薄壁結構件銑削變動態特性分析

何恩元，任 松，龍新華

(1.上海拓璞數控科技股份有限公司，上海 201111；2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

薄壁整體結構件在航空航天領域、飛機工業領域得到了廣泛的應用。然而，這些薄壁件的制造過程面臨著巨大的挑戰。在較低的剛度下，切削力會導致工件產生較大的變形，也可能發生顫振。此外，銑削加工分析的另一個難點是其變剛度特性，這涉及到兩個方面：一個是刀具切削點的進給運動，另一個是加工過程中的材料去除現象。因此，對變形或者穩定性分析需要對銑削加工過程中切削位置的模態參數或者傳遞函數進行有效計算。

如果在加工過程的每一個切削點位置都進行幾何模型的建立和網格的重新劃分，其工作量必然較大。為了提高計算效率，學者們從各個角度進行了改進研究。Altintas等[4]、Yang等[5]提出了基于結構修改法的材料去除特性預測模型。萬敏等[6]根據加工切屑量，對初始有限元網格進行修正，從而得到其材料去除之后的工件特性。也有利用梁、板理論建立的模型，其半解析的表達式具有較高的計算效率[7]。

在之前的研究中[8-9]，薄壁結構件的銑削加工振動問題被視作是板殼結構件在切削力作用下的振動問題，研究取得了一定的結果。其材料去除特性被視作是具有階梯厚度的Kirchhoff薄板的組合體結構。為了進一步使薄壁銑削加工振動模型精細化，本文提出了基于三維彈性理論的薄板銑削加工的材料去除特性模型。由于考慮了工件在厚度方向的動力學特性，模型可以同時應用于粗銑、半精銑和精銑的加工狀態。

未加工件被視作由一系列子結構堆疊而成，子結構界面邊界條件滿足位移連續性條件，這由修正變分原理保證。材料去除被離散成各個子結構逐漸移去的過程。通過有限元方法驗證了模型有效性。同時，雖然是基于板結構件建立的模型，根據文獻[9] 的結果，可以自然推廣到整體框結構的銑削加工動態分析中。

1 基于區域分解的板結構建模

板結構是薄壁整體工件的一個基本構件，在航空航天領域較為常見。在其銑削加工過程中，材料隨著加工過程的進行而持續去除，這會導致質量和剛度矩陣的實時更新。為了研究這種材料去除的動態特性，仿照文獻[8-9] 的思路，去除的材料被視作一個原始工件的子結構，并忽略其相對振動，如圖1所示，接下來給出建模分析的過程。

圖1 材料去除過程

1.1 板振動模型

對于銑削加工的板件，笛卡爾坐標系統標注在圖1中。

坐標系原點處于板件的左下角點，假設工件是線彈性、各項同性的材料，并且加工變形相對于其幾何尺寸來講是一微小量。在坐標為（x,y,z）處，t時刻沿著坐標軸X，Y，Z方向的振動分別標記為u(x,y,z,t)、v(x,y,z,t)和w(x,y,z,t)。

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在板銑削加工過程中，一矩形塊的材料從未加工工件移除，如圖2右上角所示。材料去除之后，加工板件在幾何上變得相對復雜，從而使得建模變得困難。為了簡化建模過程，加工板件被劃分成一系列的子結構，如圖2所示。

在圖2的子結構分解模型中，每一個子結構看成是獨立的，且有其獨立的位移場變量。在各個子結構分界面上，連續性條件是各子結構位移場一致。因此，沿著坐標軸X、Y和Z方向可得

圖2 加工件子結構分解模型

式中：i、j、k分別代表各子域沿著X、Y和Z坐標軸的方向編號。

根據文獻[9] 的結果，結構的振動對應著一能量泛函取極值，根據修正變分原理，放松子結構分界面連續性條件的無約束能量泛函可以表示成

式中：Ti、Ui、Wi分別表示板結構動能，勢能和外力做功。

薄板的動能表示為

薄板的勢能表示為

修正變分原理的核心是將約束條件引入到泛函中，也就是式(2)右邊的第二項積分。其表達式為

將式(5)代入到式(2)中，對未知場變量u、v、w求變分運算，可以求得拉格朗日乘子，就是對應分區界面上的應力分量。

由于子結構之間的連續性條件已經得到滿足，式(2)就變成了一無約束泛函。不失一般性，將每一個子結構內的位移場變量用車比雪夫多項式展開。對于一坐標點為( )xˉ,yˉ,zˉ，t時刻沿著X、Y和Z方向的振動位移可以寫成

將式(6)代入無約束能量泛函式(2)中，類似于文獻[9] 中的思路，對時間坐標求變分運算，最后令其系數等于0，就可以得到離散化方程為

得到離散化控制方程之后，令式(7)右邊的廣義力等于 0，并且假設工件做單頻諧波振動就可以得到求解固有頻率的特征方程

對式(8)求解可以得到固有頻率。再將特征向量代入式(6)中，就可以得到振型。需要強調的是，各子結構的位移場變量是使用正交多項式展開的，這也就意味著各坐標點的振型、傳遞函數均有半解析的表達式。

