多股票組合有效前沿的確定
——利用Excel求解

(廣西大學商學院 廣西 南寧 530000)

一、引言

馬科維茨投資組合理論模型也稱為馬科維茨的均值-方差組合模型(Markowitz Mean-Variance Model),該理論模型為分散資產提供理論依據，使人們在理論上對分散資產可以有效降低風險形成系統化的認識，并且該理論模型已廣泛應用到各資產類型的投資組合最優配置分析活動中。在實際應用中，馬科維茨投資組合理論也存在一定的局限性。技術方面，馬科維茨投資組合模型需要大量的基本數據，并且由于模型的運用過程中所需要用到的協方差矩陣的計算工具多、計算量過大,導致期望的估計值存在誤差，會使得模型求解存在一些不穩定性，雖然如此，但在發達的金融市場中，該模型已被證明是行之有效的，馬科維茨投資組合理論在資產投資組合理論中仍占據重要位置。現本文以2001年到2016年189個月股票市場中的任意具有相關關系或無相關關系的10支股票的交易數據來分析了解多個股票如何進行有效組合,計算出各股票在達到最佳組合時所占的比例，以求得到更具普遍性和廣泛性的結論。

二、股票組合有效前沿的研究背景

美國經濟學家Markowitz于1952年發表《投資組合的選擇》，標志著金融學的“大爆炸”開始產生，他將數理統計方法應用于資產組合選擇的研究中，Markowitz的理論也被譽為“20世紀華爾街的第一次革命”!國外特別是發達國家股票市場發展相對成熟，在投資組合研究方面出現了不少學術大亨及豐富的研究成果，其研究可追溯到二十世紀五六十年代，研究方法方面：如Tobin(1958)提出的“二基金分離定理”；Hicks(1962)的“組合投資的純理論”;Wiliam.F.Sharpe(1963)的“單一指數模型”；Sharpe(1964)、Mossin(1966)等人提出各自的資本資產定價模型(CAPM)等理論極大地豐富了投資組合的研究領域。應用范圍方面：Branson(1968)利用馬科維茨—托賓資產選擇模型來研究本國與國外資產配置問題；Lakonishok等人(1997)將股票分為價值型和成長型投資組合，分別研究了這兩種投資組合的業績表現。投資組合不僅不應用于資本市場中的股票、證券等產品,還可應用到貨幣市場、黃金市場、房地產市場等投資市場，Harris C.Friedman(1971)將與投資組合理論應用于房地產中，研究結果表明，所建立的選擇普通股組合的模型可適用于房地產投資組合的選擇。

國內對股票組合的研究始于1990年，相比國外而言起步很晚，到2000年才逐漸利用有效前沿方法來研究股票組合。近年來國內股票市場呈現出起步晚，發展迅速的態勢，用了20多年的時間走過了西方國家200多年的歷程，但快速發展的同時也帶來不少問題，其中之一就是對股票市場的整體性學術研究匱乏。在CNKI中以股票組合有效前沿為主題進行檢索，并對檢索結果進行計量可視化分析，從總體發文量趨勢結果可以發現，國內對股票組合有效前沿的研究比較少而且研究熱情也不穩定。從檢索文獻內容來看，研究主要集中在應用Markowitz均值-方差組合模型和CVaR條件風險價值約束下的均值-方差組合模型來對股票投資組合選擇進行分析，可見，目前我國的研究主要是借鑒發達國家的經驗方法。在理論上對股票市場進行研究，不管是對投資者還是管理者都有利于加深對股票市場的認知，投資者還可以規避不必要的風險。因此說國內對股票市場的研究還有待進一步提高。

圖1 股票組合有效前沿發文量的總體趨勢和關鍵詞共現網絡圖

三、樣本確定及參數說明

(一)樣本確定及參數選擇

每個股民都有自己的喜好、偏好，因此本文選擇任意股票市場中不能直接判斷他們之間有無相關關系的10支股票(s1，s2……s10)的每個月的收盤價(pit，i=1,2……10;t=1,2……N;N為樣本時限內月份數,這里N=189)作為研究對象。股票的選取覆蓋了地產、商業、建筑業、工業等多個行業，綜合了多個方面選取了10支股票(詳見表1),因其涉及范圍廣及無目的性的選擇使結論更具普遍性。綜合上文對股票組合有效前沿的背景分析，本文選擇時間范圍是從2001年1月到2016年11月共189個月。數據來源：通達信數據庫。

