在學生整理完結構圖后，直接呈現出四幅圖，讓學生在其中尋找和體驗直角三角形，現在呈現的是基于學情，以生為本，立足于學生的一種課堂.

2.復習需體現知識的結構性

初三一輪復習課其實很容易變成教師講解知識結構而后進行習題練習或者變式練習，學生在不斷講題和做題的過程中，慢慢感到枯燥，所以筆者認為復習課要給學生時間去表達，有空間去思考.以幾何為例，我們研究了哪些圖形？我們是如何研究這些圖形的？學生在自主建構的過程中，對方法一定會有感悟和提煉，學習的經驗也在這個過程中不斷積累.

3.復習需體現設計的層次性

設計理念需有層次性.據筆者觀察，在中考中稍微復雜點的幾何問題往往都會在直角三角形中解決，因為直角三角形是初中階段研究比較透徹的一個基本圖形，本設計立意高、起點低，給學生搭好了適合的臺階，學生是可以邁上臺階的，通過研究直角三角形在不同圖形中的運用，關注到了每一個學生的成長和發展.

問題設計需有層次性.以一個最基本的問題為思維的出發點，不斷提問，層層遞進，引導學生最終把問題解決，從思維的層次上也是從低階思維轉向高階思維，讓學生自己獨立思考，自主參與變式、歸納總結等，回歸一輪復習本原.

4.復習需注重“四基”夯實

章建躍教授說：理解數學、理解學生、理解教學.其實就是對學科、學生、老師給出了恰當的建議，學生經歷了初中三年新知識不斷累積生長的過程，到了初三一輪復習時，教師就應該嘗試作“簡法”，也就是大道至簡.

史寧中教授說：數學教學的最終目標，是要讓學習者會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型.如何夯實“四基”，將幾何問題化復雜為簡單呢？找準基本圖形和知識的“生長點”是一種行之有效的辦法，從而深化學生對初中數學的感悟和理解.

總而言之，初三的一輪復習，筆者認為應力求做到：不搞花架子，基于學情，力求實效.