核心素養視角下的絕對值不等式的復習策略

葉丹

（福州第四十中學，福建 福州 350007）

一、考點分析，明確絕對值不等式模塊的復習方向

從福建卷到全國卷,理科數學的選考從矩陣與變換、坐標系與參數方程、不等式選講中的三選二，前期是改為幾何證明選講、坐標系與參數方程、不等式選講中的三選一，由于不等式選考常考察運用柯西不等式、均值定理證明不等式，因此在高三總復習中我校高三集備組統一采取回避不等式選考的方式。2017年全國卷選考調整為從坐標系與參數方程、不等式選講中二選一，而且縱觀近三年的全國卷的不等式選考的試題，考察知識點多為絕對值不等式的解法及運用。近三年全國卷的不等式選考的試題考察知識點統計如下：（見表1）

表1 近三年全國卷的不等式考點

針對以上統計結果，并結合對考題的難度分析，我校高三數學一輪復習調整策略，在必修五不等式的專題復習中加入選考4-5不等式選講中的絕對值不等式的復習，并根據對考題的研究，從幾種熱門考點由易到難展開復習。

二、夯實基礎，積累絕對值不等式解題方法

絕對值不等式的基礎要求是掌握絕對值不等式的求解，難度較低，但仍有部分學生易出現計算錯誤。美國數學家哈爾莫斯：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟。”高三的復習課更是離不開解題能力的訓練，解題能力訓練的第一層次：利用通性通法，尋求題目的一種解法并得到正確的結果。從學生掌握知識的結構和認識問題的規律來說，首先是掌握解決這一類問題的方法，而不僅僅是解決其中某個問題的特殊方法。只有掌握了最通用的方法，才能達到通一法而通一類的效果。解絕對值不等式的題目關鍵是如何去掉絕對值符號，轉化絕對值不等式為不等式，通法為零點分段法。

例1.解不等式： |x-2+|+|x-4|≤3.

解法一：（通法--零點分段法）將x的解分x≥4,2≤x＜4,x＜2三種情況討論，得不等式的解集為

【注釋】此解法易出現由于符號化簡錯誤，要強調檢驗的方法，解集的兩個端點值和即為方程的解，可代入檢驗。

解題能力訓練的第二層次：一題多解，即在通性通法的基礎上，尋求其他更簡捷更巧妙的解法。將不等式的兩側分別看作兩個函數，求兩個圖像的交點，結合圖像得到不等式的解集，這種方法稱為函數圖像法。

解法二：（函數圖像法）分三段作出函數的圖象(如圖1所示)

圖1

【注釋】解法三運用初中的絕對值定義，解法更直觀簡潔，可訓練學生的直觀想象能力，但多數學生在理解和運用上反而有一定難度，在文字描述上更是不知如何下筆，因此在平時的解題中多選用零點分段法或函數圖像法。

三、建模訓練，提升絕對值不等式解題能力

解題能力訓練的第三層次：進行一題多變的訓練，改變條件的敘述方式，改變條件的題設背景,改變設問方式,或把相似的幾個題目組合改造,引申演變成新的問題。此環節要求教師跳進題海，準確把握絕對值不等式題型的變換特點，并具備對一些原題進行改編的能力。高質量、輕負擔是教師努力的目標，提高學習效率最終要落實在課堂45分鐘，復習課不能演變成講評課，應精選例題，充分挖掘題目的內涵與外延，給足學生的思考時間，務必引導學生逐步掌握如何將未知的問題轉化成可用已有的知識來解答，從而達到數學建模訓練的目的。

（一）已知絕對值不等式的解集求參數的值

【注釋】該例即為例題一的解法的逆用，解法主要參考一元二次不等式的解集與一元二次方程的解之間的關系，將不等關系轉化為等量關系，學生的易錯點是只代入一個解，而忽視這兩個解必須同時滿足。

（二）可利用化歸轉化分離參數的含參問題

不等式成立（恒成立）問題中的常用結論：

①若f(x)≥a恒成立，則f(x)min≥a；若f(x)≥a有解，則f(x)max≥a.

②若f(x)≤b恒成立，則f(x)max≤b；若f(x)≤b有解，則f(x)min≤b.

③若f(x)≥g(x)恒成立，則構造F(x)=f(x)-g(x)，F(x)min＞ 0.

將不等式的恒成立、有解等問題進行歸納，培養學生建模素養，理解各問題之間的關系，通過化歸轉化化難為易，積累解決此類問題的經驗與方法。

∴4≥m+7即m≤-3

解法二（函數法）：

函數h(x)在(-∞,-1)上單調遞減，在(3,+∞)上單調遞增.

∴h(x)min=4

∴4≥m+7即m≤-3

【注釋】解決恒成立問題的最常用方法是參數分離法，參數分離后將不等式問題轉化為函數的最值問題。本例求最值采用絕對值三角不等式和分段函數單調性兩種方法求最值，前者只針對兩個絕對值內的式子的和或差為常數才可運用，有局限性，后者可視為通法。

【注釋】將問題“存在x∈R使 | 2x+1|≤|x|+a成立”等價于“關于x的不等式 | 2x+1|≤| x|+a有解”，可轉化為“(|2x+1|-|x|)min≤a”解答。

【注釋】將問題“方程f(x)=a的解集為空集”轉化為“a?f(x)的值域”解答。

（三）不可參數分離的含參問題

參數與變量不易或無法分離時，可以利用數形結合、分類討論、函數與方程等思想方法輔助解題，引導學生對試題進行歸類總結。

解：因為 | 2x+2|-4≥4kx-5 解集為 R，所以|2x+2|≥kx-1在R上恒成立.

等價于函數y= | 2x+2|的圖像不在函數y=kx-1的下方，可得k∈[-1,2]

【注釋】不等式 | 2x+2|≥kx-1參數分離需要考慮x的符號不易操作，反而是利用不等式兩側的兩個函數圖像間的關系，將不等式問題轉化成直線間的斜率大小問題，難度大大降低。

例5.已知函數f(x)=-x2+ax+4,g(x)=若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范圍．

解：因為不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]

∴ 在［-1,1］上不等式 d(x)≥g(x)恒成立，即-x2+ax+4≥|x+1|+|x-1|恒成立

∴在［-1,1］上-x2+ax+4≥(x+1)-(x-1)，即-x2+ax+2≥0

Q函數h(x)=-x2+ax+2開口向下

∴在［-1,1］上h(x)min=h(-1)或h(1)

【注釋】將問題“不等式f(x)≥g(x)的解集包含［-1,1］”轉化為“在［-1,1］上不等式f(x)≥g(x)恒成立”解答。不等式-x2+ax+2≥0在［-1,1］上分離參數反而需要分類討論，直接運用二次函數的圖像單調性確定最值只在端點處產生。

對學生通性通法、一題多解、一題多變這三個層次的訓練，注重分類討論、參數分離、數形結合、化歸轉化等數學方法的滲透，不僅學活了知識，更重要的是完善了絕對值不等式的解題模式，達到鍛煉思維品質，培養創新思維能力的目的。