共因失效相關同級葉片系統可靠性分析

李洪偉，陳慶貴，*，徐筱李，洪杰

1.海軍航空大學 青島校區，青島 266041 2.北京航空航天大學 能源與動力工程學院， 北京 100083

航空發動機葉片結構復雜，在高壓、高轉速、多載荷的環境下工作，不僅要求其輕質高效，還要求具有長壽命和極高的可靠性、安全性[1]。航空發動機的葉片數量較多，發生故障的次數也較多。據統計，從1975-2002年，某型發動機共發生69起葉片故障[2]。由此可見，葉片的可靠性對于發動機的整機可靠性具有重要影響，有必要結合其特點進行可靠性分析。

航空發動機同級葉片往往具有相同的尺寸、形狀、材料、工藝、裝配方式等結構、裝配特征，同時具有相同的轉速和溫度等載荷特征。因此，同級輪盤上不同葉片之間一般具有相同的失效模式，且葉片間的可靠度也具有一定的相關性。白斌[3]和張春宜[4]等用極值響應面與蒙特卡羅法對葉盤結構的單扇區以及單個葉片進行了應力、總變形的可靠度分析，但沒有考慮葉片之間的相關性。航空發動機采用的經典可靠性分配模型假設各個構件的可靠度是相互獨立的，將同級每個葉片可靠度的乘積作為該級葉片的總可靠度[4]，這樣會導致葉片分配的可靠指標過高，難以指導實際的設計制造。一些學者已注意到具有同一失效模式的多個相同結構的可靠度的綜合問題，陸山等[5-6]提出了具有強度相關性的同級葉片系統僅考慮強度失效時的可靠度區間估計方法。謝里陽[7]和王正[8-11]等考慮系統中各零件之間存在的相關性，引入條件概率建立了一種失效模式下考慮相關性的系統可靠性模型。

航空發動機同一個葉片上可以存在多種失效模式，例如低周疲勞斷裂、腐蝕、變形等，由于物理上的不可分割，同一個葉片上的不同失效模式之間具有一定的相關性。安偉光等[12]采用概率網絡評估(Probabilistic Network Evaluation Technique,PNET)法計算得到考慮失效模式間相關性的桁架結構系統的可靠度，但PNET法在經驗缺乏的情況下精度不高。Jimenezrodriguez和Sitar[13]運用蒙特卡羅法計算了多失效模式相關的巖質邊坡系統可靠度，但用蒙特卡羅法解決多構件多失效模式的問題時計算效率不高。

本文借鑒上述研究，針對目前方法存在的不足，建立了既考慮構件間相關性，又考慮同一構件內不同失效模式間相關性的多失效模式結構系統可靠性模型，并采用近似數值分析法對航空發動機同級葉片系統進行了可靠性分析。

1 一般失效相關系統可靠性模型

1.1 失效模式間的相關系數

相關系數可以反映2個隨機變量之間的相關程度，失效模式i、j的功能函數Zi、Zj可以表示為

(1)

式中：g為失效模式；xi(i=1,2,…,n)表示隨機變量。

失效模式的功能函數值Z也是隨機變量，它們的相關系數rij為

(2)

式中:

式中：σxk和σxl為xk和xl的標準差；rxkxl為隨機變量xk和xl的線性相關系數；P*為驗算點；rij為i、j兩失效模式間的相關系數。

1.2 近似數值分析法

近似數值分析法采用了條件概率原理，計算簡便，精度滿足工程要求，可靠度計算公式為

(3)

式中:

P′f1=Pf1

(4)

其中:βj為結構可靠指標；Pfi為失效概率;m為失效模式個數。

(5)

近似數值分析法的計算步驟可歸納為:

