C-M-C模型在共振轉換器線譜消減上的應用

郭正鑫，周瑞平，胡云飛，欒天康

（1.武漢理工大學 船舶動力工程技術交通行業重點實驗室，武漢 430063；2.武漢理工大學 能源與動力工程學院，武漢 430063）

船舶推進軸系是一個典型的多階梯多支撐連續彈性體，螺旋槳在船體艉部不均勻的伴流場中產生的非定常激勵力、主機裝置產生的徑向簡諧分力和推進軸系扭轉振動產生的縱向分力都會使得推進軸系產生周期性的縱向拉壓變形，這種現象稱之為推進軸系的縱向振動[1]。這種振動和聲輻射以低頻為主，其強弱與軸系和殼體的動力學特性密切相關。

軸系縱向振動控制有多種方法，其基本原理都是在推力傳遞中設置減振結構，利用減振結構的剛度、阻尼來降低傳遞途徑中的縱向振動。就減振技術而言，國內外已進行了多方面的研究。英國吉凱恩（GKN）公司制造了一種折線形軸系，經實船測試發現由螺旋槳激勵引起的推進軸系振級降低了50%以上[2]。美國海軍20世紀90年代提出了具有較好抗振和抗疲勞性能的復合材料軸系[3]。John[4]設計出了一種新型同軸串聯式推力軸承，共有2個油腔，增大了油液阻尼作用，從而使得推進軸系的縱向振動得到衰減。李飄等[5]提出了一種艙壁式推力軸承，雖然有減振效果，然而論文中并沒有展示具體的結構形式。由張金國等[6]提出并由王小立[7]改型的新型法蘭盤式推力軸承，雖然能有效衰減推力軸承基座振動向船體的傳遞，但僅停留在仿真分析上。中國艦船研究設計中心的郭全麗等[8]發明了一種碟簧式減振推力軸承，其實際應用尚沒有相關文獻。楊志榮等[9]提出了一種并聯安裝在船舶軸系上的縱振動力吸振器的設計方法，雖然進行了詳細的理論推導，但沒有給出設計結構。盧坤等[10]基于吸振器原理設計出了磁流變彈性體的半主動吸振器，雖然有很好的吸振效果，但其散熱方式還需進一步研究。

自20世紀中葉，Goodwin設計了推力軸承縱向減振的共振轉換器（Resonance Changer，RC）[11]后，澳大利亞的Dylejko[12-13]和李良偉等[14]都對其進行了參數優化，儲煒等[15]等還對其進行了深入的理論推導，但他們都沒有給出一種便捷的仿真模型。王珺等[16]雖然在文中提到了RC的簡化單元，但沒有給出具體示意圖和仿真結果圖。

本文擬從仿真分析的角度，提出一種C-M-C模型來模擬共振轉換器的動力學結構，并基于Goodwin的集中參數模型和根據查閱文獻所得的共振轉換器實驗結果，結合某一具體軸系來驗證C-MC模型仿真的正確性。

1 雙質量系統與C-M-C模型

1.1 共振轉換器的并聯模型與雙質量系統

共振轉換器在理論研究中被等效為質量、剛度和阻尼的并聯模型[11]，如圖1所示。

圖1 共振轉換器的等效集中參數模型

這種并聯模型的意義在于質量與阻尼和剛度一樣具有2個獨立、自由的端點。由于位移與加速度反相，在一定頻率條件下，質量的慣性力和彈簧的彈性力可以完全抵消，創造動力調諧的條件。

對于單質量系統來說，引入一個額外質量塊，就引入了一個可以減振調頻的動力學參數。雙質量系統相比單質量系統來說，擁有兩個共振頻率，這就給了用雙質量系統來模擬仿真共振轉換器調頻的手段。

圖2左側為無共振轉換器的推進軸系縱振模型，Mp為推進軸系質量，F0ejωt和xp(t)為螺旋槳激勵力和推進軸系縱向振動位移，k0和c0為推力軸承剛度和阻尼；

圖2右側為加入共振轉換器后等效的雙質量系統模型，虛線框中為共振轉換器動力學模型，m1為共振轉換器內流體質量，F1ejωt和x1(t)為流體質量的受力及振動位移，k1和c1為共振轉換器流體的剛度和阻尼。雖然此結構不是質量、剛度和阻尼的并聯結構，但質量單元兩側均為剛度單元，質量單元在這個系統中起到諧振作用，擁有動力調諧的條件，故可用來進行模擬。

