基于頻響函數(shù)綜合法的飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)擾動力特性研究

劉奧林，賀曉東，華宏星，2，黃修長，2

（1.上海交通大學 振動沖擊噪聲研究所，上海 200240；2.上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海，200240）

飛輪系統(tǒng)是一種動量交換裝置，一般由飛輪、軸承組件、殼體組成，由內部無刷直流電機驅動，常用于航天器的姿態(tài)控制。飛輪也是航天器平臺振動主要的擾動源之一[1]。由于材料特性、機械設計、磨損或腐蝕不均勻以及加工和安裝誤差，飛輪質量中心和旋轉中心不在同一軸線上，高速轉動時會產生除正常輸出力矩之外的低幅值、寬頻帶的擾動力，激起飛輪系統(tǒng)的多階模態(tài)，對航天器的成像質量、激光通信等產生重要影響[2]。隨著現(xiàn)代航天器向著輕量化、高轉速、大扭矩、高精度等方向發(fā)展，微振動對在軌航天器的影響越來越大，因此有必要對飛輪的擾動力特性加以研究。

在轉子-軸承-基礎的有限元建模的研究方面，國內外學者已經開展多項工作。Kumar D[3-4]指出，對于復雜的轉子結構如渦扇發(fā)動機葉片-轉子系統(tǒng)，傳統(tǒng)的一維梁單元方法精度不夠，甚至二維軸對稱單元也不能很好捕捉其復雜的非均勻幾何特征。Jeon等[5]采用三維實體單元對渦輪泵的轉子-殼體耦合系統(tǒng)進行了分析，并將結果與一維梁單元結果進行了比較，結果表明三維實體單元的結果更加精準。因此，為了獲得足夠的精度，對復雜轉子系統(tǒng)進行建模時應優(yōu)先考慮采用三維實體單元。在飛輪轉子系統(tǒng)動力學建模方面，目前的研究通常將飛輪等效為一個剛性圓盤。周偉勇[6]建立了飛輪-殼體的等效動力學模型，考慮了不平衡質量、結構模態(tài)、軸承不規(guī)則、非線性剛度和寬帶隨機噪聲等因素，分析了各擾動源對擾動力特性的影響。研究結果表明，當激勵中的諧波成分與飛輪的結構模態(tài)互相作用時，會造成擾動力的峰值突出。文中飛輪結構等效為一個剛性圓盤，飛輪的結構模態(tài)為圓盤支撐在軸承組件上的模態(tài)。關新[7]將飛輪轉子結構、殼體、軸承作為獨立的因素，分析了幾種典型擾振源引起的擾動力特性，將飛輪的擾動力特性簡化為由轉子和飛輪殼體的結構模態(tài)引起的擾動放大以及一系列與轉速有關的諧波載荷。

目前針對彈性基礎對轉子動力學特性影響的研究頗豐，但是針對飛輪彈性殼體的考慮仍不充分，并且由于飛輪的轉速高，陀螺效應、應力剛化的影響也不可忽略[8]。為提高計算效率，采用頻響函數(shù)子結構綜合方法對飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進行研究。目前頻響函數(shù)法常用于對靜止部件的綜合[9]，沒有考慮轉動部件的陀螺效應等。

本文分別采用三維實體有限單元和頻響函數(shù)綜合法對飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)進行建模，獲得不同轉速工況下考慮陀螺效應時有/無預應力的系統(tǒng)動力學特性以及單位簡諧力激勵下的擾動力特性。

1 飛輪系統(tǒng)動力學方程推導

如圖1所示為飛輪-軸承組件-殼體模型。飛輪系統(tǒng)工作時，飛輪、電機轉子和軸承外圈等部件發(fā)生旋轉，殼體，電機定子和軸承內圈不發(fā)生轉動。軸承組件可等效為軸承質量和軸承剛度。考慮陀螺效應和預應力時，飛輪-軸承-殼體耦合系統(tǒng)采用三維實體有限單元進行建模，其動力學方程為

其中：M、C和K是結構的質量、阻尼和剛度矩陣；u是節(jié)點位移；G是由于結構旋轉而產生的“阻尼”矩陣，通常稱為陀螺矩陣；Ks是由于結構旋轉而產生的應力剛化矩陣；Ω為轉速；F為外力矢量。

建立固定坐標系Oxyz，原點O位于旋轉軸上，z軸垂直向上并和旋轉軸心重合，殼體下表面固定。

圖1 飛輪-軸承組件-殼體模型及其有限元模型

為提高建模效率，采用頻響函數(shù)綜合子結構方法對圖1所示的耦合系統(tǒng)進行建模。飛輪和軸承組件（包括軸承剛度和軸承質量）共同組成子結構A，子結構B由殼體構成。子結構A和子結構B之間通過單根三向彈簧相連（模擬碟簧），該彈簧的剛度矩陣為KAB，阻尼矩陣為CAB。

