二維三軸編織復(fù)合材料壓縮失效行為的細(xì)觀有限元模擬

劉鵬，郭亞洲，趙振強(qiáng)，邢軍，張超,*

1. 西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072 2. 西北工業(yè)大學(xué) 陜西省沖擊動(dòng)力學(xué)及工程應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072 3. 中國(guó)民用航空適航審定中心，北京 100102

復(fù)合材料因其比強(qiáng)度高、比剛度大等優(yōu)點(diǎn)，被越來越多地應(yīng)用于航空航天、汽車和船舶等領(lǐng)域。編織復(fù)合材料因其成型便捷、抗損傷擴(kuò)展性能優(yōu)異，以及相比傳統(tǒng)層合板更突出的抗沖擊性能，近年來已經(jīng)被廣泛地用于制造大型飛機(jī)或發(fā)動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)部件。本文研究對(duì)象是二維三軸編織復(fù)合材料，作為一種富有潛力的織物復(fù)合材料，在航空航天和汽車等領(lǐng)域已經(jīng)得到了一定的應(yīng)用，例如美國(guó)通用電氣公司在新一代大涵道比商用航空發(fā)動(dòng)機(jī)GEnx中就使用了由二維三軸編織復(fù)合材料制成的全復(fù)合材料機(jī)匣[1]；由于二維三軸編織結(jié)構(gòu)在沖擊載荷下能量吸收效果良好，在汽車前縱梁上也得到了應(yīng)用，Xiao等[2-3]開展了大量該復(fù)合材料管狀試樣的軸向抗沖擊性能試驗(yàn)和仿真模擬方法研究。

在典型的0°/±60°二維三軸編織結(jié)構(gòu)中，偏軸纖維束繞著軸向纖維束周期性交織在一起，0°纖維束呈直線狀，并對(duì)應(yīng)材料的軸向方向。通常，面內(nèi)垂直于軸向方向定義為橫向方向，垂直于軸向和橫向組成的平面方向定義為厚度方向。因?yàn)榫幙椊Y(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，二維三軸編織復(fù)合材料的破壞行為也比較復(fù)雜，為了研究這種材料的破壞機(jī)理，美國(guó)阿克倫大學(xué)的Littell[4]開展了4種不同樹脂材料體系二維三軸編織復(fù)合材料試樣在不同載荷條件下的力學(xué)試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)在橫向拉伸載荷下，直邊試樣存在明顯的自由邊效應(yīng)(Free-Edge Effect)，進(jìn)而導(dǎo)致試驗(yàn)測(cè)得的性能不能反映材料的真實(shí)力學(xué)性能。為了克服自由邊效應(yīng)的影響，Kohlman[5]設(shè)計(jì)了非標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)件，包括雙邊缺口試樣和管狀試樣，并進(jìn)行試驗(yàn)，其研究結(jié)果顯示由于失效模式不穩(wěn)定，仍難以得到理想的試驗(yàn)結(jié)果。近期Wehrkamp-Richter等[6]針對(duì)二維三軸編織復(fù)合材料進(jìn)行了面內(nèi)偏軸拉伸試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)二維三軸編織結(jié)構(gòu)能夠有效抑制裂紋擴(kuò)展。總的來說，目前已開展的關(guān)于二維三軸編織復(fù)合材料的試驗(yàn)研究中，仍以拉伸試驗(yàn)為主，因壓縮試驗(yàn)夾具相對(duì)復(fù)雜且失效機(jī)理不明確，關(guān)于壓縮的研究尚不充分。Quek等[7]開展了0°/±45°二維三軸編織復(fù)合材料雙軸壓縮試驗(yàn)研究，該試驗(yàn)消除了上述試驗(yàn)中存在的自由邊效應(yīng)，并發(fā)現(xiàn)該復(fù)合材料壓縮失效主要由纖維束彎曲和界面失效引起。

受限于材料復(fù)雜的編織結(jié)構(gòu)，通過試驗(yàn)很難直接觀察復(fù)合材料內(nèi)部的損傷演化過程，而數(shù)值模擬方法可以彌補(bǔ)上述的不足，通過對(duì)材料細(xì)觀結(jié)構(gòu)的模擬、局部的損傷分析，結(jié)合有限元軟件可視化模塊，可以直觀地分析復(fù)合材料的漸進(jìn)損傷過程，也可以大幅地降低試驗(yàn)費(fèi)用。有關(guān)二維三軸編織復(fù)合材料的數(shù)值仿真，近年來也一直有學(xué)者進(jìn)行研究。最初，Cheng[8]提出了一種Subcell模型，將二維三軸編織復(fù)合材料的單胞等效為四個(gè)復(fù)合材料層合板單元，模擬了該材料在高速?zèng)_擊載荷下的力學(xué)響應(yīng)和失效形貌。在其基礎(chǔ)上，Binienda等[9-11]對(duì)該模型進(jìn)行了不斷優(yōu)化和改進(jìn)，但由于該模型無法反映材料的細(xì)觀幾何特性，導(dǎo)致其無法應(yīng)用于分析具體的失效機(jī)理。細(xì)觀有限元模型通過對(duì)基體、纖維束和界面等主要構(gòu)成的組分分別建模，可詳細(xì)地模擬和預(yù)測(cè)各組分損傷的起始和擴(kuò)展過程。Waas等[12-14]建立了細(xì)觀單胞模型，采用ABAQUS軟件里弧長(zhǎng)法(Riks Method)來模擬纖維束初始缺陷并進(jìn)行有限元仿真，探討了纖維束不同的彎曲模式和初始缺陷對(duì)材料整體壓縮強(qiáng)度的影響，并進(jìn)一步研究了不同尺寸模型纖維束彎曲模式和破壞情況的差異性。Zhang等[15]基于0°/±60°二維三軸編織復(fù)合材料的真實(shí)幾何尺寸，建立了一套編織復(fù)合材料的細(xì)觀有限元模擬方法體系，利用內(nèi)聚力界面單元(Cohesive Element)模擬了纖維束之間以及纖維束與基體之間的界面失效，并深入研究了邊界效應(yīng)形成的機(jī)理以及其對(duì)直邊試樣測(cè)試性能的影響規(guī)律。基于此細(xì)觀有限元模型，Zhao等[16]發(fā)展了此材料的多尺度仿真方法，采用細(xì)觀-宏觀均一化方法來獲取宏觀亞單胞模型的性能參數(shù)，繼而用于分析材料在高速?zèng)_擊載荷下的失效行為和破壞模式。

