新北師大版和人教版初中數學教材“三角形”的比較研究
——以“解直角三角形”為例

☉甘肅省酒泉第四中學 馮德文

一、研究背景

義務教育課程標準從1963年的《全日制中學數學教學大綱》、2000年的《全日制義務教育初中數學教學大綱（使用修訂版）》、2001年的《全日制義務教學數學課程標準（實驗稿）》到2011年的《義務教育數學課程標準（2011年版》，歷經半個世紀，中學數學課程的標準隨著時代的變化在不斷改進和完善，伴隨著數學課程標準的變化，產生了不同時代的數學教材，從剛開始的《代數》、《幾何》演化到現在的《數學》，由剛開始的黑白版本到現在的五彩斑斕、豐富多彩.數學教材在自身的發展過程中也為我國現代化建設提供了人才保障，同時為傳遞數學文化做出了巨大的貢獻.數學教科書是數學課程標準實現的載體，是師生進行數學交流的直接素材，也是學生掌握數學基礎知識的素材，它為學生自主學習提供了理論框架和線索，是教師實現課程目標、實施數學教學的資料.

通過對國內外有關教材研究的資料進行分析，對中學數學教材的研究相當豐富，國內外許多學者對中小學數學教材從不同的方面應用不同的研究方法進行了全面、深入的研究，取得了豐碩的成果.國內學者對數學教材的研究起步較晚，主要從20世紀80年代開始，經過了半個世紀的時間，數學教材的研究在不斷跟進，研究方法在不斷創新.但是從國內外已有的研究發現，對數學教材比較的研究在哲學基礎、理論框架和研究方法上還需要做大量的工作.

隨著義務教育階段初中數學課程改革的不斷深入，許多地方出現了不同的教學模式，出現了不同的高效課堂，如山東杜郎口中學的三三六模式，江蘇洋思中學的堂堂清、日日清、周周清.這些學校立足本校的實際情況，結合課程改革的步伐，提出了適合自己學校的教學模式，在全國課程改革中產生了重要的影響.同時各地出現了不同版本的數學教材，如人教版、北師大版、華東師大版、蘇教版、冀教版、青島版等，這些教材在編寫上各具特色，對于新的課程理念都有著自己不同的見解.甘肅省使用的主要是北師大版和人教版數學教材，我所在的地區酒泉市使用的主要是北師大版教材，作為一名中學數學老師，在教學中經常對數學教材中的設計存在疑惑，經常聽到許多教師說人教版初中數學教材比較好，我們為什么不使用人教版數學教材？帶著許多這樣的問題，我選擇了目前在全國使用比較廣泛的北京師范大學出版社和人民教育出版社出版的初中數學教材作為研究對象，針對“解直角三角形”中教材內容的呈現方式，習題、例題的綜合難度分析，希望通過對教材的比較研究，能夠為一線教師更好地理解教材內容，更好地把握課程標準提供幫助，同時為教材的編排提供建議和思路.

三角形發展的歷史悠久，在高度發達的古埃及和巴比倫，三角形的有關概念開始萌發，后期由于天文學的不斷發展，古希臘學者確立了三角形邊與角的關系，三角形得以快速發展.在我國，三角形的內容主要是在明清時期學習西方數學知識時才傳入國內，國內學者發現三角形的相關知識在解決天文知識時非常有用，所以三角形在國內才得到進一步的發展.三角形是平面幾何的重要內容，也是初中幾何中最重要的學習內容，還是初、高中幾何銜接的重要內容，三角形知識貫穿小學、初中和高中的知識體系，所涉及的幾何證明是進一步學習其他知識的基礎，對于培養初中生的合情推理和演繹推理能力具有重要的作用，所涉及的數學思想和方法，如數形結合、分類討論、方程模型思想等，為今后學習數學打下了堅實的基礎.

三角形不僅是初中數學的主要內容，同時是初中數學學習的難點，初中數學不僅要求學生具有合情推理的能力，同時在平面幾何的證明過程中，要求學生能夠完成嚴格的邏輯證明，這種演繹推理對初中生學習三角形內容是一個挑戰，教材的這種設計也符合學生的認知能力.初中生的年齡一般為12～15歲，這個時期，其思維發展到抽象邏輯推理水平.其思維形式擺脫思維內容，形式運算階段的兒童能夠擺脫現實的影響，關注假設的命題，可以對假言命題做出有邏輯的和富有創造性的反應.同時兒童可以進行假設—演繹推理.但是在實際教學中發現，學生在利用公理證明定理和推論方面存在困惑，對定理和推論的條件和結論的認識和理解存在困惑，不能完整地寫出證明過程，證明過程邏輯混亂或者無從開始.許多學生對于復雜的幾何證明題直接選擇放棄，所以初中三角形的證明推理是學生學習證明的難點.因此，希望通過對教材的比較，幫助教師和學生進一步理解和認識三角形的有關內容.

