四階帶通式無源輻射器揚聲器系統

文/周東憲 郭清學

1 概述

帶通式揚聲器系統設計中普遍采用空氣管來輔助低頻輻射，但由于很多結構的限制導致空氣管的使用有一定的局限性（如面積不可以很大，不可以很長等），尤其是在小型的揚聲器系統設計過程中，這一局限性帶來很多問題，如空氣振動速度過快帶來空氣摩擦噪聲等。因無源輻射器具有有效輻射面積較大，低頻輻射失真低的優點，本文提出利用無源輻射器來作為四階帶通式揚聲器系統的低頻輻射器，取代空氣管輔助低頻輻射，對其系統函數加以分析，提出了具體的設計方法，并各相關參數的影響加以分析和討論。

2 系統分析

箱體結構如圖1所示，類比線路圖如圖2所示，這里忽略音圈電感的影響，同時不考慮信號源內阻。

根據圖2的類比電路，可以建立精細的電路模型圖3，其中Eg為信號源，Re為揚聲器音圈直流阻，g=BL/Sd，BL為電-力變換因子，Sd為揚聲器單元的有效輻射面積，Mas為揚聲器的等效聲質量，ras為揚聲器振動系統的等效聲導，Cas為揚聲器的等效聲順，Cb1為Vb1腔空氣聲順，Cb2為Vb2腔空氣聲順，Cp為無源輻射器的等效聲順，Mp為無源輻射器的等效聲質量，rp為無源輻射器的等效聲導，等效聲源Ps=gEg/Re，揚聲器的總等效聲阻Ra=g^2/Re+1/ras。根據圖2和圖3可以得到這類揚聲器系統，阻抗頻率響應函數Z（s）和聲壓頻率響應函數P（s）為：

3 聲壓頻率響應

3.1 系統傳輸函數分析

式（2）給出的聲壓頻率響應函數為典型的四階帶通函數，其系統函數為：

四階帶通響應的系統函數的一般形式如下：

圖1：箱體結構

圖2：類比線路圖

圖3：類比線路圖

由方程（8）可以看出a1、b1、Q、AI和β、γ、h、Qb、Qbp這五個獨立的系統參數相對應，對于特定的響應，理論上可有多組系統參數滿足設計要求。但系統參數之間的關系存在著很多限制，因此存在優化設計的問題。Qp為無源輻射器機械Q值，適當選取材料，可以認為其遠大于Qb值，因此這里先視其為無窮大，則可解得：

表1：典型響應的相關參數

圖4：0dB增益4階巴特沃茲帶通響應

圖5：0dB增益4階巴特沃茲響應

圖6：0dB增益4階巴特沃茲帶通響應

從上面的結果可以看出，箱體及無源輻射器相關的參數值為大于零的實數，上述結果才有物理意義。因此要有較高的增益，則意味著Q較高，也即頻帶變窄。對于0dB增益的系統Qb與至于a1和b1有關，與其他參數無關。附表1列出了幾種典型響應的相關參數，對于特定的響應，AI、a1、b1是確定的，通帶品質因子Q及通帶中心頻率f0是可以選擇的，因此就帶來了兩種設計思路：

（1）對系統的通帶特性提出要求（即確定通帶的中心頻率f0和通帶品質因子Q）來選擇合適的揚聲器單元；

（2）根據特定的揚聲器單元來設計合適響應，及其他系統參數（如無源輻射器參數和箱體參數）。不管采用哪種思路，至少必須預知f0和Q任意一個。

3.2 系統參數關系分析

可以看出，箱體參數、無源輻射器參數、揚聲器單元參數和系統響應之間是相互關聯的，有必要對它們之間的關系加以分析。

圖4到圖8是以增益為0dB的4階巴特沃茲帶通響應系統為例所進行的分析。

圖4到圖6反映箱體及無源輻射器容積參數Vb1、Vb2、Vp伴隨揚聲器單元的Qt變化關系圖，伴隨Qt升高，相應的容積參數有不同幅度的增加，如對箱體尺寸有要求，在設計過程中應該選擇合適的Qt值。Qt確定，則對于特定響應系統而言，后腔的順性比也是確定的，而前腔及無源輻射器的容積參數的確定，則需要考慮通帶品質因子Q的要求，伴隨Q的增加（通帶變窄），Vb2及Vp將減小。

圖7和圖8反映的是系統中心頻率f0和無源輻射器諧振頻率fp與揚聲器單元諧振頻率fS的比值伴隨Qt和Q變化的情況，可以看出伴隨Qt的增加，f0、fp都逐漸降低，而通帶品質因子Q的升高將導致f0、fp升高。