1) 確定航空發動機結構系統的主要失效模式。

2) 計算每個主要失效模式的結構可靠指標βj和失效概率Pfi。

3) 評估或者計算各個主要失效模式之間的相關系數。

4) 從大到小排列失效模式的失效概率，使Pf1≥Pf2≥…≥Pfm。

5) 對于每一個i，由式(5)計算每一個j(j

6) 由式(3)計算R。

2 共因失效相關系統可靠性模型

航空發動機結構系統具有零件個數多、結構周期對稱等特點，因此，航空發動機結構系統中的很多失效都是共因失效。針對航空發動機中存在的共因失效相關的情況，在文獻[7-11]提出方法的基礎上進行擴充改進，建立適應性更廣的航空發動機結構系統共因失效相關可靠性模型。

2.1 廣義強度相互獨立

對于具有m個失效模式的結構系統，假設各失效模式都受同一廣義載荷(以下簡稱“載荷”)作用，如果載荷L是定值，那么各失效模式的可靠度都是載荷造成的廣義應力小于廣義強度的概率。對于失效模式i，其可靠度Ri可以表示為

i=1,2,…,m

(6)

式中：m為失效模式的總數；δi為第i個失效模式的廣義強度；fδi(δi)為δi的概率密度函數；si(L)為第i個失效模式中由于載荷L所產生的應力。

航空發動機結構系統中不同構件的廣義強度有時是相互獨立的，例如渦輪的廣義強度和壓氣機的廣義強度就是獨立的。因此，載荷等于L時，考慮多失效模式共因失效的航空發動機結構系統可靠度為

(7)

式中：Fδi(si(L))為δi的累積分布函數。

設載荷L的概率密度函數是fL(L)，由全概率公式可以得到

(8)

式(8)即為考慮共同載荷造成的共因失效相關時，而且廣義強度相互獨立時，具有多種失效模式的結構系統的可靠性模型，在形式上表現為零部件所受的外載荷L與零部件各失效模式所對應的強度指標δi(i=1,2,…,m)之間的干涉。該方法沒有作獨立性假設，不需要依賴于零部件各失效模式之間的相關性。

對航空發動機來說，一般失效模式的功能函數會包含超過2個的參數，不僅有強度、載荷參數，還可能有材料、結構等參數，即難以寫為式(3)的載荷-強度的簡單形式。對于這種情況，可以采用多重積分的思想，設xj(j=1,2,…,n)是載荷、結構、材料參數，δi(i=1,2,…,m)是強度參數，si(x1,x2,…,xn)表示在x1,x2,…,xn作用下的對應失效模式i的應力，則可靠度表示為

(9)

2.2 廣義強度獨立同分布

對任意一臺航空發動機進行可靠性分析時，需要用到材料參數、幾何參數、載荷參數、裝配參數，每一次分析都相當于從參數的母體(全部發動機的所有參數集合)中隨機抽取子樣。對同一參數，假設母體數量較多，參數子樣滿足獨立同分布性質，為簡單隨機子樣。例如，某發動機同級葉片的強度就是簡單隨機子樣。

航空發動機中有很多旋轉周期對稱結構系統，從統計抽樣角度看，一個旋轉周期對稱結構的對稱單元系統與所有旋轉周期對稱結構的對稱單元系統之間的關系就是一組簡單隨機子樣相對于母體的關系，每個對稱單元強度的概率密度分布與所有對稱單元強度的概率密度分布相同。從結構角度看，旋轉周期對稱結構每個對稱單元上都有相同的危險點，都可能成為實際的失效點。為簡化考慮，假設對稱單元承受的載荷都是相同的，那么每個旋轉周期對稱結構中強度最小的對稱單元的可靠度就是這個旋轉周期對稱結構在該載荷下的可靠度。因此，可以用對稱單元的強度最小值作為該旋轉周期結構的強度。

設旋轉周期對稱結構系統具有n個對稱單元，對稱單元強度的概率密度分布函數和累積分布函數分別為fδi(δ)和Fδi(δ)。由上述分析可知，旋轉周期對稱結構系統強度即為n個對稱單元強度的最小順序統計量，旋轉周期對稱結構系統強度的累積分布函數可以表示為

(10)

