一類(lèi)半階變型Bessel方程的邊值問(wèn)題解的相似結(jié)構(gòu)及其在石油工程的應(yīng)用

李順初， 張紅麗， 鄭鵬社， 桂欽民

(1.西華大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 成都 610039; 2.北京東潤(rùn)科石油技術(shù)股份有限公司， 北京 100029)

引 言

某些微分方程的求解十分復(fù)雜，因此引起部分學(xué)者對(duì)如何簡(jiǎn)化求解過(guò)程的思考，并于近年來(lái)形成了相似構(gòu)造理論[1-3]。該理論認(rèn)為，微分方程的邊值問(wèn)題的解的結(jié)構(gòu)具有相似性，同一定解方程在不同邊界條件下的分布具有統(tǒng)一、規(guī)范且結(jié)構(gòu)極其簡(jiǎn)單的表達(dá)式，其中外邊界條件只改變其解的相似結(jié)構(gòu)式中的相似核函數(shù)。自理論形成，便被大量專(zhuān)家學(xué)者認(rèn)可并將之應(yīng)用到多種微分方程的求解中，其中主要包括二階齊次線(xiàn)性微分方程[4]、含參數(shù)λ的Bessel方程[5]、擴(kuò)展性Bessel方程[6]、Legendre方程[7]等，使該理論得到了較好的傳播。

一類(lèi)半階變型Bessel方程廣泛應(yīng)用于油氣工程的試井分析中，但目前針對(duì)該類(lèi)邊值問(wèn)題的解的研究卻很少，若是將相似構(gòu)造理論應(yīng)用于該類(lèi)方程的求解中，將極大地減少相關(guān)分析軟件運(yùn)算量，提高實(shí)際工作效率。為此，本文針對(duì)一類(lèi)半階變型Bessel方程的邊值問(wèn)題進(jìn)行研究。

x2y″+2xy′-Bx2y=0，x∈(a,b)

(1)

(2)

(3)

其中，B、D、E、F、G、H、a、b為已知實(shí)常數(shù)且D≠0，G2+H2≠0，并提出了針對(duì)該類(lèi)問(wèn)題解式的相似構(gòu)造法。本方法經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只需根據(jù)定解方程(1)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，及內(nèi)邊界條件(2)系數(shù)和外邊界條件(3)系數(shù)即可得出相似核函數(shù)和解的相似結(jié)構(gòu)，且只需經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變量替換，即可將解的表達(dá)式應(yīng)用到一類(lèi)油氣滲流的數(shù)學(xué)模型中，簡(jiǎn)化其求解過(guò)程，實(shí)現(xiàn)試井分析軟件效率的提升。仿真結(jié)果證明了相似構(gòu)造法在油氣滲流工程數(shù)學(xué)模型求解中的正確性和有效性。

1 主要定理與其證明

定理1若邊值問(wèn)題(1)～(3)有解，則其通解為：

(4)

其中,

(5)

證明：

方程(1)有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解，

則其通解可以表示為：

(6)

進(jìn)而可得：

其中M、N為任意常數(shù)。

再由內(nèi)邊界條件(2)有：

得到：

(7)

同樣，由外邊界條件(3)：

得到：

(8)

由邊值問(wèn)題(1)～(3)具有唯一解[8]可知，關(guān)于待定系數(shù)M、N的系數(shù)行列式Δ≠0，經(jīng)聯(lián)立求解線(xiàn)性方程組(7)、(8)，求得(7)與(8)的系數(shù)行列式Δ:

再根據(jù)Gramer法則，求得待定系數(shù)M、N：

(9)

(10)

然后將式(9)與式(10)代入式(6)中，得到式(11)：

(11)

結(jié)合邊值條件組裝，便得到邊值問(wèn)題(1)～(3)的解(4)式。由此得到半階變型Bessel方程的邊值問(wèn)題的解，并且該解具有相似結(jié)構(gòu)。

由定理1可以得到以下在實(shí)際應(yīng)用中起著重要作用的推論。

推論1邊值問(wèn)題(1)～(3)中，若外邊界條件(3)變?yōu)閥=0(即H=0,G≠0)則對(duì)應(yīng)的相似核函數(shù)變?yōu)?

