基于壓縮感知的金屬加筋板蘭姆波健康監測技術

焦敬品，李海平，翟順成，何存富，吳斌

北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院，北京 100124

在航空航天領域，加筋板構件得到廣泛應用，如空間站艙體、飛機艙門等。受制造工藝、工作載荷、運行環境等因素的影響，這些結構難免會出現裂紋、腐蝕、孔洞等缺陷，影響結構的安全運行，甚至造成重大安全事故和人員傷亡[1-2]。因此，為保證這些重要結構件的安全運行[3-4]，需要發展有效的加筋板結構健康監測技術。

作為一種高效的無損檢測技術，蘭姆波檢測技術已經廣泛應用于板結構無損檢測與健康監測[5-8]。但利用常規的蘭姆波檢測技術對板結構進行檢測時，需要預先獲知(或通過預實驗檢測得到)待檢測板結構中蘭姆波的傳播特性，如激勵出的蘭姆波模態類型[9]及其波速[10]。由于加筋板結構復雜，無法直接應用商用波傳播特性分析軟件(如Disperse軟件[11])計算出其傳播特性。因此，如何獲得復雜結構中蘭姆波的傳播特性，將直接關系到蘭姆波檢測技術的有效性。

壓縮感知是一種有效的信息采集與重建技術。利用信號本身或其在某個變換域中的稀疏性，能夠從少量采樣數據中以極高的精度重建原始信號，減少需要采集的數據量。目前，壓縮感知理論已經廣泛應用于醫學成像領域，如磁共振共像(MRI)、計算機斷層掃描(CT)、正電子發射型計算機斷層顯像(PET)、光聲成像等。在超聲領域，國內外學者也對壓縮感知技術的應用開展了廣泛的研究。例如，利用分布式壓縮感知理論，Zhang等[12]提出一種自適應波束形成方法，有效增強了點目標的成像效果。花少炎等[13]將壓縮感知理論應用于超聲逆散射成像中，有效提高了成像的空間分辨率和對比度。呂燚等[14]將壓縮感知應用于合成孔徑醫學超聲成像中，在保證成像質量的前提下，降低了檢測系統的復雜度。王平等[15]通過高效能稀疏字典設計，提高了合成孔徑壓縮感知成像質量，降低了成像系統的復雜度。根據蘭姆波在頻域波數域的稀疏特性，Harley和Moura[16]提出了一種基于壓縮感知的蘭姆波傳播特性(頻散特性)恢復方法，并將其應用于各向同性金屬板中蘭姆波傳播響應的預測及缺陷成像中[17-18]。基于蘭姆波的理論頻散特性，Gao等[19]將改進的壓縮傳感技術用于遠場情況下蘭姆波的模態分離。針對壓縮感知技術在蘭姆波頻散特性恢復受噪聲影響大的問題，Zhao等[20]在頻率連續性約束條件下，將邊緣提取技術及變分貝葉斯高斯混合模型用于連續性頻散特性的提取，很好地恢復出蘭姆波的頻散曲線。

綜上所述，將壓縮感知技術引入蘭姆波檢測信號分析處理，可以在無需預先獲知待檢測結構的頻散特性的條件下，恢復出蘭姆波的頻散特性，并實現缺陷成像。因此，壓縮感知技術可以解決蘭姆波檢測中需要預先獲知結構頻散特性的瓶頸問題，這對于復雜板結構的大范圍損傷檢測尤為重要。針對航空航天領域大型裝備中金屬加筋板安全評價需要，本文將壓縮感知應用于加筋板蘭姆波健康監測中，利用壓縮感知技術從稀疏陣列得到的檢測數據中恢復出加筋板中蘭姆波的頻散特性，并提出一種將余弦相似度和皮爾森相似度相結合的復合成像方法，用于金屬加筋板的大范圍缺陷檢測及成像。

1 基本理論

基于蘭姆波在頻率-波數域中的稀疏性，將壓縮感知技術應用于蘭姆波傳播特性恢復及缺陷成像。分析蘭姆波在頻域波數域的稀疏性；利用壓縮感知技術對稀疏陣列采集的蘭姆波信號進行處理，從中恢復出蘭姆波的頻散特性；利用測試數據與預測數據，提出了一種復合相似度的蘭姆波成像方法。

1.1 頻域-波數域中蘭姆波的稀疏性

建立如圖1所示的無限大平板中蘭姆波傳播模型。建立柱坐標系，其中z軸垂直于板結構表面，r軸平行于板面，θ為偏移角。

圖1 蘭姆波傳播模型Fig.1 Propagation model for Lamb wave

當激勵位置位于坐標原點O處時，任意距離r處蘭姆波的頻域表達式可以表示為[18]

