無限大單板和空腔雙板隔聲量研究

黃夢(mèng)情，陳美霞

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

無限大以及有限大單板和空腔雙板結(jié)構(gòu)[1-2]是隔聲領(lǐng)域中常用的研究對(duì)象，比較有代表性的是單雙層墻的隔聲性能和質(zhì)量定律[3-4]。

波傳遞法是一種非常經(jīng)典的計(jì)算無限大板隔聲量的方法[3]。它可以計(jì)算單層板、雙層板甚至是多層板的隔聲量[5-6]，但該方法也有自身的局限性[4]。當(dāng)中間固體層比較薄時(shí)，可認(rèn)為中間層中只有縱波傳遞，此時(shí)波傳遞法才能適用于斜入射。

除波傳遞法外，還將介紹另一種方法，這里將它稱為“結(jié)構(gòu)彎曲波法”。結(jié)構(gòu)彎曲波法是將板的橫向位移采用無限大板的形式[7]表示，再結(jié)合相應(yīng)的法向速度連續(xù)性條件，代入板的振動(dòng)控制方程，最后求解得到板結(jié)構(gòu)的隔聲量。

本文將采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法對(duì)無限大單板和雙板的隔聲量進(jìn)行研究，得出2種方法的等效條件并對(duì)隔聲量曲線的谷值點(diǎn)進(jìn)行分析。

1 波傳遞法理論推導(dǎo)

1.1 無限大單板隔聲的波傳遞法理論推導(dǎo)

在圖1中，d表示媒質(zhì)層Ⅱ的厚度。

沿空間任意方向行進(jìn)的平面波表達(dá)式為

因此媒質(zhì)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ中的聲場可表示為：

媒質(zhì)Ⅰ：入射波α=θi，β=90°-θi，γ=90°

媒質(zhì)Ⅱ：折射波α=θ2t，β=90°-θ2t，γ=90°

反射波：α=π-θ2r，β=90°-θ2r，γ=90°

媒質(zhì)Ⅲ：折射波α=θ3t，β=90°-θ3t，γ=90°

結(jié)合z=0和z=d處的聲壓連續(xù)與法向質(zhì)點(diǎn)速度連續(xù)條件以及聲波反射和折射定律，可得聲壓透射系數(shù)

從而可得出聲強(qiáng)透射系數(shù)tI

式中：

采用透射系數(shù)的倒數(shù)，并用分貝表示隔聲量可得

1.2 空腔雙板隔聲的波傳遞法理論推導(dǎo)

在圖2中，d表示媒質(zhì)層Ⅱ和Ⅲ的分界面，D表示媒質(zhì)Ⅲ和Ⅳ的分界面。

圖2 空腔雙板的波傳遞法示意圖

針對(duì)圖2所示的無限大空腔雙板，波傳遞法的理論推導(dǎo)過程基本與1.1小節(jié)類似，因此對(duì)于聲波透過空腔雙板，計(jì)算得到的聲強(qiáng)透射系數(shù)tI可表示為

其中：R1、R2、R3和R4分別表示為

上式中的波矢分量k′和法向阻抗Zs的具體表達(dá)式為

2 結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

2.1 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

對(duì)于斜入射平面簡諧聲波，它的聲壓速度勢函數(shù)可表示為

圖3 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法隔聲示意圖（空間視圖）

圖4 無限大單板的結(jié)構(gòu)彎曲波法隔聲示意圖（正視圖）

在式(11)中：I為幅值，ω為角頻率，kx、ky和kz分別為入射聲波在x、y和z方向上的波數(shù)分量：kx=k0sinφcos?，ky=k0sinφsin?，kz=k0cosφ。其中k0=，為入射域中聲波的波數(shù)，c0為聲波在入射域中的聲速，φ和?分別為俯仰角和方位角。

在入射聲波的激勵(lì)下，無限大薄板結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)，向外輻射聲波，其聲振耦合振動(dòng)控制方程為