目前針對(duì)二維三軸編織復(fù)合材料壓縮性能的研究相對(duì)較少，Waas[12-14]與Li[17]等針對(duì)二維三軸編織復(fù)合材料建立的細(xì)觀有限元模型僅包含一個(gè)或數(shù)個(gè)單胞，模型尺寸與真實(shí)試樣尺寸存在較大差異，而Zhang[18]和Zhao[19]等的研究表明二維三軸編織復(fù)合材料在面內(nèi)和厚度方向都具有明顯的尺寸效應(yīng)，采用單個(gè)單胞或單層模型很難預(yù)測(cè)材料真實(shí)的力學(xué)響應(yīng)。因此，本文基于細(xì)觀有限元模擬方法，建立了和實(shí)際試樣等寬的有限元模型，結(jié)合復(fù)合材料漸進(jìn)損傷模型和內(nèi)聚力界面模型，采用ABAQUS/EXPLICIT求解器，結(jié)合VUMAT子程序，模擬了在軸向和橫向壓縮載荷下二維三軸編織復(fù)合材料的損傷起始和擴(kuò)展過程，分析了纖維束波動(dòng)對(duì)壓縮性能的影響規(guī)律，提出了該材料細(xì)觀有限元壓縮模型的分析策略。

1 材料與試驗(yàn)

本文所研究的二維三軸編織復(fù)合材料由美國(guó)A&P公司制備，通過樹脂傳遞模塑成型技術(shù)制造成型，軸向纖維束是T700-24K碳纖維，偏軸纖維束是T700-12K碳纖維，基體是增韌環(huán)氧樹脂Epon862。如圖1所示，0°方向?yàn)檩S向纖維束，偏軸纖維束分別沿±60°方向上繞軸向纖維束周期性地交織穿插。

圖1 二維三軸編織布的平面結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Architecture of two-dimensional triaxially braided carbon fabrics

從制造商和文獻(xiàn)[4,17]中得到了T700碳纖維和樹脂基體的基本力學(xué)性能，列于表1中。二維三軸編織復(fù)合材料的性能測(cè)試試驗(yàn)數(shù)據(jù)全部是由Littell[4]使用MTS-858拉扭試驗(yàn)機(jī)完成的，加載速率為0.010 6 mm/s，試樣為參照ASTM-D3410標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的直邊試樣，寬度為35.8 mm，長(zhǎng)度為152.4 mm，標(biāo)距段長(zhǎng)度為25.4 mm，分為軸向壓縮和橫向壓縮兩種類型。

表1 纖維和基體的力學(xué)性能Table 1 Mechanical properties of fiber and matrix

2 細(xì)觀有限元模型

細(xì)觀有限元模型能夠準(zhǔn)確描述纖維織物的幾何特性，包括纖維束的分布和局部的彎曲波動(dòng)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合復(fù)合材料損傷判據(jù)，進(jìn)而可預(yù)測(cè)每種組分的力學(xué)響應(yīng)以及他們對(duì)整體性能的影響，同時(shí)可有效地表征材料在不同載荷下的損傷情況[20]。通過對(duì)一個(gè)單胞或多個(gè)單胞的仿真與分析，能夠得出各組分的應(yīng)力分布以及失效模式，從而可以對(duì)材料各組分在相應(yīng)加載情況下的損傷起始與擴(kuò)展情況進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

2.1 單胞的幾何參數(shù)

二維三軸編織復(fù)合材料可以看成由此材料結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元(簡(jiǎn)稱為單胞)在各方向上通過周期性堆疊形成，因此在細(xì)觀尺度上需要對(duì)單胞的幾何參數(shù)進(jìn)行詳細(xì)的描述。如圖1所示，單胞的寬度W為兩個(gè)相鄰軸向纖維束的中軸線的間距；單胞的長(zhǎng)度L為同一方向相鄰偏軸纖維束的中軸線的間距；單胞的厚度H為單層編織復(fù)合材料試樣的平均厚度。根據(jù)Zhang等[15]的微觀表征和計(jì)算，軸向纖維束和偏軸纖維束的纖維體積分?jǐn)?shù)分別為vfa和vfb，單胞總體纖維分?jǐn)?shù)為vf，具體參數(shù)在表2中列出。在編織復(fù)合材料的制備成型過程中，各纖維束會(huì)相互擠壓，導(dǎo)致軸向纖維束產(chǎn)生微小的起伏，但相對(duì)于偏軸纖維束的起伏程度，軸向纖維束起伏程度較小。為了便于建模，本研究在幾何上假定軸向纖維束呈直線狀，偏軸纖維束繞軸向纖維束穿插編織。同時(shí)，為了考慮軸向纖維束起伏波動(dòng)的影響，本文基于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算對(duì)軸向纖維束的等效剛度進(jìn)行了折減，詳細(xì)細(xì)節(jié)在后文中介紹。

