基于節點里茲勢能主自由度的結構動態縮減方法

毛虎平，高鵬飛

（中北大學 能源動力工程學院,太原 030051）

復雜結構動力學分析需要對巨大自由度的模型進行計算，當高頻激勵力作用時，要求計算步長非常小，這將造成計算耗時指數級增加。為了提高計算效率，可在保證一定精度的情況下，用少量自由度模型代替大量自由度模型，即模型縮減。所謂模型縮減是通過一定的變換，將對總體結構動力學分析影響較小的次自由度用對總體結構動力學分析影響較大的少量自由度表示，達到減少自由度的目的，其中少量自由度就是主自由度。然而如何從龐大的自由度中選擇主自由度，目前在結構動力學領域仍屬極具挑戰性的問題。不過學術界目前提出一些選擇主自由度的原則，最具代表性的有：

(1)將結構振動方向定為主自由度；

(2)在質量或轉動慣量相對較大而剛度又相對較小的位置選擇主自由度；

(3)在施加力或非零位移的位置選擇主自由度。

這些原則在具體選擇主自由度時，僅僅是指導思想，隨意性較大。主自由度的位置和數目直接影響模態分析縮減質量矩陣的精度。針對無阻尼系統的各種有效合理PDOFS選擇方法不能直接推廣到阻尼系統中的問題，提出基于自由度能量分布比值的阻尼系統PDOFs選擇方法，并通過算例說明了該方法的有效性和可靠性[1]。由于結構的動力行為受低階模態控制，不需要計算系統的所有特征值，提出了一種單元級能量估計方法，建立了簡化的有限元模型，該方法有效地節省了計算時間，并能準確預測全局系統的特征值[2]。羅虹等[3]提出2種主自由度選擇方法，以單層懸臂梁為對象分析了這2種方法的特點和適用范圍。劉孝保等[4]對多種主自由度選擇方案進行了分析研究，表明結構靜態縮減模態分析中誤差的最大影響因素是主自由度數量和分布，特別是主自由度分布。包學海等[5]以轉向架為分析對象，提出了選取主自由度的部分準則。

在選擇主自由度后，面臨的問題就是模型縮減。最早的模型縮減法是Guyan[6]提出的，稱為Guyan縮減法，也稱為靜態縮減法。該方法忽略了自由度相關的慣性項和阻尼項，質量矩陣、剛度矩陣、狀態向量和載荷向量均被分為主自由度和次自由度兩個部分，然后經過矩陣變換，用包含主自由度的部分表示包含次自由度的部分。考慮慣性項，就產生了改進的縮減方法，通過Guyan縮減法獲得慣性項，其結果與整體結構模態更加接近[7-8]。通過能量估計選擇候選元素來構建簡化系統，在所選元素關聯的候選自由度中通過依次刪除來選擇主自由度，該方法有效地節省了計算成本，并能從最低頻率到截尾頻率范圍內恢復整個系統的高精度特征值[9]。在模態疊加法中，所求的需要疊加的模態與載荷完全沒有關系，實質上有些模態可能貢獻很小，因此可以考慮用里茲向量疊加，因為里茲向量更能體現結構動態特性[10]。將簡化系統與子域方案相結合，對每個子域進行尺寸與形狀優化，由于在每個子域中都采用了約簡方案，因此該方案對大規模問題的設計優化問題非常有效[11]。針對Guyan縮減法的不足，提出了改進的思路并推導了相關公式[12]。將里茲向量疊加與靜態子結構法結合起來，形成了動力分析的子結構方法[13]。在工程結構損傷識別中應用逐級近似模型縮聚法，采用改進Guyan遞推縮聚法的一級縮聚模型獲得識別精度最高的結果[14]。提出了一種求解特征問題迭代凝聚的加速方法，采用序列消除法或能量法選擇主自由度，并尋求了不同縮聚過程中方程的系統推導和比較，矩陣更新不僅包含了逆迭代，還隱含了子空間變換[15]。用結構各階模態的DC增益作為其價值判斷的準則，進行模態截斷并實現模型縮減[16]。