由圖2列出強迫振動方程為

寫成矩陣形式

由式(2)可看出，矩陣M、C和K都是對稱矩陣，矩陣元素為

因此，可將方程式(2)改寫為

設簡諧激勵

設穩態響應

將式(4)和式(5)代入方程式(3)得

引入記號

于是方程式(6)可以改寫為

求出Xp和X1為

由于阻尼只對幅值有影響，而對共振頻率無影響，因此，為探究調頻關系，令c0=c2=0；由于系統只受到螺旋槳的激勵力，因此F1=0。于是式(7)可表示為

這里軸系Mp是調頻對象，因此只分析Mp的響應，將式(10)代入到式(9)，令質量比，剛度比，化簡得

由于a?1，因此a+1≈1，令原系統固有頻率，進一步化簡得

由圖3可得，無量綱幅值關于頻率比有兩處間斷點，間斷點1處為添加共振轉換器后軸系的新共振頻率，間斷點2處為共振轉換器的共振頻率。為得到共振轉換器的共振頻率比，令式(13)中分母為零，而ua≈0，可求得共振頻率比為

圖3 無量綱幅值響應曲線

1.2 共振轉換器的C-M-C模型

共振轉換器的質量、剛度和阻尼都具有2個獨立、自由的端點，且在共振轉換器接入工作后，2個自由端點則同時被附加約束而參與到減振工作中來。其有限元模型如圖4所示。

圖4 共振轉換器C-M-C結構模擬圖

該模型在Hypermesh中可用C-M-C（CBUSHMASS-CBUSH）結構來模擬。在圖4中，N1為被隔振物體，受到簡諧激勵力作用；N1、N2之間為原被隔振物體與基座之間剛阻（剛度和阻尼）CBUSH單元（C-M-C中第一個C所指代含義），N2為共振轉換器內流體介質質量（C-M-C中M所指代含義），N2、N3之間為共振轉換器流體介質剛阻CBUSH單元（CM-C中第二個C所指代含義），N3、N4之間為原被隔振物體與基座之間剛阻CBUSH單元，N4為固定邊界或大質量基座。這樣，雖然從N2到N3很像動力吸振器結構，但其兩端并非自由而是都接入到減振結構中參與減振工作，這與動力吸振器是完全不同的。

1.3 共振轉換器的設計方法

結合式(14)，可得原系統固有頻率ω0和添加共振轉換器后系統固有頻率ω的關系如下

基于雙自由度系統調頻原理和式(15)，可得共振轉換器仿真設計的一般步驟：

(1)通過建模仿真或者通過實驗確定需要消減的頻率ω0，此時推進軸系的質量Mp為已知；

(3)選取合適的質量比u，此時m1也隨之確定。根據文獻[15] 可得共振轉換器的固有頻率ω1與原系統固有頻率ω0相等；

至此，共振轉換器的調頻參數設計完成，添加共振轉換器后整個隔振系統的新共振頻率ω也可得到。若只考慮消減特定線譜或系統只在某一特定頻率下工作，則不用考慮阻尼比ξ1的影響。若系統在某一寬頻范圍內工作，則還需對完成調頻參數設計后的共振轉換器進行阻尼優化。

2 軸系及共振轉換器仿真

2.1 推力軸承三維模型及有限元模型

某船用推力軸承共振轉換器[18]的三維模型分裝圖如圖5所示，分為推力軸、后端蓋、前端蓋、密封蓋、軸承殼體和推力塊5部分。

圖5 共振轉換器分裝圖

縱向載荷由螺旋槳通過推進軸系傳遞到推力環上，再由推力軸承內的前推力塊傳遞到與其接觸的柱塞腔內的柱塞上，推動柱塞運動將載荷作用在連通著的液壓油上，實現減振。

選用六柱塞腔共振轉換器為模型，在Hypermesh里對其進行有限元網格劃分，網格劃分完畢后的推力軸承及共振轉換器如圖6所示。

由于實際推力軸承及共振轉換器結構復雜，因此在建模過程中對其進行了很多簡化處理。例如推力盤與推力塊之間由于油膜剛度特別大，在僅考慮縱向振動的前提下，用膠粘單元area將兩者連接起來；后端蓋、前端蓋和密封蓋僅限制了推力軸的垂向和橫向位移以及扭轉，而沒有限制縱向位移和扭轉，因此在用rbe2單元約束推力軸和前、后及密封蓋時，僅約束dof2、dof3、dof5和dof6，而釋放dof1和dof4代表的x向平動和轉動自由度；對后端蓋、軸承殼體、前端蓋以及密封蓋之間的螺栓連接，均用rbe2剛性單元連接。

圖6 共振轉換器有限元模型圖

2.2 軸系有限元模型及C-M-C仿真

某軸系結構示意圖如圖7所示，為從螺旋槳聯軸器一端到原動機彈性聯軸器一端示意圖，軸系基本參數見表1。

圖7 某軸系結構示意圖

表1 軸系基本參數

軸系由艉軸、推力中間軸、推力減振軸、推力軸和彈性聯軸器等組成。總長15.500 m，整個軸系外徑為0.280 m，艉軸內徑為0.173 m，其余軸段內徑為0.165 m。