二、研究方法

2016年陳志輝在《數學教育學報》上發表了《中美兩國初中數學課程的問題情境水平比較研究》，文中在Stigler（1986）、Yeping Li（2000）及鮑建生建立的綜合難度模型的基礎上，對教科書中數學問題呈現的三維度分析框架進行了改進，如表1所示：

表1 數學問題情境水平分析劃分

例如，（人教版，9年級下冊，第74頁）2012年6月18日，“神舟”9號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現交會對接.當飛船完成對接后，就在離地球表面343km的圓形軌道上運行.如圖1，當飛船運行到地球表面上點P的正上方時，從飛船上最遠能直接看到地球上的點在什么位置？這樣的最遠點與點P的距離是多少？（地球半徑約為6 400km，π取3.142，結果取整數）

圖1 神舟9號飛船及模擬圖

按上述分析框架，對該問題進行編碼.首先，對情境類型進行判斷.該問題涉及航天飛機、空間飛行，所以該問題的情境類型是科學情境（SL）.其次，對該問題的三個維度的特征水平進行編碼.在數學特征水平方面，該問題涉及知識點較多，其運算為：第一步，利用cosα==≈0.9491；第二步，利用cosα≈0.9491，得出α≈18.36°；第三步，利用弧長計算公式得PQ=×6400≈2051.該問題的數學特征屬于三步運算，所以數學特征水平編碼為DC.在表征特征水平方面，該問題的表述屬于情節和圖片相結合，所以表征特征水平編碼為SC.在任務特征方面，該問題主要是利用直角三角形中的三角函數解決現實生活中的具體問題，屬于三角函數的應用，所以編碼為PS.

三、模型分析

根據已有研究成果，從而形成數學問題情境水平的分析模型，如表2所示，本文研究的問題，全部是兩種版本教材中“解直角三角形”中的例題和習題.

表2 兩套教材“三角形”內容的數學問題情境三維特征水平

1.數學問題情境引入的比較

人教版教材以比薩斜塔的傾斜程度引入解直角三角形.1972年，通過計算發現比薩斜塔傾斜了5°28′，并給學生提出新的問題：2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角是多少？這極大地激勵了學生的學習興趣，讓學生認識到三角函數在現實生活中的巨大作用.北師大版教材并不是以現實情境引入，而是直接給出直角三角形的某些要素，讓學生通過計算理解直角三角形中六個要素之間的關系.

2.數學問題情境水平的比較

數學問題呈現方式有多種形式，本文中的數學問題情境結合已有研究成果進行了解析和析取，純文本的沒有任何修飾的題目為無情境的數學問題，結合自己的個人生活和個人興趣愛好呈現的數學問題為個人情境，學校生活、主題班會教育、班級教學和教學成績為教育情境，涉及工程、教師、建筑師等職業的為職業情境，根據自己生活較大的范圍及周邊的環境所設計的題目為公共情境，科學領域的技術和理論及所涉及的相關的數學問題為科學情境.統計結果如表3所示：

表3 兩種版本中問題情境水平的統計

人教版教材共有5道例題，22道習題，北師大版教材共有2道例題，17道習題.人教版教材5道例題中，2道屬于純文本的沒有背景的計算，其余3道都是圖片和文本相結合，都具有科學背景；北師大版教材的2道例題都屬于純文本的計算題，沒有相關背景.

在習題數量方面，人教版教材共有27道，北師大版教材共計19道，人教版教材比北師大版教材多8道，在無背景方面，人教版教材占了習題總量的40%，北師大版教材占了58%，在個人情境方面，人教版教材占了4%，北師大版教材占了11%，在教育情境方面，兩種版本的教材都沒有設計題目，在職業情境方面，人教版教材占了4%，北師大版教材占了5%，在公共情境方面，人教版教材占了19%，北師范大版教材占了21%，在科學情境方面，人教版教材占了33%，北師大版教材占了5%.兩種版本教材中無情的問題相對較多，人教版教材中涉及情境的題目占了59%，主要情況都是科學情境（航天、航海），北師大版教材中涉及情境的題目占了42%.比較發現，人教版教材中的習題更多的是和現實生活的情境相結合呈現，北師大版教材更多的是以純文本的形式呈現，兩種版本的教材在個人情境、教育情境、職業情境三個方面設計的題目較少.

3.數學特征水平的比較

兩種版本教材都沒有無運算和一步運算的題目，兩步運算的題目人教版教材和北師大版教材分別占了41%和53%，三步運算的人教版教材和北師版教材分別占了41%和11%，四步運算及以上的為19%和37%.人教版教材的加權平均為6.8，北師大版教材為4.8，人教版教材的加權平均明顯高于北師大版教材，北師大版教材中四步運算及四步以上的題目高于人教版.

4.表征特征水平的比較

數學問題有著不同的呈現方式，兩種版本的教材無背景的題目各占了41%和53%，非文本的主要是圖形和文字相結合的題目，在情節和圖表結合水平上，人教版教材占了52%，北師大版教材占了47%，人教版教材中大部分題目的設計都有一定的故事情節和背景，并根據題目的設計配以圖形和圖表，北師大版教材中大部分題目都是沒有背景的純文本形式.

5.任務特征水平的比較

解直角三角形是九年級教學的重點，也是在學生已經學習了勾股定理和簡單的三角函數之后進一步學習的，所以兩種版本教材習題的設計重點是勾股定理及其逆定理及三角函數概念的理解和應用，人教版教材最后設計兩個探究的題目.

四、啟示

數學教材是教師教和學生學中的重要材料，數學習題和例題在教師教和學生學的過程中發揮著重要的作用，問題的不同呈現方式體現了數學教材的特點，人教版和北師大版教材在教材編寫中各有特色，人教版教材中的習題大部分是以非文本的形式呈現，大部分習題涉及科學背景，北師大版教材中例題、習題的設計純文本的較多，兩種版本教材中的例題和習題都是“解直角三角形”的應用.教材例題和習題的編寫都是為了更好地服務學生，例題、習題如何呈現，教材編寫如何借鑒國內外最新的研究成果，讓其在提升學生數學素養上發揮應有的作用，這是值得大家認真思考的.