通過文獻分析可以看出，人們對結構動態縮減法以及對其影響最大的主自由度的選擇方法均進行了大量研究，然而主自由度的選擇一直以來沒有一種確切的精度高的方法，鑒于此，本文提出一種基于節點里茲勢能主自由度的結構動態縮減方法，利用里茲向量與結構自身動態特性和結構所承受的載荷分布形態相關聯的特點，定義了節點里茲勢能的概念，并在此基礎上給出加權系數的公式，將兩者點乘獲得了節點里茲勢能向量，以其為依據選擇主自由度，最后用改進的動態縮減方法獲得小規模的結構動力方程并求解。

1 節點里茲勢能計算及主自由度選擇

模態疊加法是計算結構動態響應的一種有效方法，其利用振型的正交性將動力學方程解耦，分別求解每一個方程再疊加起來。然而在參與計算的模態中，有些對響應影響較小，這是因為振型與結構所受載荷分布方式無任何關系。里茲向量是一組正交的并與載荷空間分布有關的向量，其是通過將質量矩陣歸一化并正交化獲得的，能夠反映慣性力的影響。里茲向量構造過程如下：

（1）求初始向量{x1}。其可通過對[M] 歸一化處理獲得，即

其中：

（2）構造迭代式。

里茲向量與模態向量是相對應的，在前k階里茲向量里分別取p1,p2,…,pk個最大里茲向量分量對應的自由度，將其組合并刪除重合項，獲得最終的主自由度，這稱為基于里茲向量的主自由度選擇方法。

節點里茲勢能是指將模態空間轉換到里茲向量空間，用里茲向量與節點自由度質量向量點乘而得到的勢能向量。節點質量是將質量矩陣每一行元素求和作為結構有限元節點自由度的質量。選取節點里茲勢能向量較大的分量對應的自由度作為主自由度。然而這樣做會過分強調低階頻率，并忽略高階頻率，因此可以通過定義加權系數來減低計算結果過分集中于低階頻率的問題。節點里茲勢能計算公式如下

2 構造縮減系統

其中：[K] 為n階剛度矩陣，[M] 為n階質量矩陣，ω

其中：φp為主自由度對應的特征向量；φs為次自由度對應的特征向量；下標p表示主自由度對應的量，下標s表示次自由度對應的量。

結構穩態簡諧響應可表示為

其中：Ω為簡諧激勵力頻率，f為激勵力。

如果fs=0，根據式（12）可以獲得精確的縮減關系

應用二項式定理將式(13)展開并省略2階Ω以上的項可得

當Ω=0時

那么，靜態縮減轉換矩陣為

通過以下近似來消除Ω

3 基于節點里茲能量主自由度的結構動態縮減實施

圖1說明了節點里茲能量主自由度的結構動態縮減流程，其實施步驟如下：

(1)構造里茲向量。通過式（1）至式（5）構造里茲向量，第1個里茲向量可以通過質量矩陣對角元素與剛度矩陣逆矩陣相乘，并與質量矩陣歸一化獲得。

(2)計算節點里茲勢能。節點里茲勢能由節點質量與里茲向量對應的分量乘積獲得，其表示結構動態特性的貢獻率，較大者說明貢獻大，較小者貢獻小，因此將此作為選擇主自由度的依據。然而，這樣做過分強調低階頻率，通過定義加權系數可以提高高頻的精度。

(3)主自由度選擇。通過式（6）計算獲得節點里茲勢能向量，選擇其分量較大者作為主自由度。

(4)構造縮減系統。通過IRS方法，在靜態縮減法的基礎上，考慮結構慣性力，該慣性項能使模態結果更加逼近完整模型的模態，它采用靜態縮減法獲得。式（20）是最重要的轉換矩陣，式（8）至式（19）為其推導過程。

(5)采用廣義Schur分解法[17]求解該矩陣。對于任意n階矩陣A，存在一個酉矩陣U，使得U′AU成為上三角矩陣，且該上三角矩陣的對角線元素為A矩陣的特征值，利用該性質進行縮減系統求解。

4 實例分析

4.1 圓柱曲板

圓柱形曲板半徑為100 mm，高為100 mm，兩側端固定，彈性模量為0.3 MPa，泊松比為0.3，密度為0.01 kg/m3，采用SHELL63單元，共有216單元，247個節點，1326個自由度，如圖2所示。

根據里茲向量和節點里茲勢能選擇主自由度，并將與主自由度相連的單元顯示出來（其中顏色較深的為主自由度對應的單元），圖3為選擇90個主自由度時2種方法的不同效果。

圖1 基于節點里茲能量主自由度的結構動態縮減流程

從圖3可以看出，基于里茲向量法選擇的主自由度過于向結構中心集中，這是過分強調低頻的一個重要表現；而基于節點里茲勢能法選擇的主自由度大部分也集中在結構中心，但有一部分主自由度向兩側擴散，這可能是提高高階固有頻率的一個重要現象。如圖4所示。