概率密度函數可以表示為

(11)

式(10)和式(11)所示的旋轉周期對稱結構系統強度概率分布函數中含有對稱單元數n，可見對稱單元個數對旋轉周期對稱結構系統的可靠度是有影響的。根據應力-強度干涉模型可以得到旋轉對稱結構零部件的可靠性模型為

(12)

式中：n為該旋轉對稱結構系統所具有的對稱單元數；fδi(δ)和Fδi(δ)分別為對稱單元的強度概率密度分布和累積分布；fs(s)為應力s的概率密度分布。

寫成載荷形式為

(13)

式中：si(L)為載荷L作用在對稱單元i上的應力；fL(L)為載荷L的概率密度分布。

對于有多個設計參數的情況，設xj(j=1,2,…,l)是載荷、結構、材料參數，δi(i=1,2,…,m)是獨立同分布的強度參數，si(x1,x2,…,xl)表示在x1,x2,…,xl作用下的對應失效模式i的應力，則可靠度表示為

[1-Fδi(si(x1,x2,…,xl))]ndxl…dx2dx1

(14)

2.3 旋轉周期對稱結構系統廣義強度相關

上述模型在符合條件的情況下是不依賴于相關系數且沒有假設誤差的，但是只能用于廣義強度相互獨立的情況。航空發動機中部分失效模式的廣義強度是有相關性的，例如同一個構件的靜強度和疲勞強度之間是相關的，這種情況可以采用近似數值分析法與上述方法相結合。

特殊地，對于旋轉周期對稱結構系統，設旋轉周期對稱結構有n個周期對稱結構單元，每個周期對稱結構單元都具有k個失效模式，考慮以下情況：同一個周期對稱結構單元中的k個失效模式的廣義強度之間具有相關性rij(i,j=1,2,…,k)，不同周期對稱結構單元中的失效模式廣義強度之間是獨立同分布的。在確定性載荷L作用下，各周期對稱結構單元的可靠度不相關，因此結構系統的可靠度為

(15)

式中：R(L)為載荷L為確定值時多失效模式結構系統的可靠度；Rp(L)是載荷L為確定值時單個周期對稱結構單元多失效模式的可靠度；P′fi(L)為載荷L為確定值時失效模式i的等效失效概率[14]，可以通過式(16)求得

i=2,3,…,m

(16)

式中：βi為失效模式i的結構可靠指標；Pfi(L)為載荷L為確定值時失效模式i的失效概率。

設L的概率密度函數為fL(L)，根據全概率公式，多失效模式結構系統的可靠度為

(17)

3 同級葉片系統的失效相關性

航空發動機同級葉片系統的失效相關性主要體現在2個方面：一是同級不同葉片的同類型失效之間具有相關性，且認為兩兩葉片間同類型失效模式相關系數相等。例如同級1號葉片和2號葉片的靜強度失效之間具有相關性，即：rgagb=rgcgd≠0(a,b,c,d∈[1,N]且a≠b,c≠d)，其中，g代表一種失效模式，a、b、c、d代表葉片編號，N為葉片總數，r為失效相關系數。二是同一葉片的不同類型失效之間具有相關性。例如同一葉片靜強度失效和變形失效具有相關性，即：rg1g2≠0。g1代表一種失效模式，g2代表另一種失效模式，r為失效相關系數。

4 多失效模式同級葉片系統可靠性

4.1 結構分析

某型航空發動機第二級壓氣機葉盤系統有25個葉片，將其看作由25個對稱單元組成的旋轉周期對稱結構系統進行可靠性分析。

為簡化考慮，設隨機輸入變量有轉速ω、密度ρ、彈性模量E、強度極限δ和允許徑向變形間隙Δ，隨機變量的概率分布特征如表1所示。

表1 壓氣機葉片隨機變量分布特征Table 1 Distribution characteristics of random variables for compressor blades