表2 二維三軸編織復(fù)合材料單胞的幾何參數(shù)

2.2 單胞的有限元模型

首先，使用TexGen軟件，生成如圖2(a)所示的二維三軸編織復(fù)合材料的單胞幾何模型(為了更好顯示纖維束編織結(jié)構(gòu)，此處將基體設(shè)置為透明)，纖維束橫截面假定為理想橢圓形狀；然后，通過TexGen生成如圖2(b)所示有限元模型，模型中纖維束和基體部分的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)能夠一一對(duì)應(yīng)。此外，為了模擬纖維束間和纖維束與基體的界面，在纖維束表面建立了一層厚度為10-4mm的內(nèi)聚力單元(Cohesive Layer)，如圖2(c)所示，界面單元以共節(jié)點(diǎn)的形式連接纖維束和基體部分。單胞模型中所有單元均為八節(jié)點(diǎn)六面體單元，沿其軸向(y方向)有26個(gè)單元，橫向(x方向)有52個(gè)單元，厚度方向(z方向)有10個(gè)單元。雖然在此模型中，偏軸纖維束的邊緣存在階梯狀的起伏單元，但由于其網(wǎng)格大小均勻合理，消除了四面體的單元可能存在的應(yīng)力集中問題，所以整體模擬效果比四面體單元模型更佳。

圖2 二維三軸編織復(fù)合材料單胞的有限元模型Fig.2 Finite element model for unit cell of two-dimensional triaxially braided composite

2.3 邊界條件

對(duì)于有限元分析來說，應(yīng)用合適的邊界條件對(duì)于求解至關(guān)重要。本文開展了軸向壓縮和橫向壓縮兩種加載條件的仿真研究。為了保持模型尺寸和試驗(yàn)的一致性，同時(shí)保證有限元模型里面單胞的完整性，采取了如圖3所示的模型，圖中a和b分別為有限元單胞模型的寬度和長(zhǎng)度。軸向壓縮時(shí)，試樣沿著y方向加載，采用如圖3(a)所示的模型，其x方向(垂直軸向纖維束方向)上有2個(gè)單胞，尺寸為37.00 mm，與試驗(yàn)尺寸相接近；為了減小計(jì)算量，y方向(加載方向)上有2個(gè)單胞，尺寸為10.34 mm；z方向(厚度)上有6個(gè)單胞，尺寸為3.72 mm，與試驗(yàn)試樣厚度相同。橫向壓縮時(shí)，沿著x方向加載，其模型尺寸如圖3(b) 所示，y方向(軸向纖維束方向)上有7個(gè)單胞，尺寸為36.19 mm，與試驗(yàn)尺寸相接近；x方向上有1個(gè)單胞，尺寸為18.5 mm；z方向(厚度)上有6個(gè)單胞，尺寸為3.72 mm。

圖3 軸向和橫向壓縮有限元模型(只顯示纖維束)Fig.3 Axial and transverse compression finite element models (only show fiber bundles)

在加載時(shí)，在單元網(wǎng)格外設(shè)置一個(gè)參考點(diǎn)REF，通過控制REF的位移實(shí)現(xiàn)兩端對(duì)稱加載。

軸向壓縮時(shí)邊界條件為

(1)

橫向壓縮時(shí)邊界條件為

(2)

式(1)～式(2)中：U1和U2分別為x和y方向上的位移。

3 材料的力學(xué)本構(gòu)

第2節(jié)介紹的二維三軸編織復(fù)合材料的細(xì)觀模型包含纖維束、純基體和界面3個(gè)部分。其中，基體材料Epon862為一種增韌環(huán)氧樹脂材料，其在壓縮載荷下的力學(xué)響應(yīng)可以用彈性-理想塑性模型來表征[21]。由于基體材料的壓縮失效應(yīng)變遠(yuǎn)大于纖維束的失效應(yīng)變，因此本研究中沒有考慮純基體材料的失效。以下分別對(duì)纖維束和界面的材料模型進(jìn)行詳細(xì)介紹。

3.1 纖維束漸進(jìn)損傷模型

編織復(fù)合材料中的纖維束，通?？梢缘刃С蓹M觀各向同性的單向復(fù)合材料板，其本構(gòu)方程為

σij=Cijklεkl

(3)

式中:σij、Cijkl和εkl(i，j，k，l= 1，2，3)分別為工程應(yīng)力、剛度系數(shù)和工程應(yīng)變，下標(biāo)1、2、3分別指纖維束的軸向、橫向和面外方向。Eij、μij和Gij為材料的工程常數(shù)，根據(jù)橫觀各向同性假設(shè)，可以得到：E22=E33，μ12=μ13，G12=G13。在滿足某個(gè)失效判據(jù)前，材料為線彈性。

3.1.1 失效判據(jù)

