薄板結構中聲場的計算研究

吳 沖，王子成

(1.中國科學院 武漢物理與數學研究所，武漢 430071；2.中國科學院大學，北京 100049； 3.武漢中科創新技術股份有限公司，武漢 430206)

板型構件尤其是厚度在6 mm以下的薄板件，無論是在航空航天工業、汽車工業、船舶工業還是在壓力鍋爐、大型化工容器方面均有廣泛應用[1]。平板結構的健康監測問題一直是工業上研究的熱點，然而通常對于其是否健康的判定都需要借助相關無損檢測儀器與專用的檢測技術。如果基于實際試驗進行開發，通常成本較高且對于材料及研究經費都會造成一定的浪費。采用計算機仿真技術模擬檢測過程，一方面可以對于上述問題進行較深入的分析研究，從而找到最佳檢測方法，另一方面還能與已有檢測設備的結果進行對比，提高改善設備的檢測性能。目前，國內外對于超聲檢測模擬仿真軟件的開發都已進行一定的研究[2]，國內主要基于聲線方法的超聲檢測仿真軟件進行開發研究[3]。對于聲場模型的建立與軟件開發研究還相對較少。

理解其相關理論算法基礎對于相應軟件的開發工作尤為重要。數值模擬法可應用于復雜結構中超聲波傳播特性的研究，并在某種程度上驗證理論計算和實驗研究的結果，是超聲無損檢測技術重要的驗證手段[4]。

本文選取應用較廣泛的平板結構即薄板進行實驗，通過有限差分法并利用MATLAB數值分析軟件模擬薄板中聲場的傳播情況。這有助于深入理解二維波動方程以及有限差分法在聲波傳播中的應用。

1 薄板二維空間質點的運動方程

1.1 應變

圖1各向同性彈性固體介質中的兩點A和B，坐標分別為xi和xi+dxi。它們的位移分別為ui和ui+dui，B相對于A的位移是dui，在A、B十分接近時為[5-6]

圖1 相對位移圖

任何剛性的移動不改變介質中任意線段的長度，而形變時總有一些線段的長度會改變，因此可以把位移產生前后線段長度的平方差作為形變的度量，因此由式(1)得到

式中：ηjk為有限應變分量，且ηjk為

通常聲波引起的質點位移及其導數比較小，忽略式(3)的高階量得到無限小應變分量

1.2 波動方程

假設薄板結構A、A′之間為質點位移，如圖2所示，由式(4)得到薄板的應變量分量

圖2 薄板結構圖

式中：εij為應變，ui為質點位移。由于研究對象為薄板即板厚趨于零，因此得到εyz=0；εzx=0。

由各向同性介質的廣義胡克定理，得到薄板各方向的應力張量[5]

式中：σij為應力，λ、μ為拉密系數。

平面應變情況下，薄板的邊界條件為

由式(6)中第3行

由式(7)得到板厚應變和板內應變的關系

由x方向運動方程，應力梯度和外力使質點產生加速度

式中：fx為單位面積元的激勵即外力分量，T為薄壁板厚度。

聯立式(5)至式(9)得x方向的運動方程為

同理，可得到y方向的運動方程為

2 有限差分法

有限差分法用于求解由偏微分方程或積分方程描述的物理科學各學科的復雜問題。有限元法的一個特點是將被分析區域離散為一定數量的較小的子區域，稱為有限元，在其中尋求由均勻間距節點上的多項式近似描述的解[7]。

差分方程可以看做是原始方程按泰勒級數展開的有限項近似[8]。根據泰勒級數不停近似的截取方式，差分格式可以分為3種格式

Lax-Friedriches格式。

Leap-Forg格式。

Crank-Nicholoson格式。

式中：Δt、Δh分別為時間步長、空間步長。

方程等號兩邊的差分在空間和時間上都應該取在相同的離散點上，才能確定計算中不發散[9]。分析上述3種格式，只有式(13)符合條件。

3 數值仿真

3.1 仿真對象相關參數

激勵信號的函數為[10-11]

式中：A為激勵信號幅值，H(t)為階躍函數，fc為中心頻率，N為波峰數，w=2πfc。

加載信號以加載力的方式進行，幅值大小為200 N，以中心頻率70 kHz為例，得到如圖3所示的激勵信號在時域中的波形圖。

圖3 激勵信號波形圖

本次仿真選用材料為鋼材，其密度ρ=7.8×103kg∕m3，縱波速度為cL=5.4 × 103m∕s，橫波速度為cT=3.2×103m∕s。板材結構如圖2所示，為周長等于200 mm的正方形薄板。

3.2 波動方程有限差分

將式(10)按差分格式(13)進行有限差分，其模型見圖3。從圖中可看出，該波動方程有限差分化簡后在時間上取5層，在二維空間上對各座標軸也分別取5個離散點。得到x方向驅動時波動方程的差分格式

圖4 ux波動方程模型

采用同樣方法可得到y方向分量振動時波動方程的差分格式。

為保證計算結果的精確度，有限元模型的空間步長、時間步長應分別滿足[12]

式中：λmin為介質傳播的所有波種最小波長，Δs為最小單元邊長，c為介質中的波速。本次實驗中網格尺寸為2 mm，時間步長0.3μs。

3.3 結果分析

基于以上理論基礎，運用matlab數值模擬仿真軟件編程，得到混合驅動時聲場傳播情況、x方向振動分量聲場傳播情況以及y方向振動分量聲場傳播情況，聲波聲場圖為振動聲場，圖5至圖7分別為20 μs時對應的聲場快照圖。

通過聲場快照圖，首先可較清晰地看到薄板結構中縱波(CL)傳播方向與偏振方向平行、橫波(CT)傳播方向與偏振方向垂直的現象，如圖6、圖7所示；其次，可明顯觀察到激勵信號在薄板中同時產生不同方向的傳播分量，并且在時間為20μs時可明顯看出縱波已經出現了反射疊加聲場的變化情況，如圖5所示。仿真結果基本符合實際固體中的聲場傳播情況，聲場的分布情況也與文獻[13] 中用光彈法所測得的聲場分布情況基本一致。

圖5 聲波聲場模擬圖

圖6 x方向振動分量聲場模擬圖

圖7 y方向振動分量聲場模擬圖

4 結語

直接利用相關波動方程分析對聲場欠缺實質性的理解，不同于已有的研究[3,12,14-15]，本文通過薄板的應變、應力得到各方向波動方程，然后借助有限差分法對x、y方向的波動方程進行有限差分，最后對聲場分別進行數值仿真模擬，并通過對比分析可知，實驗結果與實際基本相符。又根據文獻可知，當薄壁管半徑與管厚滿足時，管材可近似按同厚度薄板進行導波分析[16]。因此該算法研究對薄壁管導波模擬仿真軟件的開發具有重要的理論參考價值。