大型復雜航天器組裝動力學建模方法與應用

史紀鑫，葛東明，范晶巖，鄧潤然

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

0 引言

固定界面模態綜合法由Craig和Bampton于20世紀60年代提出[1-2]，后續又發展出自由界面模態綜合法和混合界面模態綜合法。模態綜合法把整個結構系統視為由若干子結構組成，首先對規模小得多的子結構逐個進行模態分析或試驗，然后借助子結構交界面上的連接條件，將各子結構的模態參數綜合裝配起來，以獲得整個系統的主要模態特性。

大型空間復雜結構系統，特別是增長式結構和變結構系統的廣泛應用，對直接采用有限元計算進行結構動力學分析提出了嚴峻的挑戰[3-4]。模態綜合“化整為零，積零為整”的分析思想具有現實的應用基礎[5-7]，特別適合于部件分散加工、制造、集成的特點，在計算效率、子結構級地面試驗和修正方面具有先天的優勢，可以服務于大型復雜空間結構系統的結構動力學分析，以及向柔性多體動力學的延伸應用[8-12]。但截至目前國內尚未見有關模態綜合技術在大規模復雜空間結構分析中的適用性研究的文獻報道。

本文基于固定界面模態綜合方法給出復雜航天器結構組裝模型并完成技術的軟件實現，研究其對復雜空間結構動力學分析的有效性。

1 理論模型

1.1 子結構動力學方程

一個完整結構被分割為若干子結構體后，其子結構體無阻尼的振動方程可寫為

式中：m為質量矩陣；k為剛度矩陣；f包含有耦合結構連接處的內力；x是節點響應。

在實際應用中，結構體的有限元模型規模往往很大，必須采取模態坐標刻畫結構的彈性振動。根據內部坐標和界面坐標，將式(1)劃分為

式中：xi為內部節點響應；xj為界面節點響應；fj為耦合界面連接內力。

對于固定界面有xj=0，由式(2)可獲得子結構自由振動方程

于是，可求得系統第n階正則模態，滿足：

其中：ωn為固定界面第n階頻率。假設φii=[φ1,φ2,···,φn]，則子結構的正則模態集為

其中Φn是將高階模態截斷的低階正則模態集。

對式(2)，其靜力方程為

由式(7)可以得到

式中：I是單位矩陣。當只有一個界面節點時，Φc即為剛體模態。因此，子結構模態矩陣由其正則模態集和約束模態集構成，即

此模態集具有如下3個特性，其可以作為編程計算的正確性校驗工具。

1）特性1

式中：rank(*)為矩陣的秩；numrow(*)為矩陣的行數。

式中：ηi為正則模態集的模態坐標；ηj為約束模態集的模態坐標。顯然，由式(14)可以得到ηj=xj，即約束模態坐標就是界面物理坐標。

利用坐標變換(14)，將動力學方程(1)變換到模態空間，并考慮模態阻尼項，可得

式中，ξn為正則模態阻尼比。當只有一個界面節點時，即為結構相對于此節點處參考系的質量特性矩陣，且=0。

1.2 系統動力學方程

建立帶阻尼項模態綜合的系統振動方程時，考慮兩個子結構的連接問題。根據式(15)給出兩個子結構A和B在模態坐標下的運動方程

對于剛性連接，有界面協調方程

其中CBA為結構B到結構A的界面節點坐標變換矩陣。由約束模態坐標等于約束物理坐標，得ηjB=CBAηjA。選擇系統廣義坐標為

其中Γ為系統自由度變換矩陣。利用式(23)，可將式(20)變為用獨立坐標q描述的系統振動方程

其中：

由于式(24)中沒有考慮耦合系統的輸入輸出關系，所以只能滿足耦合系統的頻率計算。為實現耦合系統的時間響應和頻率響應的計算，在式(24)基礎上，加入由結構A（輸入）到結構B（輸出）的傳遞通道