本文根據(jù)Hashin[22]和Hou等[23]的失效判據(jù)建立了纖維束的三維破壞準(zhǔn)則，包含纖維拉伸、纖維壓縮、基體拉伸和基體壓縮4種失效模式。

纖維拉伸失效(σ11>0)：

(4)

纖維壓縮失效(σ11<0)：

(5)

基體拉伸失效(σ22>0)：

(6)

基體壓縮失效(σ22<0):

(7)

式(4)～式(7)中：eft、efc、emt、emc為表征材料損傷程度的量；F1t、F1c、F2t、F2c、Fls、Fts分別為纖維束的軸向拉伸強(qiáng)度、軸向壓縮強(qiáng)度、橫向拉伸強(qiáng)度、橫向壓縮強(qiáng)度、縱向剪切強(qiáng)度和橫向剪切強(qiáng)度;系數(shù)α用來衡量剪切應(yīng)力對(duì)纖維拉伸失效的貢獻(xiàn)。

3.1.2 損傷演化模型

一旦某種損傷起始準(zhǔn)則條件滿足，繼續(xù)加載則會(huì)引起材料剛度下降，Zhang等[15]對(duì)此模型有詳細(xì)的描述。該損傷模型在損傷演化表達(dá)式中引入了一個(gè)特征單元長(zhǎng)度(體單元體積的三次方根)，將單元斷裂能表示為

(8)

(9)

(10)

(11)

對(duì)于復(fù)合材料來說，由于其在最終破壞前有一個(gè)損傷逐漸積累，材料性能逐漸退化的過程，目前采用連續(xù)損傷模型預(yù)測(cè)復(fù)合材料漸進(jìn)損傷的方法已被普遍接受，為了描述從無損傷到完全失效這一過程，本文采用二階對(duì)稱張量描述纖維束的損傷狀態(tài)，損傷狀態(tài)的柔度矩陣S(d)的形式為

S(d)=

(12)

式中：df=(1-dft)(1-dfc)為纖維損傷變量，dft和dfc分別為纖維拉伸、纖維壓縮對(duì)應(yīng)的損傷變量；dm=(1-dmt)(1-dmc)為基體損傷變量，dmt和dmc分別為基體拉伸和基體壓縮對(duì)應(yīng)的損傷變量。

dI(I=ft，fc，mt,mc)用來衡量材料不同失效模式的損傷程度，其變化范圍為(0，1)。未加載時(shí)dI初始值為0，表示材料完好未出現(xiàn)損傷；在加載過程中，當(dāng)滿足相應(yīng)的失效判據(jù)后，dI值會(huì)逐漸增大，材料剛度會(huì)相應(yīng)逐漸降低，當(dāng)dI增大到1時(shí)，則表示單元已完全失效，材料參數(shù)退化的詳細(xì)說明參見文獻(xiàn)[24]。

上述針對(duì)纖維束損傷起始及演化行為的三維漸進(jìn)損傷模型通過編譯ABAQUS用戶自定子程序VUMAT實(shí)現(xiàn)，并結(jié)合ABAQUS/EXPLICIT求解器進(jìn)行求解運(yùn)算。

3.1.3 纖維束剛度和強(qiáng)度預(yù)測(cè)方法

現(xiàn)有預(yù)測(cè)纖維束剛度的方法，如混合準(zhǔn)則、橋聯(lián)模型和Chamis模型[25]等理論模型都是預(yù)測(cè)材料在彈性階段的響應(yīng)，預(yù)測(cè)公式類似且結(jié)果接近,本文采用Huang[26-27]的橋聯(lián)模型來確定纖維束的剛度參數(shù)。

(13)

式中：[dσi]=[dσ11dσ22dσ33dσ23dσ13dσ12]T;上標(biāo)f和m分別表示纖維和基體;[Aij]為橋聯(lián)矩陣，文獻(xiàn)[28]對(duì)此有詳細(xì)說明。

[dεi]=[Sij][dσj]

(14)

式中：[dεi]、[dσj]和[Sij]分別為纖維束的應(yīng)變、纖維束應(yīng)力和纖維束的柔度矩陣，通過推導(dǎo)可得出纖維束的柔度矩陣表達(dá)式為

(VfI+Vm[Aij])-1

(15)

其中：Vf和Vm分別為纖維束里纖維和基體的體積分?jǐn)?shù)；I為單位矩陣。通過纖維束的柔度矩陣，可以求出纖維束的剛度，進(jìn)而可通過改進(jìn)的橋聯(lián)模型[28]求出纖維束的強(qiáng)度。

由于改進(jìn)的橋聯(lián)模型推導(dǎo)纖維束1方向(軸向)壓縮強(qiáng)度F1c時(shí)，只考慮了纖維壓縮失效，這會(huì)導(dǎo)致理論值比實(shí)際值偏大。同時(shí)，纖維束波動(dòng)、孔隙率等幾何缺陷對(duì)纖維束的壓縮強(qiáng)度也會(huì)有一定的影響，因此，本文采用參數(shù)分析的方式來確定纖維束的壓縮強(qiáng)度。

3.1.4 纖維束力學(xué)參數(shù)

由于成型過程中，層間的錯(cuò)位和相互擠壓使得材料在厚度上更為緊湊，多層編織復(fù)合材料試樣在幾何結(jié)構(gòu)上和理想化的幾何模型會(huì)有一定的差異性。因此，數(shù)值模型中纖維束的纖維體積分?jǐn)?shù)必須進(jìn)行略微調(diào)整，才能使得整個(gè)單胞的纖維體積分?jǐn)?shù)與真實(shí)試驗(yàn)(56%)保持一致。Zhao等[16]研究了六層二維三軸編織復(fù)合材料單胞模型中軸向纖維束和偏軸纖維束的纖維體積分?jǐn)?shù)，分別為86%和69%。