上式中ρ0為空氣密度；ω、D0以及m分別為無限大板的橫向振動(dòng)位移、彎曲剛度和面密度。

入射聲場和輻射聲場的速度勢函數(shù)可分別表示為

上式中入射聲場中包含了入射聲波和反射聲波的速度勢。

同時(shí)，將無限大薄板的橫向位移表示為

空氣和薄板交界面處的邊界條件為空氣質(zhì)點(diǎn)和板質(zhì)點(diǎn)的法向速度相等，相應(yīng)的連續(xù)條件為：在z=0處有

將式(13)代入式(15)中可得系數(shù)幅值關(guān)系式

將式(13)和式(14)代入式(12)中，可得

再將式(16)代入式(17)中，可進(jìn)一步簡化為

將式(18)代入式(13)，便可以得到入射聲場和輻射聲場的速度勢。聲壓速度勢和聲壓的關(guān)系為

根據(jù)式(13)和式(19)，入射和輻射波的聲壓為

由于左右兩側(cè)均為空氣，故聲強(qiáng)透射系數(shù)tI可表示為

2.2 空腔雙板隔聲的結(jié)構(gòu)彎曲波法理論推導(dǎo)

在入射聲波的激勵(lì)下，無限大空腔雙板發(fā)生振動(dòng)，并向外輻射聲波，其聲振耦合振動(dòng)方程為

上式中：ρ0為空氣密度以及分別為入射板和輻射板的橫向振動(dòng)位移、彎曲剛度和面密度。

入射聲場、空腔聲場和輻射聲場的速度勢函數(shù)可分別表示為

同時(shí)，無限大雙板的橫向位移可表示為

結(jié)合z=0和z=H處的連續(xù)性條件

圖5 結(jié)構(gòu)彎曲波法的空腔雙板隔聲示意圖

將式(23)代入式(25)中可得到如下的系數(shù)幅值關(guān)系式

將式(23)和式(24)代入式(22)中，可簡化振動(dòng)控制方程

將式(26)代入式(27)，可將其進(jìn)一步化簡為

其中

最后的聲強(qiáng)透射系數(shù)為

3 無限大單層板隔聲量對(duì)比分析

3.1 計(jì)算無限大單板隔聲量的2種方法對(duì)比

單板采用鋁材料，密度為2700 kg/m3，縱波聲速為6260 m/s，泊松比為0.33，彈性模量為70×109N/m2，板厚取為0.01 m，兩邊介質(zhì)都是空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s，分別針對(duì)聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況，得到對(duì)比結(jié)果如圖6、圖7和圖8所示。

圖6 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的單層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波垂直入射，10000 Hz）

圖7 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的單層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波30o斜入射，10000 Hz）

圖8 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法單層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波70o斜入射，10000 Hz）

從圖6、圖7和圖8中可以看出：當(dāng)聲波垂直入射時(shí)，基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果在0～10000 Hz范圍內(nèi)，吻合得很好；當(dāng)聲波斜入射時(shí)，在低頻范圍內(nèi)，兩種方法吻合得比較好，但是進(jìn)入中高頻時(shí)，會(huì)出現(xiàn)板的吻合頻率，2種方法計(jì)算的隔聲量曲線吻合得很差。

同時(shí)，在聲波斜入射的情況下，波傳遞法無法捕捉到板的吻合頻率，而結(jié)構(gòu)彎曲波法可以捕捉到板的吻合頻率。這種情況下，基于結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確一些。

3.2 聲波垂直入射時(shí)2種方法的等效條件

聲波垂直入射時(shí)，基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計(jì)算出的隔聲量曲線幾乎重合，但是這2種方法的理論機(jī)理是不一致的，因此本小節(jié)將探討2種方法的等效條件。

將2種方法的變量進(jìn)行統(tǒng)一處理后，聲強(qiáng)透射系數(shù)可分別表示為

在式(30)和式(31)中，ρ0和c0為空氣的密度和聲速；ρ1和c1為板的密度和聲速；h為板厚；ω為入射聲波圓頻率；tI_W和tI_B分別表示基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的聲強(qiáng)透射系數(shù)。

