基于小波分析的鐵路車輛輪對縱向非穩態振動研究

陶偉文，劉 韋，羅跟東，卜繼玲，劉振光

(1.株洲時代新材料科技股份有限公司，湖南 株洲 412007；2.無錫地鐵集團有限公司，江蘇 無錫 214023)

在鐵路機車車輛動力學研究中，通常假設車輛勻速行駛在勻質的軌道上，因此在傳統的車輛動力學研究中輪對振動可以認為是屬于平穩隨機振動過程[1]。但實際工程中，除了在恒定工況下和不變環境下運行的機械部件的振動是穩態的，其余機械系統的振動幾乎都屬于非穩態。事實上，輪對的振動具有高度非穩態的振動特點，出現以下3種情況時輪對的振動將不能當作平穩隨機振動來處理，例如：

（1）由于鋼軌存在接頭、裂紋、三角坑及磨損等空間軌面非均質不平順時，輪軌系統的時域激勵將變為非穩態隨機過程；

（2）當車輛加速或減速運行時，即使軌面不平順頻為均質的，由車輛變速運行所產生的輪軌激勵也是非穩態隨機過程；

（3）系統的剛度或阻尼等參數為時變參數[2]。這時振動信號的結構，包括頻譜都隨時間變動，它們都屬于非穩態振動信號，在穩態情況下本來不容易顯現出來的現象在變速或變工況情況下可以得到充分的顯現[3]。因此，針對以上情況，采用傳統的穩態頻域分析方法無法獲知輪對的振動特點。實際工程中，機車車輛自身的振動特性和激勵特性具有時變的特點，因此振動響應可能是非平穩的，其統計量（如相關函數、功率譜等）是時變函數。對于非平穩信號，時域中各統計量會隨時間發生變化，進而使其失去統計意義；而在頻域中其頻譜結構也會隨時間變化，進而導致譜值也失去意義。

因此，為了分析非平穩信號的特征，需要使用時頻聯合函數來表征振動信號。該方法認為非平穩信號在全局是非平穩的，而在局部域內則是平穩的，它克服了傳統的傅立葉變換不能反映非平穩信號的統計量隨時間變化這一缺陷。就分析方法而言，平穩信號可用單一的時間軸或頻率軸進行一維表示，但非平穩信號則需用時間-頻率或時間-尺度平面進行二維表示；平穩信號采用的是全局變換，而非平穩信號則采用局部變換。小波變換是非平穩信號時頻分析方法中的一種，它具有多分辨分析的特點，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，其時頻窗口大小固定不變，但形狀可以改變，即在低頻部分具有較低的時間分辨率和較高的頻率分辨率，而在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。該特征很適合提取信號的局部特征，因此小波變換具有振動信號分析顯微鏡的稱號。Priestley[4]從理論和工程實際應用角度研究了非穩態隨機振動過程的功率譜密度函數問題，Ruzzene[5]應用連續小波變換提取瞬態激勵下系統的模態參數。基于連續小波變換，Staszewski[6]提出了非線性系統的參數識別方法，Ta[7]將該方法進行了進一步擴展。Spanos[8]基于統計線性化方法的諧波小波方法研究了隨機激勵下非線性系統的響應問題，并給出了其演化譜。Basu[9]采用基于小波變換的隨機振動方法進行了摩擦基礎的地震分析，將基礎的振動模擬為非穩態振動過程。Hou[11]使用小波分析方法對結構損傷及健康監測問題進行了研究。Wang[12]使用連續小波變換估計非穩態系統的時變頻率。小波變換以其對振動信號較高的自適應性，非常適合于分析機車車輛輪對的非穩態振動特性。因此，本文主要基于小波變化法研究車輛在運行過程中輪對的非穩態振動問題。

1 車輛系統非穩態振動特點及分析方法介紹

在對鐵路機車車輛進行動力學分析時，需要充分掌握研究對象的振動特點才能對其存在的問題做出準確判斷。但對于很多振動信號我們卻無法在時域分析中找出其振動特征，而且在頻域分析中也無法找出其全部特征信息。因此，如果明確了機車車輛的自身振動特性、激勵特性與機車車輛速度的關系，在分析中引入速度參量（即時間參量），就可以從時頻域中獲得更多的機車車輛振動特征。