1.2 材料去除建模

而引入的附加剛度矩陣。

如果兩個子結構在幾何上是全等的，那么其對應的質量矩陣和剛度矩陣就是相等的。同時，如果分區界面在幾何上也全等，那么其對應的附加剛度矩陣也相等。所以，為了降低計算量，在進行子結構模型劃分時，應該盡量保證子結構的幾何全等關系。

圖3 結構與矩陣對應關系

子結構分解模型和系統矩陣的對應關系如圖3所示。根據圖3和式(2)所示，每個子結構分別對應著一個質量和剛度矩陣塊。分區界面存在于X、Y和Z3個方向。每個方向的界面存在由于連續性條件

材料去除過程被離散化為各個子結構逐漸去除的過程。在子結構的內部，材料去除忽略不計。這意味著控制方程的階數隨著材料的減少而降低的。質量矩陣和剛度矩陣的更新示意如圖4所示。

可以看到，系統矩陣的更新對應著兩個步驟。第一步，刪除質量矩陣和剛度矩陣對應的塊矩陣；第二步，減去相鄰子結構的附加剛度矩陣。刪除矩陣的操作，可以簡化為對矩陣進行乘法和加法運算。如圖4所示，其對應的乘法變換矩陣為

圖4 矩陣更新過程

在圖4中，對應的加法變換矩陣為

因此，結構每更新一次，只需要對系統矩陣進行上述的乘法和加法運算即可。而工件未切削子結構對應的矩陣則保持不變。

2 結果分析

針對如圖1所示的薄板結構，取一組參數作為模型驗證。不失一般性，假設其尺寸分別為：長L=100 mm，高H=60 mm，厚t=5 mm。首先，針對加工之前的板工件，采用有限元方法分析了其固有頻率。并針對有限元結果隨著自由度數的收斂性問題進行了分析。

不失一般性，板工件的前5階固有頻率隨著總自由度數的變化趨勢如圖5所示。橫坐標表示有限元模型自由度，縱坐標為固有頻率（Hz）

圖5 固有頻率收斂關系

可以看到，當自由度數是11592時，前5階固有頻率分別為 1016.3 Hz、1712.5 Hz、3587.6 Hz、6200.2 Hz、6820.2 Hz。其具體數值隨著自由度的增加，其固有頻率逐漸收斂。特別地，當自由度數為3625236的時候，有限元結果和子結構分解得到的結果對比如表1所示。在子結構分解模型中，沿著坐標軸X、Y、Z3個方向等距劃分了4、3、1個區域。車比雪夫多項式展開的最高階數分別為5、5、3。總體自由度數為4×3×6×6×4×3=5184。可以看到，相對于有限元的自由度，子區域劃分的自由度較少。

表1 固有頻率對比(DOF=3625236)/Hz

在表1中，ff表示有限元得到的頻率結果，fp表示所提出的子結構分解模型的結果。可以看到，兩者給出的頻率結果有較高的契合度。

為了研究子結構分解模型對于考慮材料去除的工件動態特性的預測能力，考慮兩種在切削過程中具有代表性的狀態，如圖6所示。

圖6 兩種材料去除狀態

圖6展示了工件加工過程的兩種典型狀態，即銑削加工之中和加工之后。對于這兩種材料去除狀態，用子區域分解方法得到了低階固有頻率的結果，并采用有限元方法來驗證結果的準確性。

對于圖6第一種的狀態，子區域分解模型和有限元模型得到的固有頻率對比如表2所示

表2 加工過程中頻率對比/Hz

表中：ff表示根據有限元得到的固有頻率（Hz），fp表示根據區域分解方法得到的結果，相對誤差定義為二者差值占有限元結果的百分比重。

對于圖6所示的在一個工步加工之后的狀態，子結構分解模型和有限元模型固有頻率結果的對比見表3。

表3 加工之后頻率對比/Hz

可以看到，子結構分解模型在材料去除之前、之中和之后都可以得到較為精確的結果，從而驗證了模型的正確性。

由于結構的振動模態隨著材料的去除而改變，為了直觀的查看這種變化趨勢，其前3階固有頻率的變化趨勢如圖7所示。

結果表明，第1階固有頻率隨著材料的去除有逐漸升高的趨勢。第2階和第3階頻率隨著加工進行則有一定的起伏。

圖7 固有頻率變化趨勢

3 結語

本文以薄板結構的銑削加工材料去除的動態特性預測為研究對象，基于三維彈性理論建立了其加工動力學方程。由于考慮了板工件在厚度方向的動力學特性，所提出的模型可以用于粗銑、半精銑和精銑的加工過程。

工件被劃分成一系列子結構的的組合體，在每個子結構之內，其位移場用車比雪夫多項式展開，對無約束泛函求極值，得到了其離散控制方程。材料的去除被離散成子結構依次移去的過程，質量矩陣和剛度矩陣的更新被轉換為矩陣的乘法和加法。經有限元方法驗證了模型的準確性，可以模擬加工之前、加工時以及加工之后工件特性的動態變化。

研究結果表明，材料去除會使得第1階固有頻率逐漸升高，而高階頻率則會存在一定的起伏。