基于3.1.3節(jié)所述方法，分別得到了軸向和偏軸纖維束的力學(xué)性能參數(shù)，如表3與表4所示。本文數(shù)值模型中所用材料斷裂能的值引用自Li等[17]的工作，其具體的值如表5所示，Gft、Gfc、Gmt和Gmc分別為纖維拉伸、纖維壓縮、基體拉伸和基體壓縮的斷裂能。

表3 軸向纖維束(vfa=86%)和偏軸纖維束(vfb=69%)的彈性常數(shù)

Table 3 Elastic constants of axial fiber bundles (vfa=86%) and bias fiber bundles (vfb=69%)

彈性常數(shù)數(shù)值vfb=69%vfa=86%E11/GPa159.5165.5E22/GPa8.3111.24E33/GPa8.3111.34μ120.310.30μ130.310.30μ230.530.51G12/GPa4.58.5G13/GPa4.59.0G23/GPa2.73.7

表4 軸向纖維束(vfa=86%)和偏軸纖維束(vfb=69%)的強(qiáng)度參數(shù)

Table 4 Strength parameters of axial fiber bundles (vfa=86%) and bias fiber bundles (vfb=69%)

強(qiáng)度參數(shù)數(shù)值vfb =69%vfa =86%F1t/MPa33994222F1c/MPa18001800F2t/MPa43.7444.08F2c/MPa91.0386.34Fls/MPa73.5780.60

表5 纖維束的斷裂能參數(shù)Table 5 Fracture energy parameters of fiber bundles

3.2 軸向纖維束的剛度折減

如2.1節(jié)所討論，實(shí)際的二維三軸編織復(fù)合材料試樣，由于偏軸纖維束的擠壓，會(huì)導(dǎo)致軸向纖維束產(chǎn)生一定程度的起伏，如圖4(a)[29]所示。這些纖維束的起伏波動(dòng)會(huì)影響整個(gè)試樣件的等效模量，也會(huì)對(duì)材料的壓縮強(qiáng)度造成影響。因此，本文引入了波動(dòng)幅度參量，對(duì)纖維束的剛度進(jìn)行折減，以考慮纖維束波動(dòng)對(duì)宏觀壓縮性能的影響。

圖4 軸向纖維束波動(dòng)的截面照片和等效圖[29]Fig.4 Microscope image and representation of axial fiber bundle undulation [29]

如圖4(b)所示，軸向纖維束總體延伸方向?yàn)閥軸，垂直于y軸方向?yàn)閦軸，據(jù)此定義總體坐標(biāo)系；沿著軸向纖維束的中軸線方向?yàn)?軸，垂直2軸方向?yàn)?軸，據(jù)此建立局部坐標(biāo)系。首先，求出軸向纖維束中軸線上每一點(diǎn)的局部剛度矩陣Clocal。假設(shè)軸向纖維束中心波動(dòng)符合余弦函數(shù)，每個(gè)單胞內(nèi)有一個(gè)完整的余弦波長(zhǎng)，則軸向纖維束中軸線在總體坐標(biāo)系上的表達(dá)式為

(16)

(17)

同時(shí)，引入軸向纖維束波動(dòng)系數(shù)r:

(18)

據(jù)此，可以計(jì)算纖維束波動(dòng)所造成的等效剛度折減，進(jìn)而可分析其對(duì)壓縮性能的影響。

3.3 界面損傷模型

纖維束-纖維束界面和纖維束-純基體界面的失效行為是編織復(fù)合材料的主要損傷模式之一[29]。目前主要有3種分層模擬方法：基于失效準(zhǔn)則模型、斷裂力學(xué)方法和界面單元建模方法。第1種方法是把分層作為失效準(zhǔn)則中的一種失效模式，如Hou等[23]所采用的3D失效準(zhǔn)則，這種方法計(jì)算效率高，但分層界面不是單獨(dú)存在而且也沒有明確的建模。第2種方法，需要預(yù)先知道破壞的具體位置，并且對(duì)于三維問題，計(jì)算量很大。而最近開發(fā)的第3種方法已經(jīng)被廣泛地運(yùn)用于有限元分析中的界面單元，這種方法不需要知道初始裂紋的具體信息，能準(zhǔn)確地模擬裂紋萌生與裂紋擴(kuò)展。

為了模擬纖維束間的界面，本文應(yīng)用了厚度為10-4mm的內(nèi)聚力(Cohesive)單元，關(guān)于Cohesive單元的理論公式可參考ABAQUS幫助文件[30]及文獻(xiàn)[31]。本文采用了二次名義應(yīng)力準(zhǔn)則來判斷損傷的起始，其表達(dá)式為

(19)

(20)

表6 界面強(qiáng)度和界面韌性參數(shù)[17]

Table 6 Parameters for interface strength and fracture toughness[17]

參數(shù)數(shù)值t0n/MPa122t0s/MPa136t0t/MPa136Gcn/(J·mm-2)0.268Gcs/(J·mm-2)1.45Gct/(J·mm-2)1.45