圖2 圓柱曲板幾何參數

圖3 圓柱曲板上選擇主自由度對應的單元

圖4 根據不同主自由度選擇方法所得圓柱曲板計算結果相對誤差比較

從圖4可以看出，在選擇相同主自由度數的情況下，任意選擇主自由度誤差太大，而基于里茲向量法選擇主自由度誤差非常小，在前30階模態中，最大相對誤差不超過10%，然而基于節點里茲勢能法選擇主自由度誤差最小，在前30階模態中，最大誤差3%。

表1是對應的固有頻率數值，從中可以看出本文方法的優勢。如圖5所示。

從圖5可以看出，本文方法選擇不同主自由度數時，結構模態的相對誤差變化隨著自由度數量的增加越來越小，當主自由度數為450時，前30階模態相對誤差最大不超過2%；另一方面，自由度數量增加相同，而結構模態相對誤差減小得越來越慢，450個自由度大約是全部自由度數的1/3，如果繼續增加主自由度數，雖然可以繼續減小誤差，然而對于工程應用來說意義不大，因此在使用本方法時只要誤差滿足精度要求即可。

表1 根據不同算法所得圓柱曲板模態比較（400個主自由度）

4.2 曲軸

曲軸軸徑為6 mm，曲柄直徑為4 mm，曲柄長4 mm，曲軸總長34 mm，兩端固定，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7850 kg/m3，采用十節點四面體結構實體SOLID92單元，共有1022個單元，2127個節點，6231個自由度，如圖6所示。

圖5 根據不同主自由度數所得圓柱曲板計算結果相對誤差比較

圖6 曲軸幾何參數

圖7是根據2種方法選擇的500個主自由度對應單元（顏色較深的單元），從中可以看出，基于里茲向量法選擇的主自由度集中在結構中部，而基于節點里茲勢能法選擇的主自由度從中部向兩端擴散，而且非常明顯。

圖7 所選擇曲軸主自由度對應的單元

圖8是采用隨機選擇、基于里茲向量法和基于節點里茲勢能法分別選擇1800個主自由度并用IRS法構造的縮減系統，求解獲得的曲軸模態相對誤差，可以看出，隨機選擇不可行，基于節點里茲勢能法選擇主自由度結果相對誤差最小，前30階模態中，最大相對誤差不超過10%，而基于里茲向量法選擇主自由度雖然優于隨機選擇方法，但前30階的相對誤差中，最大誤差超過20%。

圖9為基于節點里茲勢能法選擇不同數量的主自由度的計算結果，進一步說明隨著主自由度數量的不斷增加，結構模態相對誤差不斷減小，但是減小的幅度越來越小，而主自由度數為2000時，在前30階中，結構模態相對誤差最大不超過5%。

表2提供圖8對應的具體數據，更能從數值上看到本文方法的優勢。

表2 模態計算比較（2000個主自由度）

圖8 根據不同選擇主自由度方法所得曲軸計算結果相對誤差比較

圖9 根據不同主自由度數所得曲軸計算結果相對誤差比較

5 結語

本文通過里茲向量法和節點里茲勢能法選擇主自由度，并采用改進縮減法構造縮減系統，最后應用廣義Schur分解法求解，通過圓柱曲板和曲軸分析說明了基于節點里茲勢能法選擇主自由度方法的有效性，并獲得以下結論：

(1)將模態空間轉換到里茲向量空間，可以用很少的幾個里茲向量捕捉到非常精確的動態特性。由于其過分強調低階頻率，需進一步通過定義加權系數來提高高階頻率的精度。

(2)節點里茲勢能法比里茲向量法能捕捉到更加合適的主自由度，從而能更好地反映結構動態特性，在同等條件下，能獲得更高的精度，為下一步高效的動態響應優化奠定基礎。

(3)在結構縮減中，用大約1/3的主自由度數量比較合適，如圓柱曲面板總自由度數為1326，而取450個主自由度獲得了前30階模態相對誤差不超過2%的精度；曲軸總自由度為6231，取2000個主自由度獲得前30階模態相對誤差不超過5%的精度。