一類趨化-流體耦合方程組的局部存在性

趙 麗， 侯智博

(西華大學理學院， 成都 610039)

引 言

趨化性(也被稱為化學趨向性)是趨向性的一種，指身體細胞、細菌及其他單細胞、多細胞生物依據環境中的某些化學物質的分布而作定向運動。趨化方程組[1]主要是研究細胞或者細菌在有化學物質或營養液中的趨化行為。趨化方程組的代表是標準的Keller-Segel模型[2-4]及其各類變體。經典的Keller-Segel模型主要描述了細胞和化學物質二者之間的相互作用。然而，在實際的生物背景下，細胞自身所處的流體環境也會對趨化運動有影響[4-9]，這一生物現象可以用趨化-流體方程組刻畫，如下[5]：

(1)

此處的n表示細胞密度，c表示化學物質、信號的濃度，u和P分別表示流體速度場和相應的壓力；系數κ和非線性流體對流項的強度有關；φ表示重力勢；趨化靈敏度S(c)和氧氣消耗率f(c)是已知的標量函數。對于這類趨化-流體方程組，其局部存在性的研究是后續所有研究的基礎，至關重要。文獻[10]中，Winkler已證明方程組(1)的解是局部存在的，并在此基礎上進一步研究了其解的整體存在性、有界性、大時間行為等。隨著大量數學者的研究，文獻[11-13]中，Wang等考慮方程組(1)在2、3維的情況下，方程組的解具備整體存在性和有界性。后來Lorz(文獻[14])考慮了重力(勢力)對細胞的影響和趨化力對流體的影響，考慮一類更符合現實的自封閉趨化-流體耦合模型，提出如下的初邊值問題：

(2)

(3)

在上述的假設條件下，本文的主要結果如下：

c∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);W1,q(Ω))

u∈C([0,Tmax);L2(Ω))∩L∞((0,Tmax);D(Aα))

t→Tmax

成立。

1 定理1的證明

定理1的證明：證明分三步完成。

(1) 存在性：利用不動點定理，Neumann熱半群，Stokes半群和不等式進行估計即可證得。

Step1:先證明Φ是S上映射到自身的算子：

取R>0且T∈(0,1)待定。在

Banach空間：

設Φ=(Φ1,Φ2,Φ3)為如下定義在S上的映射：

Φ1(n,c,u)(·,t)=

u·▽n-▽·(n▽φ)}(·,s)ds

Φ2(n,c,u)(·,t)=

Φ3(n,c,u)(·,t)=

其中,ρ為L2(Ω)上的Helmholtz投射算子。

(4)

(5)

這里運用了D(Aα)嵌入到L∞(Ω)，因此u在L∞(Ω)上有界。

最后，存在C9>0,C10>0,C11(R)>0使得對任意t∈(0,T)。

(6)

結合(4)，(5)和(6)式就可以得到當T充分小時，Φ是從S到S的映射。

Step2:再證明Φ是壓縮映射，即證存在0

使得：

以下的估計方法與上面的相類似：

因此可得：

Step1:對方程組(2)中的第一個方程左右兩端乘以，對任意t∈(0,T0)得到如下：

(7)

若T00使得對任意t∈(0,T0)

把I1～I5的不等式相加代入(7)得：

(8)

(9)

以下分別對II1～II4進行估計，對任意t∈(0,T0)：

這里運用Poincare′inequality：

結合II1～II4，我們可以得到如下不等式：

(10)

(11)

類似地，我們也對III1、III2、III3進行估計，對任意t∈(0,T0)：

同樣結合II1～II3可以得到：

(12)

綜上，把(10)、(11)、(12)三個式子相加得：

(13)

y′(t)≤C59y(t)

(14)

這里C59>0的與時間T0有關。

由于y(0)=0，對(14)直接積分可得，在區間(0,T)上y=0，即

因此得出方程(2)的解是唯一。

結合以上三步，最終我們證得了定理1。

2 結束語

本文證明了一類趨化-流體耦合方程組解的局部存在性，主要研究重力對細胞影響(▽·(n▽φ))和趨化力對流體影響(n▽c)這兩項對證明局部存在性的影響。既為此類方程組解的長時間適定性奠定了基礎，也為更為復雜的模型解的局部存在性證明提供了一個方法基礎。顯然，對于這類模型在更高維情形下解的局部存在性還要繼續研究。