常微分方程課程在培養創新人才方面的實踐與探索

王金鳳　崔仁浩　劉萍　侍述軍

[摘 要] 本文從常微分方程課程教學出發，探討了在培養創新人才方面的實踐和經驗， 通過對常微分方程全新教學模式的開展、創新與突破， 對需要改進的問題作了必要的說明。

[關鍵詞] 常微分方程;課程教學;創新人才

[中圖分類號] G642 ?[文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2019） 07-0106-02

培養人才是高校最基本的職能，自然培養推動社會發展的創新人才成為高校教學改革的主要任務。創新人才的培養是教育界共同探討的話題，目前，世界各國的高校都在進行教學改革，以求培養具有創新精神，創新能力的高素質人才。早在1919年，陶行知先生就把“創造”引入教育領域。他在《第一流教育家》一文中提出，要培養具有“創造精神”和“開辟精神”的人才，認識到培養人才對國家強弱和民族興亡具有的重要意義。到20世紀60， 70年代，隨著美國心理學家吉爾福特（J. P. Guiford）的《創造性才能》和《創造力與創新思維新論》兩本著作的問世，研究創造性人才逐漸成為一個熱門課題。雖然國外學者沒有“創新人才”的提法，但他們所提的培養目標無一不表現出人才要具有“創新”的內涵。

而教學是培養人才的根本途徑。我國數學本科生均從中學的重應試的數學教育中走來，而大學數學本科教材，包括基礎課程教材，受蘇聯的影響，普遍追求理論的嚴密性，一般性，均從最一般到特殊，而且忽略數學建模、定性分析及與現代數學的聯系，使學生難于接受，不會應用，影響創新能力的培養，即使最富有創造力的學生也難以在學習過程中開發其潛能。本科生創新能力的培養已成為當前高校教育工作者面臨的一項重要任務，經過幾年著眼于哈爾濱師范大學數學科學學院對本科生創新能力的培養，筆者將對其在常微分方程課程方面創新能力培養的一些理論探索和教改實踐進行了分析總結，在此基礎上進行比較系統的思考，初步形成了一套本科生創新能力培養所需要的制度體系，以適應培養高層次創新型人才這一緊迫任務的需要。

一 重課程教學

我們在哈爾濱師范大學本科常微分方程基礎課教學中，普遍實施“講授啟發式”教學模式，在教學課堂上實現師生互動的教學方式。特別，結合課堂教學，組織本科生參加“研討班”，實行探究式的研究性學習，實行導師制。采用最大似然估計與貝葉斯估計統計推斷方式進行效果評價，使教學內容的改革在提高綜合素質與創造能力方面優于傳統內容。專門為基地班學生開設學科交叉課程、研究性課程。近十年來，我們對數學與應用數學專業的本科生采用中英文教材相結合的方式進行教學，特別是對于基地班的教學過程中強調英文教材的參考使用，使我們的學生學會用符合英語習慣的科學語言表達自己的觀點， 從而使他們將來在國際學術舞臺上贏得一席之地， 能順利進行學術訪問和學術交流， 并響應教育部所提出的實行雙語教學的倡議， 嘗試在數學課堂上實行雙語教學是一項有益的工作;其次在常微分方程基礎上，我們開設了數學物理方程選修課，并在其基礎上開設了反應擴散方程，應用偏微分方程等研究性課程，這些課程激發了即將選擇分析或微分方程方向的本科生的濃厚興趣，為他們在未來的研究生學習奠定了堅實的基礎。

二 重實踐指導

老師與學生的緊密聯系不僅是給學生講授知識，吸收學生參加科研項目，而是體現在專業方向的確定、課程選擇和課程學習結果的審查、個性化教學計劃的制定和學術研究的指導等方面。因此我們采用教學實驗與觀察研究相結合的研究方法，進行中英雙語教學，計算機輔助教學及探究式研究性學習，培養本科生創新科研能力。運用探索式的啟發式講授，通過建模培養創新能力。根據學生的具體情況結合國外的教學實踐，我們將MATLAB，MAPLE等數學軟件引入課堂，使整個課堂寓教于樂，圖文并茂，給同學們留下了深刻的印象，取得了良好的教學效果。此外，我們在課程講授之后增加學生討論的環節，以兩至三人為一個單元，結合課堂內容對實際問題進行討論，這個過程為學生參加數學建模競賽等科技活動積累了堅實的經驗和方法。