軌道激勵主要表現為隨機不平順，用軌道譜來表征，如果考慮車輪的某些缺陷，如周期性車輪不圓順，輪軌激勵中就會出現周期激勵成分。軌道譜是基于軌道的幾何形態，因此對其研究主要集中在空間域。但對于分析鐵路機車車輛系統的振動響應而言，輪軌激勵還與運行速度密切相關，因此需要將空間頻域下的軌道譜轉換成時間頻域內的激勵功率譜,時域內的輪軌激勵譜是車輛運行速度的函數。設y為軌道不平順幾何幅值，x為空間距離，v為車輛速度，t為時間，f為空間距離與軌道幾何不平順間的函數關系，則有

一般來說，車輛自身振動就是車輛各個固有振動模態振動，除了與輪對振動相關的模態之外，它們不隨車輛速度變化而變化。傳統的振動分析都假設振動系統是時不變系統,但是，在許多實際工程中，振動系統卻是時變的，比如轉向架的蛇行振動模態、系統的質量、剛度或阻尼具有時變特性時。因此，用于線性時不變系統中的振動及模態分析不適合分析時變系統的振動問題，變化的質量或剛度會引起系統固有頻率及模態的變化，變化的速度會使輪對相關的振動模態發生改變，而傳統的使用傅立葉變換的頻率響應分析無法準確分析時變振動系統振動問題。但基于小波分析的時頻分析方法卻可以很好捕捉到非穩態振動系統的參數變化，很適合分析車輛系統的非穩態振動問題。小波分析的基本原理如下：

對于離散小波分析來說，其可以實現振動信號f(t)的多分辨率分析

其中：l和k分別為尺度和平移參數，*代表復共軛算子。v和w分別是尺度函數φ(t)和基本小波函數ψ(t)的近似函數和小波系數。從以上兩式可以看出，離散小波變換通過將振動信號f(t)分解為低頻近似函數和不同頻帶的高頻細節函數來實現多分辨率時頻分析。

對于連續小波分析來說，假設存在一個基本小波（或母小波），它是一個均值為零的平方可積函數

式（4）的規范化范數| |ψ(t)=1，且能量集中在以t=0為中心的鄰域內。對Ψ(t)伸縮a，平移b，可得到一族小波函數

這族函數仍然有規范化的范數| |ψa,b(t)=1。尺度因子a的作用是將基本小波做伸縮，a越大，Ψ(t/a)就越寬；時間因子b的作用是將基本小波在時間軸上進行平移。通過對尺度因子a和時間因子b的調節可以實現小波變換多分辨率的功能，而且在時頻兩域都具有表征信號局部特征的能力。

從以上對離散小波和連續小波特點的分析可以看出，小波分析方法具有很好的信號局部處理能力，可以準確捕捉到非穩態振動的振動特征。

2 一系定位剛度變化引起的輪對縱向非穩態振動問題

在機車車輛長期運行過程中，輪對定位內部結構難免會出現磨損、老化的現象，懸掛參數也會發生變化，再加上生產安裝過程中難免會出現誤差等等，會對輪對振動產生一定程度影響。本小節主要研究當一系定位剛度為時變參數時輪對的縱向振動特點。

小蠕滑條件下的輪軌摩擦力定義為黏著摩擦力，黏著摩擦力即我們一般理解的蠕滑力，源自于輪軌間未發生宏觀滑動、僅由材料切向應變產生的切向應力，且未達到庫倫摩擦極限。根據文獻[1] ，將小蠕滑情況下輪軌接觸斑縱向摩擦模型簡化為具有一定剛度與阻尼的串聯模型，如圖1所示。

