一道方程組競賽題蘊含的數學思想

☉山東省濟南市萊蕪區雪野鎮中心中學 亓 瑋

先看這樣一道數學競賽題：

解法1：①+②+③，得2（a+b+c）2=72，即（a+b+c）2=36.

則a+b+c=±6.

解法2：由①②③，得（a+b）∶（a+c）∶（b+c）=18∶24∶30=3∶4∶5.

設a+b=3k，a+c=4k，b+c=5k.

以上三式相加，得2（a+b+c）=12k.則a+b+c=6k.

則a=k，b=2k，c=3k.代入①，得18k2=18.則k2=1，k=±1.

則a=1，b=2，c=3，或a=-1，b=-2，c=-3.

以上在解方程組時，把（a+b+c）當成一個整體，而且解法1采用將三個方程的左、右兩邊整體相加的策略，解法2采用將三個方程的左、右兩邊整體相比的策略，巧妙求出未知數的值，這里蘊含了一種重要的數學思想——整體思想.所謂整體思想，是指在思考數學問題時，有大局意識、整體觀念，有意識地放大問題的視角，而不是局限于問題的局部或者說僅僅考慮問題的細節.下面以例子說明整體思想在初中數學解題中的應用.

一、在解方程（組）時，采用整體相加（減、乘、除）的策略，或者將某一式看成一個整體，往往可以使解方程（組）的過程簡捷

例1解方程x2-2x-|x-1|-1=0.

分析：本題若按常規方法，需要分x-1≥0或x-1＜0兩種情況，把絕對值號去掉.當x-1≥0，即x≥1時，原方程可化為x2-2x-（x-1）-1=0，則x2-3x=0.解得x1=0（不合題意，舍去），x2=3.當x-1＜0，即x＜1時，原方程可化為x2-2x+（x-1）-1=0，即x2-x-2=0.解得x1=2（不合題意，舍去），x2=-1.所以原方程的解為x1=3，x2=-1.這種方法比較麻煩.如果將|x-1|看成一個整體，且注意到（x-1）2=|x-1|2，再求解就簡單多了.

解：原方程即（x2-2x+1）-|x-1|-2=0，即（x-1）2-|x-1|-2=0，即|x-1|2-|x-1|-2=0.

則（|x-1|+1）（|x-1|-2）=0.顯然|x-1|+1是正數，則|x-1|-2=0，即|x-1|=2.則x-1=2或x-1=-2，即x=3或x=-1.

例2解方程組

分析：本題是一道三元二次方程組題，若按常規方法來解比較困難.可以采用在每個方程兩邊“加1”的技巧對方程變形，然后采用整體相乘的辦法巧解.

解：原方程組即

①×②×③，得（x+1）2（y+1）2（z+1）2=602.

則（x+1）（y+1）（z+1）=±60.④

④分別除以①、②、③，得z+1=±5，x+1=±3，y+1=±4.

二、在解決實際問題時，要注意從整體上分析題意，便于表示相關的量，列出方程（組），順利解決問題

例3甲騎自行車從A地到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進.已知兩人在上午8時同時出發，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米，求A、B兩地的路程.

分析：解答本題需要知道，上午10時兩人相距36千米是指甲、乙兩人相遇前相距36千米，中午12時兩人相距36千米是指甲、乙兩人相遇后相距36千米.由于兩人都勻速前進，可知甲、乙兩人的速度都不變，所以可以從速度這個不變量入手來列方程.設A、B兩地的路程為x千米，則從上午8時到上午10時甲、乙一共走了（x-36）千米，因此甲、乙兩人的速度和為千米／時.下面只需再用另一個式子表示甲、乙兩人的速度和，方程就不難列出來了，這就要用到另一個條件“到中午12時，兩人又相距36千米”.如何用這個條件呢？ 一般情況下是考慮“上午10時到中午12時”這個局部時間段甲、乙兩人共走的路程，但比較困難.如果我們從整體上考慮，把甲、乙兩人“上午8時到中午12時”共走的路程表示出來比較容易，為（x+36）千米，進而表示出甲、乙兩人的速度和為千米／時.再列方程求解就簡單多了.

解：設A、B兩地的路程為x千米，根據題意列方程得.解得x=108千米.