4 結(jié)果分析

4.1 模型驗(yàn)證

本文通過對(duì)比仿真預(yù)測(cè)和試驗(yàn)測(cè)得的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。圖5(a)和圖5(b) 分別對(duì)比了軸向壓縮和橫向壓縮載荷下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，其中應(yīng)力為加載橫截面上的反作用力之和與初始橫截面面積的比值，應(yīng)變?yōu)榧虞d方向的伸長(zhǎng)量與初始長(zhǎng)度的比值。同時(shí)，通過0～0.5%應(yīng)變范圍內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變曲線的初始斜率可獲得等效模量。

圖5 仿真和試驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線比較Fig.5 Comparison of numerically predicted and experimentally measured stress-strain curves

在較低的應(yīng)變水平(<0.5%)下，軸向壓縮與橫向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線基本保持線性，無明顯損傷行為，且仿真與試驗(yàn)曲線擬合得很好。隨著加載的進(jìn)行，圖5(a)所示軸向壓縮試驗(yàn)曲線在后半段出現(xiàn)了較大的非線性，而仿真曲線則無顯著剛度退化。這是因?yàn)?，由于成型工藝的影響，?shí)際試樣中軸向纖維束會(huì)受到不同層纖維束的擠壓，會(huì)不可避免地產(chǎn)生纖維束波動(dòng)，而在軸向壓縮載荷下纖維束波動(dòng)會(huì)變得更為顯著，導(dǎo)致屈曲和嚴(yán)重的分層失效。Littell[4]在其軸向壓縮試驗(yàn)中也觀察到纖維束出現(xiàn)屈曲現(xiàn)象，Sun等[32]從微觀角度討論了在壓縮載荷下纖維絲的屈曲響應(yīng)。另一方面，由于本文細(xì)觀模型的局限性，軸向纖維束被認(rèn)為呈直線狀，難以反映纖維束彎曲所導(dǎo)致的非線性應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，因而形成了試驗(yàn)與仿真曲線在非線性段的差異性。

圖5(b)所示的橫向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線整體吻合情況優(yōu)異。與軸向壓縮相比，在橫向壓縮載荷時(shí)，軸向纖維束由于與加載方向垂直，承擔(dān)載荷相對(duì)較少，因此軸向纖維束起伏的影響也相對(duì)較小，宏觀應(yīng)力-應(yīng)變曲線的非線性也相對(duì)較弱。圖5(b)中，在εx=0.71%時(shí)，仿真模型預(yù)測(cè)偏軸纖維束交錯(cuò)區(qū)域發(fā)生纖維束基體壓縮損傷，導(dǎo)致試樣等效剛度略微下降,但纖維束中并未出現(xiàn)纖維損傷，模型仍能繼續(xù)承載直至出現(xiàn)纖維斷裂失效。

表7對(duì)比了軸向壓縮和橫向壓縮兩種載荷下，試驗(yàn)測(cè)試及仿真預(yù)測(cè)的初始模量和壓縮強(qiáng)度。Ey和Ex分別表示沿著軸向和橫向的初始模量，σy和σx表示沿著軸向和橫向的壓縮強(qiáng)度。橫向壓縮載荷下，仿真和試驗(yàn)的Ex和σx十分接近，誤差在3%以內(nèi)；軸向壓縮載荷下，仿真和試驗(yàn)的Ey十分接近，σy相差較大，但誤差在10%以內(nèi)。通過圖5和表7，可以認(rèn)為本文所建立的細(xì)觀有限元模型的準(zhǔn)確度高，可應(yīng)用于材料內(nèi)部的損傷機(jī)制分析。

表7 仿真和試驗(yàn)的初始模量和壓縮強(qiáng)度對(duì)比

Table 7 Comparison between numerical predicted and experimental measured initial tangent modulus and compression strength

方法Ey/GPaσy/MPaEx/GPaσx/MPa仿真41.92351.9742.06308.89試驗(yàn)42.88327.3442.75306.63誤差/%2.247.521.610.74

4.2 損傷分析

細(xì)觀有限元模型的優(yōu)點(diǎn)是能清晰地表征材料內(nèi)部各組分(包括纖維束、基體和界面)損傷起始和演化的過程，通過有限元軟件后處理模塊，可得到不同載荷水平下局部應(yīng)力、應(yīng)變和損傷等力學(xué)響應(yīng)的云圖，進(jìn)而可對(duì)材料的失效機(jī)理進(jìn)行詳細(xì)的分析。

4.2.1 軸向壓縮

圖6顯示了纖維束中纖維、基體和纖維束間界面以及層間界面的損傷情況。損傷程度可根據(jù)顏色來區(qū)分，損傷數(shù)值0表示沒有損傷，1表示已經(jīng)完全失效，0到1之間是損傷積累階段。為了研究漸進(jìn)損傷機(jī)制，對(duì)3個(gè)典型全局應(yīng)變下的損傷情況進(jìn)行了對(duì)比分析。當(dāng)應(yīng)變?chǔ)舮=0.74%時(shí)，偏軸纖維束在交錯(cuò)互鎖區(qū)域率先出現(xiàn)基體壓縮損傷，仿真應(yīng)力-應(yīng)變曲線開始出現(xiàn)非線性；同時(shí)，在同一區(qū)域纖維束-纖維束間有少量的Cohesive單元也出現(xiàn)損傷。為了研究相應(yīng)的損傷機(jī)理，取出現(xiàn)損傷前的應(yīng)力狀態(tài)來分析，圖7顯示了在軸向壓縮應(yīng)變?chǔ)舮=0.70%時(shí)，各纖維束的應(yīng)力云圖，包括σ11、σ22和σ12(1表示x方向，2表示y方向)。在圖7中，偏軸纖維束在交織互鎖區(qū)域受壓縮載荷時(shí)收縮方向不同，會(huì)存在比較大的面內(nèi)切應(yīng)力σ12；同時(shí)因?yàn)榇藚^(qū)域沒有軸向纖維束，載荷主要由偏軸纖維束傳遞，所以偏軸纖維束在此處的σ22會(huì)相比較于別處稍大。兩者共同作用下，模型中此區(qū)域會(huì)率先出現(xiàn)上述兩種損傷。當(dāng)εy=0.82%時(shí)，在偏軸纖維束交織互鎖區(qū)域，纖維束基體壓縮