簡化處理后對軸系進行有限元建模，由于螺旋槳脈動推力是通過軸系傳到推力軸承，再通過推力軸承傳遞到船體的，因此，對于軸系來說，船體為剛性邊界，也可以當作大質量邊界。在有限元建模過程中，對共振轉換器殼體前端蓋一周螺栓連接處附加大質量點，用CONM2單元來模擬，設每個點附加100 t質量，6個點一共附加600 t質量；彈性聯軸器另一端與原動機相連，建模過程中將原動機視作固定端，用spc單元約束其六向自由度；螺旋槳及其附連水用CONM2質量單元模擬，并用rbe2剛性單元耦合到艉軸末端聯軸器上；推力軸承剛度和彈性聯軸器剛度用CBUSH單元模擬。由于重點關注軸系的縱向振動，而中間軸承對縱向振動無任何約束作用，故在建模過程中略去中間軸承。軸系有限元模型如圖8所示。

圖8 軸系有限元模型圖

對圖8所示軸系模型進行模態分析，拋卻前6階剛體模態，計算1 Hz～400 Hz約束模態，挑選出縱向振動模態頻率值，將結果統計入表2。

表2 縱向振動頻率值

接著進行頻率響應計算，在艉軸末端施加螺旋槳推力和正弦激勵，計算共振轉換器殼體處的軸向加速度頻率響應。結果如圖9所示。

其結果與模態分析結果完全一致，在1 Hz～400 Hz范圍內，該軸系存在4階縱向振動模態。由于高頻的振動及噪聲在工程上很容易消除，不容易消除的僅為低頻振動，因此對33 Hz的低頻線譜進行優化消減工作。

2.3 共振轉換器設計及低頻線譜消減

根據第1小節末段的設計方法進行共振轉換器參數設計。在有限元模型中，測出被減振體也就是除共振轉換器以外的軸系質量為Mp=13.736t。

從圖9得出需要消減的縱向振動頻率f和共振轉換器內部流體振動頻率f1為f=f1=33Hz。取質量比u=40。

求得共振轉換器內部流體質量為

系統的振動頻率f和系統自由振動時的圓頻率（也即固有頻率）ωn存在如下關系式

圖9 無RC減振頻率響應圖

于是求得經共振轉換器減振后系統的振動頻率為

在Hypermesh中用圖4所示C-M-C結構來模擬共振轉換器。將式(16)和式(19)所求共振轉換器內流體介質質量、剛度值賦予到有限元模型中，視軸系為被減振體，共振轉換器殼體為大質量基座，且軸系僅靠共振轉換器減振，軸系振動僅通過共振轉換器殼體傳遞到船體。將模型導入到MSC.Nastran中計算加速度頻率響應，取共振轉換器頂部殼體為響應點，結果如圖10所示，局部放大后，如圖11所示。

由圖11結果可知，無RC減振時存在33 Hz的共振峰，在加了質量比u=40的RC后，原33 Hz共振峰消失，多了5.15 Hz共振峰。此仿真結果與式(18)所求結果完全一致，驗證了仿真模型的準確性，也說明按照圖4所示的C-M-C結構來模擬質量、剛度、阻尼成并聯關系的共振轉換器是正確的。

3 仿真結果與寬頻減振優化

3.1 有阻尼共振轉換器減振

由第2小節可得，在無阻尼條件下，共振轉換器將示例軸系的33 Hz低頻共振峰消除，使共振峰轉移到了5.15 Hz。雖然對軸系縱向振動進行了調頻，但新共振峰的加速度響應幅值仍然很大，這是因為調頻RC沒有附加阻尼的關系。下面對圖11所示結果進行加阻尼優化，使得新共振峰5.15 Hz處的加速度響應幅值有所降低。

圖10 無阻尼RC減振頻率響應圖

圖11 無阻尼RC減振頻率響應局部放大圖

直接基于有限元仿真，在質量比u=40的RC基礎上，附加阻尼值（單位：N·s/mm）100/500/1000/2000/3000/5000，進行加速度頻響計算。結果如圖12所示。

由圖12可以看出，隨著阻尼值增大，調頻后5.15 Hz處的峰值逐漸降低；當c增加到2000左右時，33 Hz和5.15 Hz處的峰值幾乎都消失，轉而在這之間出現一條近乎平坦的曲線；隨著阻尼值的繼續增大，調頻效果消失，重新在33 Hz處出現共振峰，且峰值隨著阻尼值增大而升高。這一現象是符合認知的，當阻尼很小時，隨著阻尼值增大，對縱向振動起著減振的作用；當阻尼值過大時，剛度效果已不明顯，過大的阻尼使得連接呈現剛性連接的效果，共振轉換器不再有調頻作用。有關阻尼值對減振調頻的效果在文獻[17] 中有詳細的推導說明，這里不再贅述。