所以A、B兩地的路程為108千米.

三、有些問題涉及的對象比較多，若按常規方法，需要對這些對象分情況討論，比較麻煩，若采用整體處理，則非常簡捷

例4已知a、b、c為實數，u、v、w為任意實數，設A=（a-b）u+（b-c）v+（c-a）w，B=（b-c）u+（c-a）v+（a-b）w，C=（c-a）u+（a-b）v+（b-c）w.求證：A、B、C不能都是正數，也不能都是負數.

分析：此題若按常規方法，需要分類討論，即分一正兩負、一負兩正等情況分別討論，比較麻煩.若從整體分析，只需證明A+B+C=0即可.

證明：A+B+C=（a-b）u+（b-c）v+（c-a）w+（b-c）u+（ca）v+（a-b）w+（c-a）u+（a-b）v+（b-c）w=（a-b+b-c+c-a）u+（b-c+c-a+a-b）v+（c-a+a-b+b-c）w=0.

則A、B、C不能都是正數，也不能都是負數.

四、有些幾何圖形是不規則圖形，不便利用圖形的性質解決問題，若能根據圖形特征，巧妙添加輔助線，使不規則圖形轉化成規則圖形，使問題中的隱含條件顯露出來，則使問題解決

例5如圖1，在△ABC中，AO是∠BAC的平分線，過點B作AO的垂線交其延長線于點D，E是BC的中點.求證：.

分析：觀察圖形，AO 是∠BAC的平分線，AD⊥BD，易想到圖1是等腰三角形的一部分，補形后，中點D顯露無遺，問題順利解決.

圖1

證明：延長BD、AC交于點F.

由AD平分∠BAF，AD⊥BF，得△ABF是等腰三角形，且AB=AF，BD=DF.

由BE=EC，得DE是△BCF的中位線.

例6工人師傅用一正方形鋼板截一模板，如圖2，分別以正方形ABCD的邊長AB和BC為直徑畫兩個半圓交于點O，若正方形的邊長為10cm，求陰影部分的面積.

分析：陰影部分有兩部分，這兩部分都是不規則圖形，計算不方便.我們應設法應用一些數學手段，將陰影部分拼在一起.連接BD、AC，由正方形的對稱性可知，AC與BD必定交于點O，正好把左下角的陰影部分分成（Ⅰ）和（Ⅱ）兩部分（如圖3），把陰影部分（Ⅰ）繞點O逆時針旋轉90°至陰影部分①處，把陰影部分（Ⅱ）繞點O順時針旋轉90°至陰影部分②處，使整個陰影部分補成半個正方形的面積.

圖2

圖3

解：如圖3，把陰影部分（Ⅰ）繞點O逆時針旋轉90°至陰影部分①處，把陰影部分（Ⅱ）繞點O順時針旋轉90°至陰影部分②處，則原陰影部分變為如圖3所示的陰影部分，即正方形的一半，所以陰影部分的面積為50cm2.

針對練習：

題1：解方程組

題2：如圖4，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=12.若E 是 線 段AB 上 一 點，且BE=4，∠DCE=45°，求DE的長.

題3：某工程由甲、乙兩隊合作6天完成；乙、丙兩隊合作10天完成；甲、丙兩隊合作5天完成全部工程的.求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天.

以上僅從四個方面談論了整體思想在解決數學問題中的應用.當然，整體思想的應用遠不止這些，如計算（a2+2a-3）2-（a2-2a+3）2時，我們可以分別把（a2+2a-3）和（a2-2a+3）看成一個整體，然后利用平方差公式計算，得［（a2+2a-3）+（a2-2a+3）］［（a2+2a-3）-（a2-2a+3）］=2a2（4a-6）=8a3-12a2；或者分別把a2和（2a-3）看成一個整體，得［a2+（2a-3）］2-［a2-（2a-3）］2=［a4+（2a-3）2+2a2（2a-3）］-［a4+（2a-3）2-2a2（2a-3）］=4a2（2a-3）=8a3-12a2.限于篇幅，在這里不再贅述.從上面所舉例子我們不難看出運用整體思想解決數學問題的優越性.希望大家勤于思考，留心總結，靈活運用整體思想解決數學問題，讓我們的數學學習變得輕松、愉快.