圖9反映的是特定響應情況下揚聲器參數和通帶中心頻率之間的關系，其中QLim為通帶品質因子的極限值，可以看出，盡管Chebyshev響應的通帶較寬，但其通帶中心頻率偏高，要滿足相同的中心頻率設計要求，Chebyshev的要求揚聲器單元諧振頻率fS和總品質因子Qt的比值較Butterworth和Bessel響應要低，要求揚聲器單元有較低fS的和較高的Qt。Bessel響應雖然可是實現較低的中心頻率，但其通帶很窄。

3.3 0dB增益系統的設計

對于0dB增益系統有AI=1，得：

假設已知揚聲器T/S參數為：Qt=0.45，Vas為2.65升，諧振頻率為50Hz，設計4階巴特沃茲帶通0dB增益的系統，通帶品質因子Q要求為為1.1，可求得：

響應模擬情況見圖10所示。

3.4 非0dB增益系統的設計

非0dB增益系統，有AI≠1，此時各參數之間的關系表達式比較復雜，前文已給出相關的表達式，只要確定系統增益值，就可以根據給出的設計條件進行系統設計，當然也可以，根據系統參數的情況來計算系統增益情況，然后根據系統增益情況再來調整參數，如此錯誤嘗試后，以得到合理或優化的系統響應。現在結合實例來對非0dB增益系統的設計進行分析，同前文一樣，可有兩種思路：

（1）根據揚聲器單元設計特定的響應特性的揚聲器系統；

（2）根據通帶要求，選擇揚聲器參數，從而得出合適的箱體及無源輻射器參數。

例如要設計一系統增益為2dB的四階巴特沃茲帶通式揚聲器系統，有a1=1.4141,b1=1，給出的揚聲器TS參數同前文，同時根據系統增益可以得出Qb=0.805和Q>1.12，取Q=1.2，響應模擬情況見圖11。

又例如要設計一系統增益為2dB，通帶中心頻率為80Hz，通帶品質因子Q為1的四階帶通式揚聲器系統，要求選擇合適的揚聲器單元，首先要確定的是a1和b1的值，因此必須選擇合適的Qb，及a1和b1中任意一個值，取b1>Ai=1.259，取b1=1.3，得h=1.013,a1=1.382，可以知道fs/Qt=85，fp=14.3，其他參數與揚聲器單元的參數選擇有關。滿足這樣條件揚聲器單元皆能滿足,系統響應見圖12。

圖7：0dB增益4階巴特沃茲帶通響應

圖8：0dB增益4階巴特沃茲帶通響應

圖9：揚聲器Fs/Qt與通帶響應關系

4 阻抗特性分析

設無源輻射機械品質因數為無窮大，即Qp為無窮大，結合前文分析，式（1）可簡化為：

式（9）給出的阻抗頻率響應函數和倒相箱的阻抗頻率響應函數非常相似，阻抗頻率響應曲線具有雙峰的特性，如圖13所示。第二項反映系統的動生阻抗，可以看出當f=f0時，阻抗有極小值。參照倒相箱阻抗函數的分析，不難看出阻抗頻率函數中分子括號內實部為零時所對應的頻率點處阻抗有極大值：

妻子起床去跳廣場舞，閨女起床去上學，我依舊賴在被窩里睡懶覺。過去的早上，蔥花油鹽，緊張忙碌。現在的早上，鼾聲繚繞，清閑安靜。妻子跳舞回頭，早飯順手提回來。我趕緊地起床刷牙洗臉，吃罷早飯去上班。

圖10：響應模擬情況

圖11：響應模擬情況

圖12：系統響應

圖13：阻抗頻率響應曲線

圖14：速度響應曲線

圖15：位移響應曲線

圖16：無源輻射器阻尼對頻率影響

圖17：無源輻射器阻尼對阻抗曲線影響

圖18：圖名無源輻射器阻尼對系統阻抗影響

圖19：無源輻射器阻尼對系統頻率上限和下限影響

圖20：無源輻射器阻尼對揚聲器單元振幅影響

圖21：無源輻射器阻尼對系統固有振動頻率影響

5 速度和位移特性分析

不考慮Qp的影響即將其設為無窮大，由（3）到式（6）可得：

式（10）給出了揚聲器單元的振動速度Va，不難看出當在頻率等于f0處，揚聲器單元的振動速度為零，由式（12）可以看出在此頻率點揚聲器單元的位移Xa也為零；在頻率等于Fl和Fh處，揚聲器單元的的振動速度有極大值為（EgQt）/（BLQe），該極值由揚聲器單元本身的特性所決定，與箱體的參數無關；式（11）和式（13）為無源輻射器的振動速度和位移響應函數，可以看出其值與揚聲器單元和無源輻射器的有效輻射面積比成正比，因此為了降低速度和減小位移量，通常應盡量提高降低面積比，無源輻射器的速度響應曲線見圖14，無源輻射器位移響應曲線見圖15所示。

