“黃金比”為主線的微專題課例實踐與思考

☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)青云實驗中學 周 峻

最近兩年《中學數(shù)學（下）》刊發(fā)了不少中考微專題復習課例，非常實用，筆者往往“直接拿來”在自己的課堂上進行教學實踐，取得了較好的效果.受到啟發(fā)，筆者也把最近研發(fā)的一節(jié)“無處不在的黃金比”的微專題復習課整理出來，供分享和研討.

一、“無處不在的黃金比”專題復習課例

教學環(huán)節(jié)（一） 三角形中的黃金比

例1如圖1，已知在等腰△ABC中，頂角∠A=36°，BD為∠ABC的平分線.

請同學們提出一個問題，在小組內交流，然后全班展示、推薦你們小組的問題.

預設：學生可能會求該圖形中一些角的度數(shù)，還可以設計“求證：AD=BD”之類，或者分析圖中哪兩個三角形相似.

在它們提出問題并展示之后，教師跟進以下追問：

追問1：若AC=2，求△ABC的周長.

教學組織：由學生設計問題過程中對圖形中相關角度、邊長的理解，容易證出△ABC △BCD，得到，設BC=x，則.解得（舍去）.即△ABC的周長為.

追問2：求的值.

圖1

教學組織：學生在上一問的運算后，應該可以直接看出的值為，學生對這個比值應該并不陌生，此前學習中見過多次，就是一個黃金比值的精確值，它的近似值是0.618.在此基礎上，告知學生這種三角形今后再遇到時不妨稱之為“黃金三角形”，作為一種基本圖形進行收集.

變式再練：如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD.

（1）通過計算，判斷AD2與AC·CD的大小關系；

（2）求∠ABD的度數(shù).

設計意圖：這道變式題是針對例1進行“條件與結論”置換變式，引導學生加深對黃金比、黃金三角形的理解.

教學環(huán)節(jié)（二） 矩形中的黃金比

例2如圖2，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似.

圖2

（1）設AB=4，計算AD的長.

教學組織：學生在上一問的基礎上，應該可以確認矩形ABCD不符合黃金矩形的長、寬之比，從而否定小明的判定，通過這個“反例”向學生傳遞，所謂特殊圖形（如黃金矩形）的判別，不能“想當然”憑直覺，而要通過必要的演算進行證明，這也是數(shù)學的理性追求.

變式再練：用寬為2cm的矩形紙片進行折疊操作，如圖3，先在矩形紙片的一端折出一個正方形，然后把紙片展平，再把這個正方形對折成兩個矩形，接著折出內側矩形AFBC的對角線AB，并把它折到如圖所示的AD處，展平紙片，過點D折出DE.

圖3

（1）求四邊形ADQB的面積.

（2）該圖形中有黃金矩形嗎？如果有，你能找到幾個？請通過演算說明理由.

變式意圖：第（1）問求的是四邊形ADQB的面積，意圖是讓學生先確認這是一個菱形，然后熟悉一些邊長，以便于下一問發(fā)現(xiàn)矩形BCDE和矩形MNDE都是黃金矩形.

教學環(huán)節(jié)（三） 圓中的黃金比

例3如圖4，已知⊙O的半徑長為1，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB=AC，BO的延長線交AC于點D，連接OA、OC.

（2）記△AOB、△AOD、△COD的面積分別為S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中項，求OD的長.

圖4

圖5

教學組織：（1）容易得出∠OAC=∠C=∠B，結合∠ADO=∠ADB，可得△OAD △ABD.

（2）如圖5，作OH⊥AC于點H，設OD=x.由上一問得△DAO △DBA，則，所以，解出.由條件“S2是S1和S3的比例中項”，得S22=S1·S3.將面積表達式代入，得，化簡得到AD2=AC·CD.于 是，，整理得x2+x-1=0，解得或（負值舍去），即.

解后反思：解出后，要引導學生聯(lián)想到黃金比，識別圖中三角形ABD就是一個黃金三角形，也讓學生意識到識別數(shù)學基本圖形的必要性.以下再引導學生圍繞黃金比的“念頭”深入不同的解法，預設以下不同思路.

思路2：由同高三角形的面積關系可得，，S22=S1·S3.借助△ABO與△ACO是全等的，可得（聯(lián)想到黃金比），有，即.

思路3：借助△ABO與△ACO是全等的，得S1=S2+S3，S22=（S2+S3）·S3，可解得，即.同理，，即.

教學環(huán)節(jié)（四） 拋物線與黃金比

例4如圖6，拋物線y=ax2經(jīng)過矩形OABC的頂點B，交對角線AC于點D.求的值.

教學組織：可以設定參數(shù)代入演算，算出，讓學生感受到拋物線也可以與黃金比緊密相聯(lián).接著給出一個以拋物線為背景的同類問題.

圖6

圖7

變式跟進：如圖7，正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別是m、n（m＞n），原點O為AG的中點，拋物線y=ax2經(jīng)過C、E兩點.請通過演算分析：這兩個正方形的邊長之比能等于黃金比嗎？

二、中考微專題復習備課的兩點思考

1.教師要注重日常解題素材的歸類收集

在當前的教學生態(tài)下，數(shù)學教師（特別是在初三任教）日常解題量很大，因為學生每天作業(yè)中的習題教師都要解答并講評，而且頻繁的周練、月考卷中也有大量的新題型，教師也需要投入相當多的精力和時間在解題上.然而很多教師沒有養(yǎng)成歸類收集習題的習慣，導致有些相同結構的較難題隔一段時間再遇到時容易遺忘，或者講評時想進行鏈接卻查找不到，這種現(xiàn)象說明教師在日常解題時要注意解題素材的歸類收集，像本文課例中的素材都是筆者在近三年收集到的一些同類問題，每收集到一題就及時歸檔整理在一起，以便同類問題或相近主題的習題積之既多，就可以考慮研發(fā)一節(jié)微專題復習課了.

2.微專題備課要注意選題的典型性、代表性

微專題備課時，一要圍繞主題選題，切忌“離題太遠”，即所選例、習題的關鍵步驟或研習重點都要反映本專題的特點，否則會出現(xiàn)內容效度太低；二是選題要注意典型性，有代表性，比如，上文課例中我們選用了四種與“黃金比”相關的典型問題，對應著不同圖形與黃金比的聯(lián)系；三是要注意適當引入“反例”幫助學生參與辨析，如例1、例4后面的變式跟進，就是兩個典型的反例問題，引導學生通過演算辨析黃金比，防止出現(xiàn)“一邊倒”的認識偏差.