式(29)～(31)中：u為作用在結構A上某節點的力和力矩激勵輸入；y為結構B上某節點的位移響應輸出；βu、βy是對輸入節點和輸出節點的模態矩陣的選擇矩陣。將式(29)改寫為狀態空間形式

從式(32)可以進行時域仿真，得到輸入激勵作用下的節點位移響應。為了得到頻域響應，對式(32)進行拉氏變換即可，得到從輸入到輸出的傳遞特性如下：

2 軟件實現

2.1 拓撲結構及自由度描述

軟件實現的難點在于系統自由度變換矩陣Γ的自動求取，為此需要先描述系統的拓撲結構和自由度。借鑒多體動力學拓撲描述方法，引入符號標簽描述拓撲結構和自由度。S為子結構標簽，N為界面點標簽，K為關鍵點標簽，M為正則模態標簽，C為坐標轉換陣標簽。‘S1M50'表示子結構1的50階正則模態自由度，‘S2N1'表示子結構2上界面點1的六個自由度。系統的拓撲結構如圖1所示。

圖1 拓撲結構示意Fig.1 Schematic diagram of the topology structure

2.2 軟件架構設計

軟件架構分為預處理模塊、系統裝配模塊、輸入輸出配置模塊、載荷設置模塊、模態分析模塊、時域分析模塊、頻域分析模塊。

預處理模塊主要完成子結構界面點設置、模型縮聚、輪廓提取，并對子結構進行降階處理，最終獲得子結構的廣義質量陣、廣義阻尼陣和廣義剛度陣，其表達式見式(16)～(18)。

系統裝配模塊主要完成連接界面點匹配與坐標轉換陣定義，根據裝配關系自動生成系統自由度變換矩陣Γ。軟件能夠可視化輸出裝配后系統結構，如圖2所示。

圖2 裝配后系統結構圖Fig.2 System structure diagram after assembly

輸入輸出配置模塊主要完成系統輸入輸出配置，自動生成配置矩陣，形成系統狀態空間方程。

載荷設置模塊主要實現載荷定義和添加，支持載荷曲線瀏覽和通道、方向的配置。

模態分析模塊主要計算系統各子結構質量特性、頻率特性和耦合系數，同時計算系統綜合后的模態頻率、模態振型、質量特性等。

時域分析模塊主要計算關鍵節點上的位移、速度和加速度響應，同時可輸出部件界面上的載荷響應。

頻域分析模塊可根據指定的輸入和輸出，計算系統的傳遞函數。

3 應用算例

以空間站三艙組合體為算例，驗證模態綜合算法的有效性。總節點數約115萬，單元數約116.5萬。模型如圖3所示，將整艙按照艙段拆分為三艙子結構，計算3個子結構的縮聚模型，對各子結構分別取50階模態，再對3個子結構縮聚模型進行模態綜合。將該模態綜合頻率與原始整艙有限元模型的無阻尼自由振動的自由頻率進行對比，結果如表1所示。可見，頻率相對偏差在前7～15階范圍內小于1%，具有極高的計算精度。

圖3 空間站三艙組合體模態綜合Fig.3 Modal synthesis for three-cabin combination of space station

表1 子結構模態綜合計算精度Table 1 The calculation accuracy of substructure modal synthesis

4 結束語

本文研究了固定界面模態綜合法在復雜空間結構動力學分析中的應用，通過對艙段對接模型的對比分析，驗證了其有效性。在實際工程應用中，應注意以下幾個問題：

1）根據所要計算的頻帶范圍，選擇適當的模態階數，從而既可保證模態綜合模型對原始有限元模型在計算頻帶范圍內的近似精度，也可提高模型的計算效率；

2）盡量控制子結構模型的界面點數量，因為界面點自由度的增多會導致模態綜合模型的高階自由頻率的增高，增加微分方程的剛度，顯著增大時域響應的計算量；

3）在模態綜合法中，可以分別對子結構的模態阻尼和界面阻尼賦值，在模態綜合后，系統耦合模型的各階模態會表現出不同的阻尼比。