(1)

式中：m表示蘭姆波的模態；km(ω)表示頻率為ω時，m模態蘭姆波的波數；Gm(ω)為m模態蘭姆波在頻率ω處位移響應的幅值。

若在板上表面布置P個傳感器，依次激勵每一個傳感器，其余傳感器全部用于蘭姆波的接收，則共有M=P(P-1)/2對激勵接收傳感器及對應的M組檢測信號。根據傳感器所處的位置可以計算出每對傳感器之間的距離，分別表示為r1,r2,…,rM。為便于從M組檢測信號中提取出蘭姆波的頻率-波數信息，在激勵信號的帶寬范圍內，將波數等間隔離散成N等份，根據預想恢復出的波數范圍，將頻率等間隔離散成Q等份，構成維度為M×M的距離系數對角矩陣Dr和維度為N×N的波數系數對角矩陣Dk：

(2)

(3)

離散后的傳播項可用M×N維的矩陣A表示：

A=(exp(-jkjri))ij

(4)

式中：i={1,2,…,M},j={1,2,…,N}。通過上述的頻率和波數離散化，式(1)可以用矩陣的形式表示為

y=DrADkv

(5)

式中：v為離散化的蘭姆波幅值響應；y表示通過分布在板結構上的稀疏傳感器陣列得到的多組蘭姆波接收信號的頻域表達式離散形式。結合離散化后的波數和距離矩陣，可以從式(5)中求得離散化的蘭姆波幅值響應函數，該函數的非零值即為蘭姆波頻散特性。式(5)從理論上闡釋了蘭姆波頻散特性的恢復機理。顯然，v為頻率-波數(f-k)的函數：

(6)

式中：V(k,ω)表示波數為k頻率為ω時的頻率波數幅值：

(7)

為了更好地理解式(6)和式(7)，圖2給出了離散化的蘭姆波幅值響應在頻率-波數空間的分布示意圖。從圖中可知，對于任意k，當其滿足k=km(ω)時，V(k,ω)的值為Gm(ω)(非零值)；當滿足k≠km(ω)時，V(k,ω)的幅值為零。這些非零值構成了蘭姆波的頻率-波數曲線，即蘭姆波的頻散曲線。

圖2 蘭姆波在頻率-波數空間的幅值響應Fig.2 Lamb waves amplitude response in frequency-wavenumber space

1.2 基于壓縮感知的蘭姆波頻散特性恢復及波形預測

對于復雜板結構(如金屬加筋板)，難以通過理論計算得到其上蘭姆波傳播的頻散特性。由于加筋板中筋的周期分布特點以及蘭姆波傳播的周向一致性，使得加筋板結構中蘭姆波在不同方向上的頻散特性差異較小。若忽略加筋板中蘭姆波頻散特性在空間不同方向的差異性，則可以利用壓縮感知技術對隨機布置在板中任意位置的傳感器接收信號進行處理，恢復出加筋板結構中蘭姆波的頻散特性。

利用稀疏分布的傳感器陣列，在無缺陷金屬加筋板上進行蘭姆波檢測，采集到M組信號y′(t)。對時域信號y′(t)進行傅里葉變換得到無缺陷參考信號y，將距離、頻率和波數離散，計算出系數矩陣DrADk，構造以離散化蘭姆波幅值響應v為未知量的方程，即式(5)。

式(5)是一個多元一次線性方程組。在通常情況下，對于系數矩陣DrADk，一般M

(8)

由于求解l0范數下約束優化問題的數值計算具有不穩定性，可將求解l0范數問題等價為l1范數問題的求解：

(9)

考慮到實際檢測信號總是不可避免地會受到噪聲的影響，可將式(9)轉化為具有松弛約束的l1范數最小化問題[16]：

(10)

式中：ε表示重構信號允許的最大誤差。式(10)表示的優化問題等價于拉格朗日乘子形式：

(11)

根據式(5)可知，在恢復出加筋板的頻散特性的基礎上，還可以利用該式對蘭姆波的傳播進行預測，即可以計算出任意空間位置處蘭姆波的波形。

1.3 復合相似度蘭姆波成像方法

基于任意空間位置處的預測信號與檢測信號的相似度分析，本文提出一種基于復合相似度的蘭姆波成像方法。首先，在保持檢測系統中傳感器布置不變的情況下，將待檢測金屬加筋板的成像區域離散成L×W(長度方向離散為L個點，寬度方向離散為W個點)個成像點，如圖3中的灰色點所示。

(12)