圖1 輪軌摩擦模型

其中剛度與阻尼是輪軌激勵頻率和縱向蠕滑率的函數，x0代表輪軌相對位移，q(t)代表外部位移激勵。輪對縱向振動簡化模型如圖2所示，其運動方程為

其中：k(t)為隨時間變化的剛度。

假設某機車運行中輪對的一系縱向定位剛度發生了如圖3所示的突變，計算可得如圖4所示的輪對縱向振動加速度時間歷程。

為了得到輪對縱向振動特點的信息，對其進行傅立葉變換的結果如圖5所示。

圖2 單輪對運動簡化模型

圖3 剛度突變曲線

圖4 輪對縱向振動信號時間歷程曲線

從該圖中僅可以看出輪對相對構架的同向和反向振動固有頻率，而無法獲得更多的振動信息。對圖4所示的振動信號進一步按照離散小波變換進行分解，結果如圖6所示。

從該圖中可以清楚看到，在小波分解的高頻層中，在10 s時刻發生了一個較為明顯的瞬時沖擊，進而可以判斷出輪對定位剛度在10 s時發生了突變。

如果對圖4進行連續小波變換，可得到如圖7所示結果。

從該圖中可以清楚看到系統的固有頻率在10 s時刻從20 Hz左右突然變化到了17.4 Hz。憑此信息可以斷定輪對的縱向定位剛度在10 s時刻發生了突變，由于輪對質量未變，因此能判斷出定位剛度從4×107 N/m突然變化到3×107 N/m。

圖5 頻譜圖(FFT)

圖6 輪對縱向振動信號的離散小波分解圖

圖7 輪對縱向振動信號的連續小波變換圖

3 變速情況下輪對非穩態振動問題研究

鐵路機車車輛動力學基本都是研究勻速情況下車輛的振動情況，而實際情況中車輛經常變速運行，當車輛變速運行時輪軌激勵是非穩態隨機過程，而輪對振動響應也是非穩態隨機振動過程，該問題一直是車輛動力學分析的難題，本節主要應用小波分析方法研究車輛變速運行條件下輪對的振動特點。

輪對縱向振動響應同時取決于外部激勵特性與一系縱向定位系統的固有特性。在系統振動分析中，單個組件的動態特性往往是已知的，因此可以通過時頻分析將那些特殊的頻率成分與某一組件的振動情況聯系起來[13-14]。本文以文獻[15] 中的機車動力學模型為例，該機車輪對存在嚴重的縱向振動問題，經過長期輪軌相互作用可能會引起車輪周期性磨耗，因此，本文假設該機車模型還存在車輪不圓的問題，對該機車動力學模型施加如圖8(a)所示的驅動力矩，可以得到如圖8(a)所示的輪對縱向振動加速度時間歷程圖，從該圖中不能獲得輪對振動特征的信息。因此對圖8(a)分別進行傅立葉變換和小波變換，相應的頻譜圖和時頻圖分別如圖8(b)和圖8(c)所示。

從圖8(b)中只能得知輪對發生了主頻率為19 Hz和21 Hz的縱向振動，而無法獲取更多的信息；但從圖8(c)中我們可以得到更多的信息，其中隨著時間近似線性增長的頻率為車輪橢圓不圓順（通過車速及車輪半徑等已知條件可以推測出來），為系統的主要激勵源；不隨時間變化的是輪對相對于構架的縱向振動頻率，分別為19 Hz和21 Hz。在車輪多邊形激勵頻率與輪對縱向固有頻率的交點處，輪對縱向振動加速度響應達到了最大值，即輪對發生了縱向共振。根據以上分析可以認為，用小波變換方法分析輪對縱向振動問題要優于傅立葉變換方法，運用該方法能夠獲得更多輪對的振動特征。

圖8 變速工況下輪對縱向振動

4 結語

本文分別采用傅立葉變換、離散小波變換和連續小波變換法研究了一系定位剛度突變情況下輪對的振動特點以及車輛在變速運行工況下輪對的振動特點。研究表明：

（1）傅立葉變換無法用于分析非穩態振動問題，采用離散小波變換可以很方便找出車輛系統參數變化（或外部瞬時沖擊）發生的具體時刻及影響，但無法獲得車輛系統頻率（或動力學參數）的具體變化情況，而采用連續小波變換可以清楚觀察到車輛系統參數變化情況以及相應的變化時刻及影響；

（2）根據連續小波分析可以得到隨車速（或頻率）變化的曲線對應于2階車輪不圓順，而不隨車輛速度變化的曲線對應輪對的固有頻率，在兩條曲線的交點處，車輛振動加速度響應幅值較大，即發生了共振。