子結構A和B的頻響函數(shù)可以寫成

其中，上標A和B表示子結構A和B；下標c表示連接點自由度，i表示內部坐標；x表示內部感興趣點自由度（如激勵點、感興趣響應點）；H表示頻響函數(shù)，f表示節(jié)點受力。由于發(fā)生轉動，子結構A頻響函數(shù)和轉速Ω有關，為求得其頻響函數(shù)矩陣，采用三維實體有限單元進行建模，并分別在連接點自由度和內部點自由度上施加單位力進行響應求解，以獲得其頻響函數(shù)矩陣中的某一行。對于殼體子結構B，采用模態(tài)疊加法進行求解（模態(tài)阻尼比取為0.001）。

子結構A和B之間的彈簧采用阻抗矩陣進行表示

其中：Z11、Z12、Z21、Z22為子矩陣，由KAB和CAB得到。根據(jù)頻響函數(shù)綜合，可得飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩陣為

上式中，子結構A的頻響函數(shù)已考慮陀螺效應和預應力影響。由于不平衡量只存在于子結構A上，、和都為零，子結構A上受力表達式為

其中：θ為轉子初始相位，將式(5)代入式(4)，可以得到響應X。則傳遞到殼體的擾動力可以表示為

2 數(shù)值模型計算

2.1 坎貝爾圖

在圖1中，軸承沿Ox、Oy和Oz方向的線性剛度分別為5.4×107N/m、5.4×107N/m和1.8×107N/m。碟簧沿Ox、Oy和Oz方向的圓盤彈簧的線性剛度分別為1.1×109N/m、1.1×109N/m和1.1×108N/m。飛輪的材料為鋼，材料參數(shù)如下：密度為7827.08 kg/m3，彈性模量為 199948×106N/m2，泊松比為0.27。殼體的材料為鋁，材料參數(shù)如下：密度為2793.55 kg/m3，彈性模量為73084.4×106N/m2，泊松比為0.33。軸承質量為0.65 kg。針對圖1模型，求解不考慮/考慮陀螺效應時不同轉速下有/無預應力的模態(tài)，得到不同條件下的坎貝爾圖如圖2和圖3所示。

圖中橫坐標表示轉速，縱坐標表示頻率，每條曲線對應各階模態(tài)頻率在不同轉速下的變化；過零點斜率為1/60的直線為轉速對應的頻率，即轉頻。

據(jù)圖2可知，不考慮陀螺效應和預應力時，飛輪的坎貝爾圖是一些平行的直線，模態(tài)頻率不隨轉速發(fā)生改變；考慮預應力時，模態(tài)頻率隨轉速升高略微上升，但變化幅度不大。這是因為考慮預應力時，由于應力剛化的作用，結構的剛度有所增加，預應力的存在會對飛輪系統(tǒng)模態(tài)頻率造成影響。

圖2 不考慮陀螺效應時飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

圖3 考慮陀螺效應時飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖

對比考慮陀螺效應時無/有預應力下的飛輪系統(tǒng)坎貝爾圖，可以發(fā)現(xiàn)部分模態(tài)頻率隨轉速的升高而升高或降低，查看模態(tài)振型可知，這些隨轉速升高發(fā)生變化的頻率均出現(xiàn)在轉動部件飛輪上；而靜止部件殼體的頻率幾乎不隨飛輪轉速的升高而發(fā)生改變，且在有預應力的情況下，轉動部件對應的各階模態(tài)頻率普遍有所增大。另外，飛輪系統(tǒng)的第一階臨界轉速由于考慮預應力而出現(xiàn)上升，因此在對飛輪系統(tǒng)進行設計時，有必要在飛輪系統(tǒng)臨界轉速對應頻率附近進行更細致分析。從圖2和圖3可知，陀螺效應和預應力對飛輪模態(tài)的影響不容忽視。

2.2 模態(tài)振型

圖4為考慮陀螺效應且有預應力時3000 r/min工況下1000 Hz以內的典型模態(tài)振型。殼體設置為半透明以便于觀察飛輪在殼體內的運動，結果表明，100.18 Hz和192.11 Hz時為飛輪沿徑向的翻轉模態(tài)，105.68 Hz時為飛輪繞軸向的旋轉模態(tài)，212.38Hz時為飛輪沿軸向的上下拍打模態(tài)，313.88 Hz和535.77 Hz對應殼體的彈性變形，382.77 Hz對應飛輪扭轉和徑向的耦合變形，873.11 Hz時為輪轂沿軸向的上下振動模態(tài)。從以上結果可知，飛輪的模態(tài)包括剛體模態(tài)、彈性模態(tài)、飛輪與軸承和殼體互相作用時的耦合模態(tài)。