根據(jù)式(30)和式(31)，化簡得

將式(32)和式(33)進(jìn)一步化簡，得出等效條件

在式(34)中λ表示入射聲波的波長。從式(34)中可以看出：當(dāng)板的特性阻抗遠(yuǎn)大于空氣的特性阻抗，同時(shí)入射波長與板厚的比值遠(yuǎn)大于空氣聲速與板中聲速之比的2π倍時(shí)，波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計(jì)算出的隔聲量曲線基本是吻合的。此時(shí)，在聲波垂直入射條件下，2種方法是等效的。

當(dāng)入射聲波頻率非常高時(shí)，入射波長與板厚的比值變得很小，不再滿足的條件時(shí)，這種情況相當(dāng)于板厚變得很大，薄板條件不再滿足，板厚對(duì)聲波的傳遞影響很大，破壞了結(jié)構(gòu)彎曲波法的成立條件。對(duì)于波傳遞法而言，聲波的波長短一些，相當(dāng)于介質(zhì)層變厚，這依舊滿足聲波在介質(zhì)交界面處和介質(zhì)層中的傳遞條件，因此高頻聲波對(duì)波傳遞法的影響較小，它計(jì)算出的隔聲量基本可靠。

當(dāng)不滿足ρ1c1＞＞ρ0c0條件時(shí)，也即周圍流體對(duì)板的反作用變得很顯著，這時(shí)不能忽略周圍流體對(duì)板的影響，同時(shí)板自身也可能不再滿足薄板條件。例如：較厚的復(fù)合材料板在空氣中的隔聲；有機(jī)玻璃板在水中的隔聲；特性阻抗相差不大的各層板之間的隔聲。在這種情況下，結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果存在不準(zhǔn)確性，而波傳遞法依舊能適應(yīng)這種變化。

3.3 無限大單板隔聲量的谷值分析

當(dāng)聲波斜入射時(shí)，無限大單板的隔聲谷值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為板的吻合頻率。薄板吻合頻率[8]為

在式(35)中E和v為板的彈性模量和泊松比。

根據(jù)式(35)，計(jì)算出無限大單板的吻合頻率為4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o)，與圖7和圖8中的隔聲谷值對(duì)應(yīng)的頻率4810 Hz(30o)和1362 Hz(70o)完全一致。

上面的計(jì)算對(duì)比說明：在聲波斜入射時(shí)，采用結(jié)構(gòu)彎曲波法能夠捕捉到薄板的吻合頻率。

4 空腔雙板隔聲量對(duì)比分析

4.1 基于2種方法所得的空腔雙板隔聲量對(duì)比

雙板均采用鋁材，密度為2700 kg/m3，縱波聲速為6260 m/s，泊松比為0.33，彈性模量為70×109N/m2，板厚為0.002 m，中間層厚度為0.0215 m，兩邊和中間為空氣，密度為1.21 kg/m3，聲速為343 m/s，分別針對(duì)聲波垂直入射以及30o和70o斜入射3種情況，得到如下的對(duì)比結(jié)果：

在圖9、圖10和圖11中，實(shí)心圓代表“板-空腔-板”的共振頻率；實(shí)心矩形代表空腔的駐波共振頻率；實(shí)心三角形代表板的吻合頻率。

從圖9中可看出：當(dāng)聲波垂直入射時(shí)，波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法得出的隔聲量曲線基本吻合。

圖9 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的雙層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波垂直入射，50000 Hz）

當(dāng)聲波斜入射時(shí)，在低頻范圍內(nèi)，波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果吻合得比較好；當(dāng)進(jìn)入中高頻范圍內(nèi)時(shí)，出現(xiàn)駐波谷值和板的吻合頻率隔聲低谷，2種方法計(jì)算出的隔聲量曲線不再吻合。波傳遞法可以捕捉到“板-空氣-板”共振頻率和駐波頻率，但是無法捕捉到板的吻合頻率，而結(jié)構(gòu)彎曲波法可以捕捉到以上3種隔聲谷值的頻率。

圖10 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法雙層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波30o斜入射，50000 Hz）

圖11 基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的雙層板結(jié)果對(duì)比圖（聲波70o斜入射50000 Hz）