圖22：后腔容積變化對系統響應的影響

圖23：前腔容積變化對系統響應的影響

圖24：無源輻射器等效質量對系統響應的影響

圖25：后腔容積變化對阻抗的影響

圖26：前腔容積變化對阻抗的影響

圖27：無源輻射器等效質量對阻抗的影響

圖28：后腔容積變化對Xas的影響

圖29：后腔容積變化對Xas的影響

圖31：前腔容積變化對Xps的影響

圖32：無源輻射器等效質量對Xas的影響

圖33：無源輻射器等效質量對Xps的影響

6 Qp的影響

前面的分析中假設了無源輻射器不存在阻尼的情況，實際上這種情況是不可能存在的，因此很有必要對其影響加以分析。

6.1 Qp對系統響應的影響

方程（8）給出了系統參數和Qp的關系，假設揚聲器單元的TS參數同前文所述，無源輻射器的諧振頻率為14.28Hz，等效容積為57.1升，箱體參數Vb1為10.1升，Vb2為2.03升，通過模擬情況來分析Qp變化對系統響應的影響。圖16中曲線由低到高Qp的取值分別為1、2、3、5、10、20、無窮；為1/Qp頻率-系統增益（dB）之間的關系圖，可以看出Qp減小導致輻射效率降低，尤其對通帶的低端影響更大，Qp大于10以后，影響在0.5dB以內，基本可以接受，這就要求在設計無源輻射器時，Qp值應控制在10以上，甚至更大。

6.2 Qp對阻抗響應的影響

圖17顯示的是阻抗頻率響應曲線隨Qp變化的情況，曲線由低到高Qp的取值分別為1、2、3、5、10、20、無窮；可以看出隨著Qp降低，阻抗曲線的雙峰不再對稱，同時雙峰有不同程度的降低，第一個峰低于第二個峰。

圖34：傳統四階帶通系統結構圖

圖35：聲學類比線路圖

見圖18，同時阻抗極小值有所上升。因為阻尼伴隨著Qp的降低而增加，必然導致聲輻射能量損耗增加，從而聲輻射效率的降低，尤其是在低端，這在前文已經驗證。

有不同程度的降低，第一個峰低于第二個峰，見圖18，同時阻抗極小值有所上升。因為阻尼伴隨著Qp的降低而增加，必然導致聲輻射能量損耗增加，從而聲輻射效率的降低，尤其是在低端，這在前文已經驗證。同時Qp降低導致阻抗曲線極值對應頻點有輕微漂移，不是很明顯。參見圖19。

6.3 Qp對位移響應的影響

7 箱體及無源輻射器參數的影響

對于特定的響應和揚聲器單元，箱體參數和無源輻射器的參數是確定的，但實際設計過程中經常需要根據實際情況對這些參數進行調整，因此有必要對此加以分析。

7.1 對系統響應的影響

圖22反映的是后腔（Vb1）變化（其他參數不變）對系統響應產生的影響，可以看出后腔容積增大低頻段向下有一定的延伸，但輻射效率降低，通帶高端有所上升，衰減斜率變大；由圖23可以看出前腔（Vb2）的增加，通帶低端有一定的提升，但同時高端截止頻率變低，同時通帶邊窄，容積減小時通帶變寬，低端輻射效率下降，截止頻率上升，高端輻射效率提高明顯；圖24反映無源輻射器等效輻射質量對系統響應的影響，可以看出無源輻射器的質量的增加主要影響通帶的高端特性，對低端的影響主要表現在截止頻率的向低漂移，而對高端影響出現了輻射效率的明顯降低，而且相對變化較大，在設計過程中很有必要對這一參量加以叫嚴格的控制。

7.2 對阻抗響應的影響

參見圖19。圖25、圖26、圖27反映箱體及無源輻射器參數的變化對阻抗響應的影響，可以看出前后腔容積和無源輻射器參數的變化主要影響阻抗響應極值點變化，對阻抗值大小沒有影響。

7.3 對位移響應的影響

后腔容積變化的影響主要集中在低頻段，對于揚聲器單元位移響應的影響相對較大（如圖28和圖29所示）；前腔容積的變化對揚聲器單元位移響應的影響主要在高頻段，而對無源輻射器位移響應的影響主要在極值點附近（如圖30和圖31所示）；無源輻射器等效輻射質量增大導致揚聲器單元的位移響應最大值升高，最小值對應的頻點下移，同時無源輻射器本聲的位移響應最大值升高，其對應的頻點下移（如圖32和圖33）。

8 和傳統四階帶通系統的對比分析

傳統四階帶通系統結構如圖34所示，聲學類比線路圖如35所示。

圖35中，Mp1為倒相管的等效聲質量，其它參數如前文所定義。通過對圖35的分析我們可以得出主動揚聲器驅動空氣的體積速度為：

其中：

可得揚聲器振膜的位移響應為：

倒相管內的空氣的振動速度為：

可知系統輻射聲壓為：

可解得：