三 重導向型教學

導向型教學是國外流行的一種教學方式，它強調在課堂教學中學生是學習過程的中心，教師在教學過程中起到引導作用，是學習過程中的組織者和協調人。對具有一定自主學習能力的本科生來說，采用以學生為中心的啟發式教學，符合當前的教學改革潮流。圍繞這一目標，國內高校通常使用的方法有慕課、翻轉課堂等，對學生自我學習的潛能開發有一定的指導作用。常微分方程課程教學的主要目的是求解各種形式的常微分方程模型，運用導向型教學方式進行教學有利于使學生學會在事物的量與量之間建立起常微分方程模型。根據作者多年的教學研究和實踐，我們在講授常微分方程過程中，通過小組討論，引導學生在不同的假設條件下建立常微分方程的簡單模型;引導學生在求解微分方程中以定性分析方法為主。例如，對于一階二維非線性微分方程組，引導學生回憶線性化思想，教師自然地引入微分方程在平衡解處的線性化形式，進而利用定性分析方法分析在平衡解附近微分方程解的漸近行為，并分析解隨參數變化時發生分歧現象的規律， 同時引導學生考慮將數學上分析的結果應用于各種具體的問題中。教師從提出具體問題到引導學生解決問題的準備、實施、總結三個階段過程中，始終起到的是輔助作用，需要充分強調學生的主動性。在此過程中，強調學生的中心地位，弱化教師的主導地位。

四 重課程建設

課程建設是本科教學的一項重要的基礎性建設工作，要培養高素質創新人才，必須要有一批特色課程。在中英文教材相結合的教學過程中，最初我們使用的是英文教材 Paul Blanchard， Robert L Devaney， Glen R Hall 編著的《Differential Equations》，把以往采用的由中山大學王高雄等編寫的《常微分方程》（第三版）作為輔助教材。經過了幾年的教學實踐與探索，我們設計并編寫出與國內傳統常微分方程教材完全不同的，適用于進行探索式教學的常微分方程課程本科教學的教材《常微分方程簡明教程》，在國家級出版社“科學出版社”出版，并入選“大學數學科學叢書”。同時，我們設計、編寫出與此教材配套適合學生進行研究性學習的學習指導書《常微分方程導學》，在“哈爾濱工業大學出版社”出版。在教學中我們不僅使用《常微分方程簡明教程》與《常微分方程導學》，我們還針對我院學生知識基礎和外語水平參差不齊的實際情況采用分層次的教學方式，對于專業基礎扎實，外語水平普遍較好的本科生，采用雙語教學的教學方式，由具有豐富教學經驗，具有國外訪學或留學經歷的教授承擔， 教學過程中采用英語板書，英文講解，漢語補充的教學方式。對普通班則進行低層次的雙語教學，即部分英文板書，漢語講解，適當穿插英文。針對具體內容，我們還做了一些小課件供學生使用，主要是一些具體的實際應用模型，讓學生感到數學的存在不再遙不可及，學習的意義更不只限于它的抽象美。例如，教材中有這樣一個實驗讓學生來做，驗證菌群的指數增長模型：買一片面包，放在寢室的窗臺上，觀察其霉變的過程，通過霉變面積的大小來判斷霉菌的增長，直到面包全部變黑。我們在課件課上演示上述霉變過程不同階段的圖片，通過數據建立模型。課后不少學生嘗試這一實驗，反饋效果良好。

經過近幾年的實踐和探索，我們微分方程團隊在培養本科生創新人才方面取得了卓著的成果。筆者之一作為指導教師所指導的2011級本科生方麗婷的本科畢業論文發表在被SCI收錄的國際著名數學雜志《Applied？Mathematics？Letters》上。指導教師在教授《常微分方程》時，將非線性二維方程組的講解與研究型論文結合，通過定性分析及數值模擬的方式把教材的概念與方法在具體的生物數學模型中表示出來。方麗婷同學正是在這個啟發下，研究了帶有消耗資源型的捕食食餌模型，同時結合反應擴散方程的基本知識，對該模型進行了詳細的動力學分析。這種把教學與科研有效結合的方式在本科生的學習過程中很具有推廣性，僅在近三屆畢業的本科生中，就有十幾名學生完成有關微分方程模型和定性分析等方面的學術論文。其中，有4 名同學的論文發表在省級以上的刊物上，有4名同學的本科畢業論文被評為哈爾濱師范大學校優秀畢業論文。在全國大學生數學建模競賽上，多名本科生多次獲得獎項，一大批畢業生已在其研究或工作領域嶄露頭角。

培養學生靠教師，但教師不是決定學生是否具有創新性的唯一因素。培養學生創新素質的任務要靠整個教育系統中的各部門共同承擔，因此，創新人才培養需要教學管理體制，以致全社會的創新。以本文作者為主要成員的常微分方程教學團隊是省級優秀教學團隊，在充分發揮自身強有力的科研優勢基礎上，我們致力打造具有師范特色的精品教學。以方程教研室為依托，研究常微分方程與后繼課程反應擴散方程及應用偏微分方程的內在聯系，既讓師范生掌握基本的教學技能，又能給對科研有興趣的學生傳輸有效的學術思想，全方位培養能完成素質教育任務的新型教師及科研工作者。

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