式(12)的預測信號表達式僅考慮了單一缺陷的作用，無法用于包含多個缺陷的聲場預測。當結構中存在多個缺陷，利用式(12)得到預測信號與測試信號的相似度會大大降低，而在某些非缺陷處的相似度會提高，導致成像對比度降低，并產生了較多的偽像。為了提高缺陷的檢測能力，本文將余弦相似度與皮爾森相似度相結合，發展了一種復合相似度的蘭姆波成像方法。該方法利用了余弦相似度函數不受幅值影響[20]以及皮爾森相似度能抑制噪聲的[21]特點，可以大大提高缺陷成像的分辨率，并很好抑制了偽像。該成像方法可表示為

圖3 計算預測信號路徑Fig.3 Calculation of predicted signal path

(13)

(14)

(15)

2 實驗系統

待檢測的金屬加筋板試件尺寸為300 mm×988 mm×20 mm，板厚5 mm、筋高15 mm、筋寬4 mm，如圖4所示，圖4 (a)和圖4 (b)分別為待測金屬加筋板的正面(有筋面)和背面(無筋面)。

由于試件較大，選取加筋板中大小為744 mm×739 mm的區域作為檢測區域進行實驗，即圖中方框內部區域。圖5為實驗系統示意圖，實驗系統包括任意函數發生器、電壓放大器、示波器、待測金屬加筋板試件以及由25個壓電片(直徑8 mm、厚度0.4 mm)組成的傳感器陣列。將25個壓電片稀疏隨機排布，粘貼在加筋板的背面(無筋面)，傳感器坐標在表1中給出。依次對每個傳感器分別激勵時長為0.1 ms的Chirp信號(0～1 MHz)，其余傳感器用于信號接收。激勵幅值為20 V，采樣頻率為25 MHz。

圖4 加筋板試件Fig.4 Stiffened panel specimen

圖5 加筋板實驗系統Fig.5 Stiffened panel experimental system

表1 傳感器序號及坐標(mm)Table 1 Number and coordinates of sensors (mm)

序號坐標序號坐標序號坐標1(84,683)10(683,500)19(497,203)2(243,630)11(88,352)20(650,239)3(399,665)12(204,392)21(75,50)4(520,700)13(360,365)22(187,50)5(685,643)14(540,400)23(370,98)6(56,547)15(657,350)24(555,40)7(211,525)16(52,210)25(696,110)8(400,500)17(225,18)9(531,529)18(400,250)

3 結果與討論

3.1 蘭姆波頻率-波數關系恢復

利用1.2節所述的壓縮感知技術對加筋板中蘭姆波頻散特性進行恢復。為說明該方法恢復結果的可靠性，圖6給出了相同實驗條件下1 mm鋁板的頻率-波數關系恢復結果，圖中黑線為1 mm 厚鋁板的A0和S0模態理論頻散曲線，可以看出，利用壓縮感知技術恢復出的頻率-波數關系與理論曲線吻合良好，恢復準確度高。

圖6 1 mm厚鋁板中蘭姆波幅值響應的頻率-波數分布Fig.6 Frequency-wavenumber distribution of Lamb wave amplitude response in 1 mm-thick aluminum plate

圖7給出了金屬加筋板中蘭姆波的頻率-波數關系恢復結果，同時將恢復結果與理論計算得到的不同厚度鋁板的S0模態理論頻率-波數曲線進行了結果比較(圖7 (a)))，以及和最接近的3.5 mm 厚鋁板的S0模態理論頻率-波數曲線的結果比較(圖7 (b)))。由圖7可知，在0～1 MHz 范圍內，壓縮感知技術主要恢復出了金屬加筋板中的S0模態的蘭姆波，恢復結果的稀疏度較高。與不同厚度鋁板S0模態理論頻率-波數曲線比較可以看出，其與3.5 mm厚鋁板的S0頻率-波數理論曲線最為接近，該厚度與加筋板構件的相關尺寸(整體厚度20 mm、板厚5 mm、筋厚15 mm)均無關。結果表明，金屬加筋板中蘭姆波的頻散特性與平板中蘭姆波的頻散特性有較大差別，不能簡單地使用某一厚度平板的頻散特性加以替代。

圖7 加筋板中蘭姆波幅值響應的頻率-波數分布Fig.7 Frequency-wavenumber distribution of Lamb wave amplitude response in stiffened plates

3.2 缺陷檢測與成像

保持25個傳感器相對位置不變，在兩個不同位置(250 mm, 345 mm)、(540 mm, 250 mm)依次粘貼釹鐵硼圓柱(直徑34 mm、高7 mm)和鋼圓柱(直徑30 mm、高60 mm)作為粘貼缺陷，如圖5所示，依次采集單缺陷和雙缺陷測試信號。