4.2 失效分析

4.2.1 有限元計算

取葉盤的1/25進行有限元計算，轉速、密度、彈性模量都取均值，得到葉片等效應力分布如圖1 所示，最大等效應力位于葉片根部，為763.2 MPa，小于強度極限1 000 MPa。徑向變形分布如圖2所示，最大徑向變形位于葉片外緣，為0.372 mm，沒有超過允許徑向變形值。

圖1 渦輪葉片等效應力分布Fig.1 Equivalent stress distribution of turbine blades

圖2 渦輪葉片徑向變形分布Fig.2 Radial deformation distribution of turbine blades

4.2.2 最大等效應力響應面

當轉速、密度、彈性模量服從表1中所示的正態分布且彼此獨立時，在ANSYS中進行120次抽樣計算，葉片根部最大應力值抽樣結果，均值、標準差隨抽樣次數的變化結果如圖3所示，結果顯示已基本收斂。

可以得到葉片根部最大等效應力的含交叉項二次響應面函數為

圖3 葉片最大等效應力ANSYS仿真結果Fig.3 ANSYS simulation results of blades’ maximum equivalent stress

ρs=4.4×109×ρ-20

ωs=5.1×10-3×ω-20

Es=2×10-4×E-20

式中：ρs、ωs、Es分別為歸一化的密度、轉速、彈性模量。葉片根部最大等效應力σmax為

(18)

式中：a1=30,a2=60,a3=-0.006,a4=0.001,a5=0.1,a6=0.003,a7=0.3,

a8=-0.03,a9=0.02。

4.2.3 最大徑向變形響應面

當轉速、密度、彈性模量服從表1中所示的正態分布且彼此獨立時，在ANSYS中進行80次抽樣計算，葉片外緣最大徑向變形值抽樣結果，均值、標準差隨抽樣次數的變化如圖4所示，結果顯示已基本收斂。

可以得到葉片外緣最大徑向變形的含交叉項二次響應面函數為

ρs=4.4×109×ρ-20

ωs=5.1×10-3×ω-20

Es=2.0×10-4×E-20

(19)

式中：Uxmax為葉片外緣最大徑向變形值;b1=0.3,b2=0.01,b3=0.03,b4=-0.01,b5=-1×10-5,b6=6×10-4,b7=7×10-4,b8=1×10-3,b9=-7×10-4。

圖4 葉片最大徑向變形ANSYS仿真結果Fig.4 ANSYS simulation results of blades’ maximum radial deformation

4.3 可靠度計算

4.3.1 葉片靜強度不足失效

要計算單一葉片靜強度不足失效的可靠度，可以直接用ANSYS進行蒙特卡羅法仿真抽樣，由于計算量比較大，本文采用由ANSYS得到的葉片根部最大等效應力響應函數，基于MATLAB編程進行可靠度計算。設該級壓氣機25 個葉片的轉速是相等的，密度、彈性模量、強度服從各自的母體分布，而且由簡單字樣的概念可知，25 個葉片各自的密度、彈性模量、強度可以看作獨立同分布的。由于轉速相等，因此25 個葉片靜強度失效之間是相關的，采用考慮相關性的蒙特卡羅法、不考慮相關性的可靠度計算方法以及近似數值分析法進行可靠度計算。不同葉片數目下葉片靜強度不足失效可靠度的計算結果如圖5所示，3種方法計算的25 個葉片靜強度不足失效可靠度的對比如表2所示。

可見，如果不考慮葉片靜強度失效之間的相關性，結構系統可靠度將過于保守；近似數值分析法的可靠度也是偏保守的，但是與蒙特卡羅法相比誤差很小。兩葉片靜強度失效之間的相關系數為0.43。

圖5 不同葉片數目下的靜強度不足失效可靠度Fig.5 Reliability of insufficient static strength failure with different numbers of blade

表2 3種方法計算的靜強度不足失效可靠度比較

Table 2 Reliability comparison of relative error for insufficient static strength failure with three methods