繼續觀察圖12所示結果，發現無論怎樣調節阻尼值，頻率響應曲線始終經過N5、N6兩個定點。在質量比u=40條件下，N5處的峰值始終要大于N6處的峰值。為了使共振轉換器在一個寬頻帶范圍內都有很好的減振效果，頻率響應曲線應從N5到N6呈現單調遞減狀態，且在N5處為最大值。在u=40條件下，c取值為2000左右都能滿足要求。

圖12 有阻尼RC減振頻率響應圖

3.2 變質量比共振轉換器減振

由文獻[15] 可知，質量比不同，共振轉換器的調頻效果是不同的，且質量比u越大，調頻后的共振頻率越低。現基于有限元仿真，對質量比u分別取40/20/10/5/2時的調頻效果進行研究，根據式(16)、式(18)和式(19)，求出共振轉換器內流體介質質量m1和剛度k1，以及調頻后的共振頻率f′，將結果統計入表3。此時不考慮阻尼值的影響，仿真結果如圖13所示。

從圖13可以看出，隨著質量比的降低，調頻后的共振頻率向著高頻移動，不動點N5沿著無RC減振曲線向高頻偏移，且幅值越來越大。從圖中還可以得出，質量比越低，由式(18)所求得的調頻后共振頻率f'越偏離仿真響應曲線共振峰值頻率，這是因為質量比過低時，m1和Mp相差不大，而Mp作為一個長軸系本身就有一定的剛度值，這點與CONM2模擬的RC質量點m1不同，為式(4)誤差增大所致。

表3 不同參數下RC調頻效果表

圖13 無阻尼變質量比RC減振頻率響應圖

4 仿真結果與實驗驗證

推力軸承作為軸系縱向振動傳遞的主要通道，其振動響應水平直接反映軸系縱向振動對船體的二次激勵，因此無論是仿真還是實驗，都應將測點放在推力軸承殼體上。根據文獻[15] 所示共振轉換器原理樣機，在推力軸承殼體上布置加速度傳感器，在軸系艉部進行縱向激勵，測試得到有無共振轉換器條件下推力軸承加速度頻響比較如圖14所示。

圖14 有無共振轉換器條件下推力軸承加速度頻響測試結果[15]

從圖14可得，在無共振轉換器條件下，軸系有150 Hz的共振峰，增加共振轉換器后，原150 Hz共振峰消失，轉而變成115 Hz和205 Hz共振峰。

根據第1小節的理論推導，要消去150 Hz共振峰，將共振峰轉移到115 Hz附近。代入式(18)，類比得

解出u=0.70，再代入式(16)，類比得

再由式(19)，類比得

雖然計算所得共振轉換器質量剛度很大，但由于其在設計時動力參數會有放大效應[11]，因此實際質量剛度值可以很小。

圖15 有無共振轉換器條件下推力軸承加速度頻響仿真結果

將以上所求質量m1和剛度k1代入2.2小節所提C-M-C模型中，計算所得頻率響應曲線如圖15所示。圖中無共振轉換器時有共振峰150 Hz，增加共振轉換器后，原150 Hz共振峰消失，轉而變為137 Hz和205 Hz共振峰。相比實驗所得結果，高頻共振峰頻率相同，低頻共振峰頻率向高頻偏移，這點與3.2小節中所提隨質量比降低，調頻后共振頻率向高頻偏移一致。同時，實驗結果與仿真結果相近，很好地驗證了C-M-C模型的準確性。

5 結語

提出了一種基于C-M-C模型的仿真方法來模擬共振轉換器質量、剛度和阻尼并聯的情況，結果表明：

（1）C-M-C模型能很好地模擬共振轉換器的調頻減振效果，基于此模型的仿真解與公式推導的理論解能很好地吻合；

（2）C-M-C模型在質量比u過低時并不適用，在質量比u大于2時有很好的模擬效果，且u值越高，模擬結果越接近理論解。

（3）固定u值，調節阻尼值，所得曲線簇恒過定點，且阻尼超過某一定值后，RC不再具有調頻效果。此時選擇合適的阻尼值，能使RC在某一寬頻帶范圍內都具有很好的減振效果。

船舶軸系縱振減振是船舶減振降噪的主要控制措施之一，本文提出的一種C-M-C模型能很好模擬共振轉換器，為艦船軸系縱向調頻減振提供一種有效仿真手段。