圖6 軸向壓縮損傷分布云圖Fig.6 Damage distribution contours of axial compression simulation

圖7 軸向壓縮應(yīng)力分布云圖(εy=0.70%)Fig.7 Stress distribution contours of axial compression simulation (εy=0.70%)

損傷和層內(nèi)Cohesive單元損傷逐漸積累并沿橫向擴(kuò)展。

在應(yīng)變?chǔ)舮=0.90%時(shí)，軸向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線(見圖5(a))開始卸載，由圖6可見軸向纖維束出現(xiàn)纖維壓縮損傷，但偏軸纖維束并未出現(xiàn)纖維壓縮損傷。如圖7所示，在軸向壓縮載荷下，軸向纖維束所承受的應(yīng)力σ11是偏軸纖維束應(yīng)力σ11的3倍左右，意味著軸向纖維束是主要承載組分。因此，一旦軸向纖維束出現(xiàn)纖維壓縮破壞，編織復(fù)合材料試樣整體承載能力會(huì)快速退化導(dǎo)致試樣斷裂和卸載。由圖6可見，在εy=0.90% 時(shí)，軸向纖維束出現(xiàn)纖維壓縮失效的區(qū)域，也出現(xiàn)了基體壓縮破壞以及層內(nèi)和層間Cohesive單元損傷積累，這是由于此處纖維束壓縮破壞后，局部剛度降低，而出現(xiàn)了應(yīng)力集中和損傷的快速擴(kuò)展。

4.2.2 橫向壓縮

與軸向壓縮相比，橫向壓縮的損傷過程和破壞行為更為復(fù)雜，其主要破壞形式是軸向纖維束的基體壓縮失效和偏軸纖維束的纖維壓縮失效，同時(shí)在模型中觀察到了由于自由邊效應(yīng)造成的邊界區(qū)域損傷。圖8顯示了橫向壓縮載荷下纖維束中纖維、基體和纖維束間界面以及層間界面的損傷情況。

在應(yīng)變?chǔ)舩=0.50%時(shí)，圖9顯示了對(duì)應(yīng)橫向壓縮載荷下局部應(yīng)力云圖。通過比較圖9中軸向纖維束的σ11和σ22，可以觀察到由于軸向纖維束與加載方向垂直，它的切向方向(垂直纖維束方向)會(huì)受到較大的正應(yīng)力；同時(shí)軸向纖維束在與偏軸纖維束接觸區(qū)域會(huì)受到后者施加的應(yīng)力。在兩者共同作用下，應(yīng)變?chǔ)舩=0.53%時(shí)，圖8中軸向纖維束在此區(qū)域出現(xiàn)了大量的基體壓縮損傷，這給圖5(b)橫向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線帶來非線性，但是軸向纖維束與加載方向垂直，沒有貫穿加載方向，不是承擔(dān)載荷的主要組分，其損傷不會(huì)導(dǎo)致纖維束最終的破壞。由于自由邊效應(yīng)的影響，觀察到在圖9中偏軸纖維束在自由邊附近的σ11、σ22和σ12應(yīng)力值相比于其他區(qū)域較大，因此在圖8中觀察到偏軸纖維束在自由邊附近率先出現(xiàn)了基體壓縮損傷。

隨著壓縮載荷的持續(xù)增加，偏軸纖維束基體壓縮損傷沿著纖維束方向不斷擴(kuò)展，對(duì)應(yīng)圖5(b)中橫向壓縮的應(yīng)力-應(yīng)變曲線開始出現(xiàn)一定程度剛度下降。此外，由于自由邊效應(yīng)的影響，在應(yīng)變?chǔ)舩=0.71%時(shí)，圖8中自由邊附近的層間Cohesive單元也開始出現(xiàn)損傷。同時(shí)，偏軸纖維束在交織區(qū)域因?yàn)槭艿綁嚎s載荷時(shí)收縮方向不一致，這一區(qū)域?qū)觾?nèi)Cohesive單元進(jìn)而開始進(jìn)入損傷積累階段，并沿著這一區(qū)域不斷擴(kuò)展。

在應(yīng)變?chǔ)舩=0.89%時(shí)，偏軸纖維束開始出現(xiàn)纖維壓縮損傷，同時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線開始卸載。與軸向壓縮時(shí)的受力情況不同，偏軸纖維束是受橫向壓縮載荷時(shí)的關(guān)鍵組分，此外，由于與加載方向垂直，軸向纖維束中并沒有出現(xiàn)纖維失效，因此偏軸纖維束的纖維壓縮破壞對(duì)應(yīng)復(fù)合材料試樣的最終壓縮失效。另一方面，層內(nèi)和層間Cohesive單元的損傷行為在區(qū)域和擴(kuò)展路徑上，也明顯的顯現(xiàn)出與偏軸纖維束損傷情況的相關(guān)性，如圖8所示。