2.3 傳遞力結果

在飛輪輪緣處施加了一沿著Ox方向的徑向單位簡諧力，求解單位簡諧力作用下傳遞給殼體的擾動力大小，擾動力分解為在xOy平面內的徑向力（為沿著Ox方向和沿著Oy方向的擾動力平方和開根號）和軸向的擾動力。頻響函數(shù)子結構綜合法和有限元法求得的考慮陀螺效應且有預應力時的結果如圖5所示。

可見，在0和3000 r/min時，頻響函數(shù)子結構綜合法結果和有限元法的結果一致，所建立的頻響函數(shù)子結構綜合法可用于求解不同轉速工況下考慮陀螺力矩時的子結構和靜止子結構的綜合，所得結果中考慮了陀螺效應的影響。該子結構方法可應用于壓氣機多級葉片-轉子系統(tǒng)-軸承-機匣的整機動力學建模。

圖4 考慮陀螺效應和預應力時3000 r/min工況下飛輪-軸承-殼體典型模態(tài)振型圖

圖5 基于有限元法和頻響子結構綜合法的傳遞力計算結果

不同轉速工況下徑向力和軸向力的結果如圖6所示。可見，考慮陀螺效應和預應力時，徑向方向的響應大于軸向方向的響應。徑向方向上，不隨轉速發(fā)生變化的模態(tài)對應的響應也不隨轉速變化，而隨轉速發(fā)生變化的模態(tài)對應的響應也隨轉速升高發(fā)生變化。軸向方向上的響應和徑向方向類似。以有預應力時3000 r/min工況下的擾動力結果為例，參考圖4中模態(tài)可知，100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz對應的模態(tài)在徑向和軸向都有較為明顯的擾動力輸出，其中徑向的響應遠大于軸向，說明在對應頻率處擾動力主要沿徑向傳遞。在212.38 Hz和873.11 Hz處，擾動力在軸向有明顯的峰值，但是在徑向方向沒有出現(xiàn)，說明飛輪以軸向振動為主的模態(tài)會在軸向上產生較大的擾動力，但是對徑向上的擾動力貢獻不大。313.88 Hz和535.77 Hz處是殼體的模態(tài)，對于目前的模型，對徑向和軸向方向上的擾動力影響小。382.77 Hz等對應的模態(tài)是輪體的彈性變形，其在擾動力上的傳遞特征類似于100.18 Hz、105.68 Hz和192.11 Hz，即擾動力的峰值主要沿著徑向傳遞。

當飛輪旋轉時，會產生不平衡質量激勵，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動力會被放大。因此，需要對考慮預應力影響的模態(tài)頻率進行精確估計，以檢查模態(tài)頻率與激勵頻率之間的重疊。

圖6 不同轉速工況下考慮陀螺效應和預應力的擾動力計算結果

3 結語

建立了飛輪-軸承-殼體系統(tǒng)的三維實體有限元模型和子結構動力學模型，獲得了飛輪系統(tǒng)在考慮陀螺效應時不同轉速工況下有/無預應力的模態(tài)結果和擾動力計算結果，得到了以下結論：

(1)考慮陀螺效應和預應力時，隨著飛輪轉速的增加，模態(tài)頻率會出現(xiàn)一定的上升，且陀螺效應對模態(tài)特性的影響要大于預應力。

(2)擾動力結果對應的峰值既包括不隨轉速發(fā)生變化的飛輪軸向振動模態(tài)和殼體模態(tài)，也包含隨轉速發(fā)生變化的飛輪徑向振動模態(tài)。飛輪徑向振動模態(tài)對飛輪徑向擾動力影響顯著，飛輪以軸向變形為主的模態(tài)對軸向擾動力影響顯著。當飛輪旋轉時，會產生不平衡質量激勵，如果飛輪的模態(tài)頻率與激振力頻率接近，則擾動力會被放大。

(3)所提出的頻響函數(shù)子結構綜合法既能對靜止部件進行綜合，也能在考慮陀螺效應和預應力情況下對不同轉速的旋轉部件進行綜合。該子結構綜合方法可應用于壓氣機多級葉片-轉子系統(tǒng)-軸承-機匣的整機動力學建模。