注重多題歸一，提升復習效率
——記一堂優質旋轉復習課

☉江西師范大學數學與信息科學學院 殷子玉

☉江西師范大學數學與信息科學學院 虞秀云

一、背景介紹

復習課在中小學課堂已然成為教學基本課型之一，同時是教學任務必不可少的一部分.不同于新課教授，復習課上的內容往往是對學生學過的知識加以鞏固，如果教師不認真備課精心設計，只是把知識點羅列堆積再加上題海戰術，學生只會感到索然無味，降低學習興趣.因此用科學的理念指導數學復習教學，提升復習課堂效率，是每個教師應當思考的問題.

在江西省教研室組織實施的2018年江西省基礎教育優秀教學課例展示活動（初中數學組）中，筆者有幸觀摩了一等獎獲得者賀老師執教的人教版九年級上冊第二十三章“圖形的旋轉”復習課一課，本課例展現了對典型例題進行“一題多解、一題多變、多題歸一”的剖析，挖掘典型例題的深刻內涵，讓學生對一類問題形成深刻的認識，把握一類問題的本質，從而達到觸類旁通、舉一反三的效果.以下將以教學片段的形式呈現，與大家共享.

二、教學片段實錄與分析

教學片段1：一題多解，旋轉是基本知識

【畫一畫】例1如圖1，點E是正方形ABCD中CD邊上任意一點，以點A為中心，把△ADE按順時方向針旋轉90°.畫出旋轉后的圖形.（力求多種方法）

分析：題目確定了該圖形旋轉的三要素，以點A為旋轉中心，點A的對應點是點A；順時針旋轉90°，點D的對應點是點B，點E的對應點會落在CB的延長線上，所以要延長線段CB，這樣就可以找到旋轉之后的圖形.

方法1：借助圓規，以A為圓心、AE為半徑畫弧，弧與CB的延長線交于一點E′，連接AE′，就確定了旋轉后的圖形（如圖2，原理是對應點到旋轉中心的距離相等，簡稱保距）.

圖1

方法2：用圓規截取DE的長度，在CB的延長線上，以B為圓心、DE為半徑畫弧，得到點E′，并連接AE′，這樣就得到△ABE′（如圖3，原理是旋轉前后圖形全等，簡稱保形）.

圖2

圖3

圖4

方法3：用三角板的直角，過A點作AE的垂線，與CB的延長線交于一點E′（如圖4，原理是對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，簡稱保角）.

小結：通過思考可以發現此題有多種解法，但是這些解法的依據都來源于旋轉的三個性質.我們之所以能確定旋轉后的圖形，是因為強調了旋轉的三要素.所以旋轉的三個性質及其三要素是旋轉的重要知識，故旋轉是知識.

該教學片段是通過課本上一道典型例題，展現該題的三種解法，體現“一題多解”的解題思想，學生在平時解答習題時，往往只會就題論題，頭腦中并沒有完整、系統的知識體系，知識點分布零散，拿到題目不會多加思考，這種做法是不可取的.所以教師在復習課教學時要引導學生擴展思路，從不同的角度思考問題，提高知識遷移的能力，找到解決問題的多種途徑.同時該教師并不是滿堂灌直接講授解題過程，而是通過引導學生發現問題，循循善誘，讓學生作為學習的主導者參與其中，真正做到了把課堂交給學生.

教學片段2：一題多變，旋轉是基本方法

【猜一猜】例2如圖5，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，其繞著點A旋轉，它的兩邊分別交線段BC、CD于點E、F，探究DF、EF、BE之間有怎樣的等量關系.

圖5

圖6

分析：由于旋轉之后的圖形比較抽象，故在幾何畫板中進行動態演示，學生得到如下猜想：

猜想1：DF+BE=EF；

猜想2：當點F與D重合時（如圖6），DF=0，BE=BC，EF=CD；

猜想3：當點F與C重合時（如圖7），BE=0，BF=EC，EF=EC.

接著賀老師結合數據用幾何畫板動態演示驗證了學生的猜想都是正確的，最后給出猜想1的證明.

圖7

圖8

解：將△ADF繞點A按順時針方向旋轉90°得到△ABH（如圖8），此時AF=AH，AE=AE，∠HAE=∠EAF=45°，所以△AHE△AFE（依據是邊角邊），所以HE=EF，所以DF+BE=EF.

注意：要保證H、B、E三點共線，還需做如下說明，因為△ADF旋轉之后得到△ABH，所以∠ADF=∠ABH=90°，∠HBE是一個平角，所以這三點共線.