圖8 橫向壓縮損傷分布云圖Fig.8 Damage distribution contours of transverse compression simulation

4.3 軸向纖維束波動(dòng)幅度對(duì)壓縮剛度的影響

為了進(jìn)一步地研究纖維束波動(dòng)對(duì)壓縮性能的影響，本文通過在細(xì)觀有限元模型中考慮波動(dòng)所導(dǎo)致的纖維束剛度折減，研究了波動(dòng)系數(shù)r對(duì)宏觀力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。

圖10(a)對(duì)比了不同波動(dòng)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的軸向壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線。圖10(b)展示了軸向纖維束的軸向(沿著纖維束方向)模量E11、編織復(fù)合材料的軸向初始模量Ey和軸向壓縮強(qiáng)度σy隨著r的變化趨勢(shì)圖。通過與試驗(yàn)測(cè)得的模量對(duì)比，本文選取軸向纖維束波動(dòng)系數(shù)r=0.05。

從圖10(b)中可以看出，Ey和E11隨著r值的增加呈現(xiàn)線性的下降趨勢(shì)，這表明軸向纖維束的波動(dòng)對(duì)材料軸向壓縮剛度有著顯著的影響，在仿真模擬和設(shè)計(jì)分析中需要予以考慮。另一方面，由圖10(a)和圖10(b)可見，隨著r值的增加，盡管曲線斜率不斷下降，但強(qiáng)度值變化較小，這是因?yàn)榇四Ｐ褪遣捎没趹?yīng)力的失效判據(jù)，而纖維束波動(dòng)并不會(huì)直接影響纖維束本身的強(qiáng)度值，所以試樣能夠承受的破壞載荷變化不大。仿真結(jié)果中強(qiáng)度的略微變化主要是由于纖維束波動(dòng)引起的剛度變化，以及其所造成的整體應(yīng)力應(yīng)變分布的差異性。在橫向壓縮過程中，軸向纖維束不是主要承載組分，因此軸向纖維束的波動(dòng)對(duì)橫向壓縮模量幾乎沒有影響。

圖9 橫向壓縮應(yīng)力分布云圖(εx=0.50%)Fig.9 Stress distribution contours of transverse compression simulation (εx=0.50%)

圖10 波動(dòng)系數(shù)對(duì)軸向壓縮性能的影響Fig.10 Influence of undulation coefficient on axial compression performance

4.4 纖維束壓縮強(qiáng)度對(duì)壓縮損傷的影響

4.3節(jié)分析了軸向纖維束波動(dòng)所導(dǎo)致的剛度折減對(duì)二維三軸編織復(fù)合材料壓縮性能的影響，而未考慮纖維束強(qiáng)度的影響。目前，尚無完善的關(guān)于纖維束壓縮強(qiáng)度的理論預(yù)測(cè)和測(cè)試方法，本文所選取的壓縮強(qiáng)度參數(shù)通過模型校正獲得。軸向和偏軸纖維束軸向壓縮強(qiáng)度F1c取1 400、1 600、1 800、2 000、2 200 MPa 這5個(gè)數(shù)值，圖11中展示了軸向和偏軸纖維束的F1c分別與編織復(fù)合材料軸向和橫向壓縮響應(yīng)的相關(guān)性。

從圖11中可以看出，軸向壓縮強(qiáng)度σy與軸向纖維束的F1c呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，在一定范圍內(nèi)，偏軸纖維束的F1c對(duì)軸向壓縮強(qiáng)度σy沒有影響；同時(shí)，橫向壓縮強(qiáng)度σx與偏軸纖維束的F1c呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，在一定范圍內(nèi)，軸向纖維束的F1c對(duì)橫向壓縮強(qiáng)度σx沒有影響，這進(jìn)一步說明了軸向壓縮破壞是由軸向纖維束纖維壓縮失效主導(dǎo)，橫向壓縮破壞由偏軸纖維束纖維壓縮破壞導(dǎo)致。通過與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比校正，本文模型里軸向和偏軸纖維束的F1c都取為1 800 MPa。

圖11 纖維束強(qiáng)度F1c對(duì)壓縮性能的影響Fig.11 Influence of fiber bundle strength F1c on compression performance

5 結(jié) 論

1) 本文建立的二維三軸編織復(fù)合材料的細(xì)觀有限元模型，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)了該材料在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮載荷下的力學(xué)響應(yīng)和漸進(jìn)損傷失效過程。

2) 二維三軸編織復(fù)合材料軸向壓縮的破壞是由軸向纖維束的纖維壓縮失效主導(dǎo)；橫向壓縮破壞則由偏軸纖維束的纖維壓縮失效引起。

3) 在軸向壓縮過程中，分層現(xiàn)象不明顯，而在橫向壓縮過程中，有著明顯的分層現(xiàn)象以及自由邊效應(yīng)。

4) 軸向纖維束的波動(dòng)對(duì)軸向壓縮性能有著明顯的影響。通過數(shù)值參數(shù)分析，本模型中軸向纖維束波動(dòng)系數(shù)取0.05，纖維束壓縮強(qiáng)度為1 800 MPa。