表1 10支股票詳情

四、過程計算與結果分析

(一)過程計算

1.基礎計算

(1)模型中用到的其中一個參數是無風險收益率rf,根據我國當前金融市場的實際情況,將一年期定期儲蓄存款利率1.75%折算成無風險月收益率,即rf=1.75%÷12≈ 0.15%。

(2)第i支股票在第t月的收益率為下一期的收盤價減當期收盤價除以當期收盤價，公式為rit=pit+1/pit-1(t=1，2，…，N；i=1，2，…，10;N=188)，pit表示第 i 支股票在第 t 月的收盤價。此步驟結束后t=1，2，…，N-1。

(二)有效前沿曲線圖的繪制

(3)繪制前沿曲線:前沿組合1為(σx，Ex)，前沿組合2為(σy，Ey)，計算兩個前沿組合在不同投資比例下，如-30%……0，10%……60%，組合的期望收益和標準差，以此繪制前沿曲線。

(4)繪制資本市場線：令c=rf，通過1.2的1)和2)步驟可計算得出市場組合的期望收益Ep、標準差σp和投資比例矩陣p。無風險股票(0,rf)和市場組合(σp，Ep)之間的連線，即資本市場線。得到的無風險資產及市場組合的標準差及期望值分別是：無風險資產的標準差等于0，期望收益等于0.0015；市場組合的標準差等于0.0954，期望收益等于0.0156。

最后由3)的結果繪制前沿曲線圖，由4)中(0,0.0015)和(0.0954,0.0156)這兩點繪制資本市場線，結果如圖2：

圖2 有效前沿曲線及資本市場線

在滿足相同風險水平下，投資者選擇最大收益率的組合；對于相同預期收益率下，投資者選擇風險最小的組合這兩個條件的投資組合集稱為有效前沿。綠色直線的下部分為無效投資部分，就是說投資者在同一風險下會選擇高收益的組合，所以投資者不會選擇綠色直線的下部分無效率的藍色曲線，因此上半部分的藍色曲線為有效前沿曲線，紅色直線及其延伸是資本市場線。兩條線相交于(0.0954,0.0156)點。

(三)結果分析

投資者關心投資收益率，也關心投資風險，有效前沿曲線描繪了投資組合的風險與收益的最優配置。M是資本市場線與有效前沿曲線的切點組合,與此同時也是市場組合，M點坐標為(0.0954,0.0156),在此點上本文中選擇的十個股票的最優組合投資比例為(0.424717,-0.10671，0.197821，-0.05167，-0.01455，0.079364，0.086014，0.319436，0.165343，-0.09977)(記為p，負值表示可賣空)，也就是說在房地產-萬科、銀行-平安銀行、石油-華錦股份、煤炭-冀中能源、旅游-華僑城、酒店-華天酒店、建筑-神州長城、建材-金圓股份、環保-南華生物、鋼鐵-鞍鋼股份這十支股票中，投資者以投資比例p 的組合形式來對這十支股票進行分資投資，以獲取最大收益或最小風險。從結果中也可以發現，最優組合的投資比例與市場組合的投資比例完全一致，進一步印證了在市場處于均衡狀態時，最優組合等于市場組合。

五、結論總結

股票投資組合是為了減小風險而對各股票進行合理搭配。投資者熟知“雞蛋不能放在一個籃子里”的風險觀念，因此采取分散投資的方法，將資金合理的分散投入若干股票以此來規避風險。不同投資者對股票有不同的喜好，本文簡單介紹了面對多個股票時如何利用Excel軟件進行最優的資產配置的探究分析，在綜合多個市場選取了10支股票作為基礎數據，應用馬科維茨投資組合模型方法，計算出這10支股票的最優組合投資比例，并且印證了在市場處于均衡狀態時，最優組合等于市場組合的結論。不足之處在于未能分析股票個數與風險之間的關系，未能確定最優組合的股票個數。

【注釋】

①需要數據結果請聯系作者。

②Excel中MMULT函數返回兩數組矩陣乘積，MINVERSE函數返回數組的矩陣的逆矩陣。注意的一點是必須同時按Ctrl+Shift+Enter才會出準確的結果。