根據式(13)進行加筋板中復合相似度蘭姆波成像，圖9和圖10為利用3種不同成像方法得到的加筋板檢測結果，3個分圖分別為復合相似度蘭姆波成像、基于余弦相似度的蘭姆波成像和基于皮爾森相似度的蘭姆波成像結果。對比3種方法的成像結果可以看出，不論單缺陷檢測還是雙缺陷檢測，復合相似度蘭姆波成像方法的成像質量均優于另外兩種成像方法的檢測結果：成像的分辨率更高、偽像更少，且定位更準確。基于復合相似度的蘭姆波成像方法可以很好實現加筋板中多缺陷檢測及定位。

為了說明復合成像方法相對于單一相似度成像方法的優勢，圖11給出了多缺陷成像時，3個相似度函數在兩個缺陷中心位置處沿寬度方向上(y=0.34 m和y=0.27 m，圖10虛線所示)的空間分布。可以看出，與兩種單一相似度函數相比，復合相似度函數在缺陷與非缺陷位置處的對比度更大，有利于消除偽像；此外，復合相似度函數在缺陷位置的指向性更好，提高了缺陷的空間分辨能力。因此，提出的復合相似度成像方法可以很好實現金屬加筋板中多個缺陷的成像。

為直觀反映3種成像方法在缺陷檢測能力方面的差異性，對3種成像方法的定位誤差、空間分辨率和對比度進行了對比分析。定位誤差表示成像方法的定位準確性，缺陷的空間分辨率用API值表示，對比度用缺陷面積與非缺陷面積的比值g表示。

圖8 預測信號和測試信號Fig.8 Prediction signal and test signal

圖9 單缺陷蘭姆波成像結果Fig.9 Lamb wave imaging results of single defect

圖10 多缺陷蘭姆波成像結果Fig.10 Lamb wave imaging results of multi defects

圖11 相似度函數空間分布Fig.11 Spatial distribution of similarity function

API的定義為

(16)

式中：S-6dB為由成像幅值最大值(0)下降到-6 dB 所對應的成像區域(面積)；S為整體成像區域(面積)；n表示缺陷個數。API值越小，成像分辨率越高。

對比度g的定義為

(17)

式中：分子表示S-6dB區域內成像點幅值的均值，其內的成像點(xd,yd)處的成像幅值為B(xd,yd)；分母表示除S-6dB區域外其他成像點幅值的均值，其內的成像點(xi,yi)處的成像幅值用B(xi,yi)表示。不難理解，對比度g越小，圖像的信噪比越高，偽像越少。

分別計算單缺陷和雙缺陷的定位誤差、API值和對比度g值，結果如圖12～圖14所示，其中1、2和3分別表示復合相似度蘭姆波成像、基于余弦相似度的蘭姆波成像和基于皮爾森相似度的蘭姆波成像。

圖12 不同成像方法的定位誤差Fig.12 Location error of different imaging methods

圖13 不同成像方法的API值Fig.13 API of different imaging methods

圖14 不同成像方法的對比度Fig.14 Contrast ratio of different imaging methods

可以看出，與兩種單一成像方法相比，復合相似度蘭姆波成像方法的定位誤差較小(除雙缺陷中第一個缺陷的復合相似度成像的定位誤差略高于基于皮爾森相似度成像的定位誤差)；API值更小(除單缺陷復合相似度成像的API值略高于基于皮爾森相似度成像方法的API值)，說明其成像分辨率更高；對比度更小，說明其消除偽像能力更強，信噪比更高。

4 結 論

1) 利用壓縮感知技術，可從稀疏陣列的檢測信號中恢復出復雜板結構中(例如金屬加筋板)蘭姆波的頻散特性，恢復準確度高。

2) 基于恢復的蘭姆波的頻散特性，發展的復合相似度蘭姆波稀疏陣列成像方法，能夠實現金屬加筋板中多個損傷的檢測及定位，缺陷定位準確，成像分辨率高，能很好消除偽像，信噪比高。

3) 基于式(1)所示的板中蘭姆波傳播的簡化模型，發展了一種基于壓縮感知的加筋板結構蘭姆波健康監測技術，因此，提出的方法僅適用于可用式(1)所示簡化模型表述的類板結構中波傳播問題。此外，盡管壓縮感知是一種稀疏采樣技術，但為保證恢復結果的精度，仍需要在板結構上稀疏排布一定數量的傳感器。在后續工作中，將進一步研究傳感器數量及排布形式對檢測結果的影響。