小結：通過旋轉將兩條短的線段拼在一起，得到新的線段再與EF比較，題目就迎刃而解了.說明旋轉可以改變位置，把元素聚在一起，這就是旋轉的妙用.所以旋轉是一種解題的方法.

旋轉在中學數學解題中應用十分廣泛，特別是在中考壓軸題中常常用到，例如，2017年江西省數學中考第23題，2013年貴陽數學中考第24題，2016年重慶數學中考第25題等，這也說明旋轉在中學數學教學中是非常重要的解題方法.賀老師通過基礎題改編，利用幾何畫板信息技術讓學生直觀感受圖形的變換，并沒有當面對回答不出來問題的學生提出批評，而是給其他學生機會一起完成這道題的分析，課堂氛圍十分融洽，學生參與度高.同時在證明平角的時候體現了嚴謹的證明思路，讓學生在一開始就形成良好的證明習慣.

教學片段3：多題歸一，旋轉是基本活動經驗

【試一試】例3如圖9，等腰直角△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=，P為△ABD內部任意一點，求PA+PB+PD的最小值.

圖9

分析：解此題的關鍵是確定點P的位置，通過把△ABP繞點A順時針旋轉60°讓三條線段DP、PP′、B′P′首尾順次相接，此時PA+PB+PD=PP′+P′B′+PD≥B′D，所以當D、P、P′、B′四點共線時，PA+PB+PD的最小值就是B′D的長.

解：將△ABP繞點A按順時針方向旋轉60° 得 到△AB′P′（如圖10），連接PP′，此時△APP′為等邊三角形，所以∠P′AP=∠B′AB=60°.過點B′作B′F∥AB，再延長DA交B′F于點F，此時AF⊥B′F.因為∠B′AB=60°，B′F∥AB，所以∠AB′F=60°.由題意可知AB=AD=AB′=，所以B′F=，所以AF=，所以FD=.由勾股定理可知BD′=，所以PA+PB+PD的最小值為.

圖10

小結：此題通過旋轉讓四點共線，三條線段化歸到一條線段上，這就體現了化歸及轉化的數學思想.同時這個點P也是數學中非常重要的一個點——費馬點.

恩格斯說過：“數學中的變換，不是無聊的游戲，而是解決實際問題的杠桿.”本節課最后一道例題是著名的費馬點問題，原題是“三村短路”問題，而賀老師把這道題放到旋轉復習課上，表明旋轉是解一類題的思想，也為解題搭建了橋梁，通常用于求線段最小值.整堂課的例題呈現由易到難，充分考慮學生學情，讓學生能夠更好地自主探究.

三、啟示與感悟

賀老師這節旋轉復習課非常好地給我們展示了初中數學復習課的模式，學生通過動手合作、相互交流探索課堂的核心.同時這堂課的教學思路新穎，充分展現了其教學魅力.以下幾點是在這堂復習課中得到的啟示與感悟.

1.復習課要整體設計，多題歸一

復習課的教學大多是解題教學，但有些教師“拉在籃子里就是菜”，簡單找幾道題給學生訓練，盡管教師把一道題分析得十分清楚，但因為總體結構不明朗，導致學生還不容易對這些題目有個大體的掌握.孫維剛老師提出“一題多解，一題多變，多題歸一”的解題思想，就是把多道題歸納起來形成結構，在復習課上賀老師把這個解題思想充分運用，用一條主線把題目串在一起，只有這樣，才能使學生對數學基本思想、基本活動經驗有充分的認識，才能提高他們發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.

2.合理運用信息技術，體現幾何直觀

“數學課程的設計與實施應根據實際情況合理地運用現代信息技術，要注意信息技術與課程內容的整合注重實效”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》倡導的一個重要理念，賀老師這節課采用多媒體與幾何畫板相結合，運用幾何畫板展示旋轉的過程，能夠“變抽象為直觀”“化靜態為動態”，同時體現了數形結合的數學思想.進而讓學生更好地感受不同圖形變化的過程，激發學生的學習興趣，保障了教學的有效進行.

3.倡導主題式復習，鼓勵創造性思維

復習課對學生來說十分枯燥無趣，但賀老師的課堂氣氛是十分生動活躍的，她以“旋轉”為主題貫穿整節課，同時教學內容和難度也在層層深入，最后一個費馬點問題更是將本節課進一步升華，充分展現了以生為本的教學理念.在傳統教學中，教師對復習課教學的理解存在偏差，有些教師將復習課看作單純的解題活動，這樣只會導致學生在復習課學習時目標不明確，缺少對數學本質的思考.因此教師應完善教學方法，提倡主題式復習，即課堂教學以項目探究的形式或問題解決的形式進行復習，設計學生感興趣的問題情境引入，從而做到充分調動學生的積極性.