4.2 聲波垂直入射時(shí)2種方法的等效條件

對(duì)于無限大空腔雙板結(jié)構(gòu)，聲波垂直入射時(shí)的等效條件和無限大單板的等效條件一樣，如式(34)所示。當(dāng)不滿足垂直入射的等效條件時(shí)，分別采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計(jì)算空腔雙板結(jié)構(gòu)的隔聲量，2種方法得出的隔聲量曲線不能完全吻合。

4.3 空腔雙板隔聲量的谷值分析

首先，分析“板-空腔-板”共振頻率，即實(shí)心圓標(biāo)記出的谷值頻率。當(dāng)聲波穿透沒有任何連接結(jié)構(gòu)的無限大空腔雙板結(jié)構(gòu)時(shí)，中間密封的空氣腔對(duì)聲傳播起了重要的作用。此時(shí)，可將中間密封的空氣層近似視為一個(gè)彈簧，它能夠?qū)⑷肷浒宓恼駝?dòng)傳遞到輻射板。中間空氣層的等效剛度[3,9]為

根據(jù)式(37)，計(jì)算出“板-空腔-板”的共振頻率：249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o)；采用本文2種方法計(jì)算的值為249 Hz(0o)、287 Hz(30o)和728 Hz(70o)；兩者的結(jié)果完全吻合。從前面的計(jì)算結(jié)果可看出：波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能準(zhǔn)確地計(jì)算出“板-空腔-板”的共振頻率。

接下來，分析空氣腔的駐波頻率，即實(shí)心矩形標(biāo)記的谷值頻率。空氣腔中的駐波頻率可以由駐波的發(fā)生條件求得

在不同入射俯仰角下，“板-空腔-板”的共振頻率是不一樣的，該共振頻率的計(jì)算公式為[10]

其中：φ2為中間層的透射波與板面的夾角，這里用入射聲波的入射角φ近似代替

根據(jù)式(39)可計(jì)算聲波入射角不同時(shí)的駐波共振頻率。取2個(gè)共振谷值作對(duì)比，式(39)的理論計(jì)算值為 18421 Hz(30o，n=2)、23322 Hz(70o，n=1)；結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果為18432 Hz(30o，n=2)、23320 Hz（70o，n=1）；波傳遞法計(jì)算的結(jié)果為 18426 Hz(30o，n=2)、23350 Hz(70o，n=1)。從上面的對(duì)比結(jié)果可看出：波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能指示出空氣腔的駐波共振頻率。

最后討論空腔雙板模型中板的吻合頻率，即實(shí)心三角形標(biāo)記出的谷值頻率。這里，同樣根據(jù)無限大單板吻合頻率的計(jì)算式(35)，可得到空腔雙板的吻合頻率為24051 Hz(30o)和6809 Hz(70o)，與圖10和圖11中的隔聲谷值頻率點(diǎn)24056 Hz(30o)和6809 Hz(70o)基本一致。

5 結(jié)語

對(duì)于無限大單板和空腔雙板2種結(jié)構(gòu)，當(dāng)聲波垂直入射時(shí)，基于波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法的隔聲量計(jì)算結(jié)果幾乎一致；當(dāng)聲波斜入射時(shí)，由于板彎曲波的影響不能忽略，因此基于結(jié)構(gòu)彎曲波法計(jì)算出的隔聲量更準(zhǔn)確一些。波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法均能捕捉到“板-空腔-板”共振頻率和駐波共振頻率。同時(shí)，結(jié)構(gòu)彎曲波法還能捕捉到板的吻合頻率，而波傳遞法不能捕捉到該頻率。

綜上，針對(duì)薄板結(jié)構(gòu)，當(dāng)聲波垂直入射且滿足等效條件時(shí)，采用波傳遞法和結(jié)構(gòu)彎曲波法計(jì)算得到的隔聲量基本是一致的；當(dāng)聲波斜入射時(shí)，波傳遞法的計(jì)算結(jié)果在稍中高頻范圍內(nèi)顯得不可靠，主要是因?yàn)椴▊鬟f法沒有考慮板結(jié)構(gòu)彎曲波的影響，所以結(jié)構(gòu)彎曲波法的計(jì)算結(jié)果相對(duì)可靠一些。