方法可靠度誤差/%蒙特卡羅法/106樣本數0.94520不考慮相關性0.9151-3.18近似數值分析法0.9430-0.23

4.3.2 葉片外緣變形碰摩失效

設該級壓氣機25 個葉片的轉速、允許徑向變形間隙是相等的，密度、彈性模量各自服從各自的母體分布，而且由簡單字樣的概念可知，25個葉片各自的密度、彈性模量可以看作獨立同分布的。由于轉速、允許徑向變形間隙相等，因此25 個葉片靜強度失效之間是相關的，采用考慮相關性的蒙特卡羅法、不考慮相關性的可靠度計算方法以及近似數值分析法進行可靠度計算。不同葉片數目下葉片外緣變形碰摩失效可靠度的計算結果如圖6所示。3種方法計算的25個葉片外緣變形碰摩失效可靠度的對比結果如表3所示。

可見，如果不考慮葉片徑向變形超過允許間隙失效之間的相關性，結構系統可靠度將過于保守；近似數值分析法與蒙特卡羅法相比誤差很小。由于兩葉片間參數相關程度較大，包含了2個完全相關的參數，因此失效模式之間的相關性也較大，相關系數為0.990 8。

圖6 不同葉片數目下的葉片外緣變形碰摩失效可靠度Fig.6 Reliability of blade outer margin deformation rub failure with different numbers of blade

表3 3種方法計算的葉片外緣變形碰摩失效可靠度比較

Table 3 Reliability comparison of relative error for blade outer margin deformation rub failure with three methods

方法可靠度誤差/%蒙特卡羅法/106樣本數0.99040不考慮相關性0.8776-11.39近似數值分析法0.99350.31

4.3.3 考慮兩種失效模式

設該級壓氣機25 個葉片的轉速、允許徑向變形間隙是相等的，密度、彈性模量、強度各自服從各自的母體分布，而且由簡單子樣的概念可知，25個 葉片各自的密度、彈性模量、強度可以看作獨立同分布的。由于轉速、允許徑向變形間隙相等，因此25 個葉片靜強度不足失效、葉片外緣徑向變形碰摩失效之間是相關的，采用考慮相關性的蒙特卡羅法、不考慮相關性的可靠度計算方法以及近似數值分析法進行可靠度計算。不同葉片數目下考慮葉片靜強度不足失效和葉片外緣變形碰摩失效時間的可靠度計算結果如圖7所示。3種方法計算的25個葉片靜強度不足失效和葉片外緣變形碰摩失效相關的可靠度對比結果如表4所示。

圖7 不同葉片數目下考慮兩種失效模式的可靠度Fig.7 Reliability of two failure modes with different numbers of blade

表4 3種方法計算的兩種失效模式相關時的可靠度比較

Table 4 Reliability comparison of relative error for two relative failure modes with three methods

方法可靠度誤差/%蒙特卡羅法/106樣本數0.93740不考慮相關性0.8082-13.78近似數值分析法0.9369-0.0500

可見，如果不考慮葉片靜強度不足失效、葉片徑向變形碰摩失效之間的相關性，結構系統可靠度將過于保守；近似數值分析法雖然計算過程略復雜，但是與蒙特卡羅法相比誤差較小，僅為-0.05%。

5 結 論

本文研究建立了航空發動機同級葉片共因失效相關可靠性模型，并采用蒙特卡羅法、不考慮相關性的計算方法、近似數值分析法對某型航空發動機的壓氣機葉盤系統進行了可靠度計算。結果表明，由于葉片間的轉速、葉片間最大允許徑向變形間隙均存在相關性，隨著葉片數量的增多，葉片靜強度不足失效可靠度、葉片外緣變形碰摩失效可靠度、考慮葉片靜強度不足失效和葉片外緣變形碰摩失效時的可靠度均有所下降。如果不考慮葉片的相關性，得到的可靠度過于保守；考慮葉片間的相關性時，近似數值分析法得到的可靠度與蒙特卡羅法計算的可靠度相比誤差較小且能大大減少計算量。