Ψ(x)=

(12)

推論2邊值問(wèn)題(1)～(3)中，若外邊界條件(3)變?yōu)閥'=0(即G=0,H≠0)則對(duì)應(yīng)的相似核函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(13)

2 應(yīng)用舉例

相似構(gòu)造法避免了繁雜的理論推導(dǎo)和工程應(yīng)用上棘手的求導(dǎo)運(yùn)算，獲得了一個(gè)既簡(jiǎn)單而又行之有效的求解微分方程邊值問(wèn)題的方法。特別是針對(duì)滲流模型的求解，對(duì)工程技術(shù)方面的工作和研究人員來(lái)說(shuō)，該方法易學(xué)易掌握更便于應(yīng)用[9-16]。

例如，對(duì)于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的Laplace空間數(shù)學(xué)模型：

(14)

(15)

(16)

(17)

表1 邊值問(wèn)題(1)～(3)和(14)～(16)中參數(shù)與變量替換表

符號(hào)說(shuō)明：

C—井筒儲(chǔ)集系數(shù),m3/MPa

S—表皮系數(shù)(無(wú)量綱)

下標(biāo)：

D— 無(wú)量綱；w— 井；i— 初始。

(18)

其中相似核函數(shù)為：

Ψ(rD)=

(19)

利用解的相似構(gòu)造，大大簡(jiǎn)便了編程的難度，更能直觀了解到各個(gè)變量如CD,S,RD變化對(duì)無(wú)量綱井底壓力的影響。將一類(lèi)半階變型Bessel方程的相似構(gòu)造法用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，并分別分析CD,S,RD中某一個(gè)量變化時(shí)對(duì)無(wú)量綱井底壓力的影響，程序運(yùn)行結(jié)果如圖1～圖3所示。圖中橫坐標(biāo)表示無(wú)量綱時(shí)間，縱坐標(biāo)表示經(jīng)過(guò)Laplace反演后的無(wú)量綱井底壓力及其導(dǎo)數(shù)(變化率)值。

圖1 井筒儲(chǔ)集系數(shù)CD對(duì)井底壓力及其變化率的影響

圖1考慮RD=100，S=1時(shí)，CD取不同值時(shí)對(duì)無(wú)量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)自上向下分別表示CD取為10、20、60、100時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

由圖2可知，對(duì)于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無(wú)量綱井底壓力，變量CD主要影響流體流動(dòng)早期，CD越大，無(wú)量綱井底壓力越低，兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且CD越大，中期開(kāi)始的時(shí)間越遲，中期無(wú)量綱井底壓力均保持穩(wěn)定，后期逐漸增大。對(duì)于無(wú)量綱井底壓力的變化率，CD主要影響流體流動(dòng)早期與中期，早期CD越大，無(wú)量綱井底壓力的變化率越低，兩者呈負(fù)相關(guān)的關(guān)系，且CD越大，出現(xiàn)峰值的時(shí)間越晚(即流動(dòng)中期開(kāi)始的時(shí)間越遲)；中期CD越大，無(wú)量綱井底壓力的變化率也越大，兩者呈正相關(guān)的關(guān)系。

圖2 表皮因子S對(duì)井底壓力及其變化率的影響

圖2考慮RD=100，CD=40時(shí)，S取不同值時(shí)對(duì)無(wú)量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)自上向下分別表示S取0、1、4、6時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

由圖3可知，對(duì)于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無(wú)量綱井底壓力，變量S主要影響流體流動(dòng)中期，S越大，無(wú)量綱井底壓力越大，兩者呈正相關(guān)關(guān)系，且S越大，流動(dòng)中期與后期開(kāi)始的時(shí)間越遲。對(duì)于無(wú)量綱井底壓力的變化率，S也是主要影響流體流動(dòng)中期，S越大，無(wú)量綱井底壓力的變化率越大，兩者呈正相關(guān)關(guān)系。

圖3 外邊界長(zhǎng)度RD對(duì)井底壓力及其變化率的影響

圖3考慮CD=90，S=1時(shí)，RD取不同值時(shí)對(duì)無(wú)量綱井底壓力及其變化率的影響。圖中的實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)自上向下分別表示RD取500、800、2000、4000時(shí)的計(jì)算結(jié)果。

由圖3可知，對(duì)于外邊界封閉的均質(zhì)球向流油藏的無(wú)量綱井底壓力，變量RD主要影響流體流動(dòng)后期，RD越大，無(wú)量綱井底壓力越低，兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，且RD越大，流動(dòng)后期開(kāi)始的時(shí)間越晚。對(duì)于無(wú)量綱井底壓力的變化率，RD也是主要影響流體流動(dòng)后期，RD越大，無(wú)量綱井底壓力的變化率越低，兩者呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

Ψ(rD)=

(20)

3 結(jié) 論

(1)提出了針對(duì)一類(lèi)半階變型Bessel方程邊值問(wèn)題的相似構(gòu)造法，避免了原來(lái)復(fù)雜繁瑣的求解過(guò)程,只需利用定解方程的任兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解及外邊界條件系數(shù)構(gòu)造相似核函數(shù),再根據(jù)內(nèi)邊界條件中的系數(shù)所決定的相似結(jié)構(gòu)式進(jìn)行組裝即可獲得微分方程邊值問(wèn)題的解。

(2)提出的相似構(gòu)造法只需經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變量替換即可應(yīng)用到油氣工程的數(shù)學(xué)模型求解中，極大地簡(jiǎn)化了相應(yīng)測(cè)試分析軟件的編制，提高了軟件運(yùn)行效率。