鋼混框架振動的NLFEM分析和ADRC主動控制

王善偉，韓愛平，朱軍強(qiáng)，王社良

（1.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055；2.長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，西安 710064）

結(jié)構(gòu)振動主動控制是通過對環(huán)境干擾與結(jié)構(gòu)反應(yīng)的準(zhǔn)確測量，采用現(xiàn)代控制理論的主動控制算法在精確結(jié)構(gòu)模型基礎(chǔ)上運(yùn)算和決策出最優(yōu)控制力，最后使作動器在很大的外部能量的輸入下輸出最優(yōu)控制力[1]。學(xué)者高志強(qiáng)[2]將諸多主動控制算法如線性二次型控制算法、H控制算法、滑移模態(tài)控制算法等歸屬于模型范式，即這些算法需要被控對象具有精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)模型。而實(shí)際工程中被控結(jié)構(gòu)的非線性特性不容忽略，其結(jié)構(gòu)模型很難準(zhǔn)確獲取，對于鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)更是如此。因而有必要尋求一種適用性廣、不依賴于被控對象精確模型的控制算法。

自抗擾控制策略(Auto Disturbances Rejection Control，ADRC)是工業(yè)界廣泛運(yùn)用的PID控制技術(shù)的改進(jìn)[3]。其不依賴于精確數(shù)學(xué)模型，繼承了PID控制基于偏差來消除偏差的思想精髓，將作用于結(jié)構(gòu)的內(nèi)擾和外擾歸結(jié)為“總和擾動”，并對這個擾動實(shí)時跟蹤并進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償。本文采用遺傳算法對ADRC控制器參數(shù)進(jìn)行分步整定優(yōu)化，將通用有限元軟件ANSYS作為主動控制主仿真平臺以分析結(jié)構(gòu)在外擾與控制力作用下的反應(yīng)，代替simulink對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的計(jì)算，建立某5層RC框架非線性有限元模型（NLFEM），最后采用ADRC控制策略對被控結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行主動控制仿真。

1 ADRC控制原理及結(jié)構(gòu)振動控制多變量解耦

從完成控制的目的來看，如果某種擾動不影響系統(tǒng)的被控輸出，則在控制過程中就不用考慮消除這種擾動的影響，需要消除的僅僅是能夠影響被控輸出的那種擾動；既然某種擾動能夠影響被控輸出，則該擾動的作用就能夠在被控輸出的觀測信息中估計(jì)提取出來，從而就可以采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄑa(bǔ)償或消除這種擾動的影響[4]。自抗擾控制器具有能夠“實(shí)時跟蹤估計(jì)擾動并補(bǔ)償”特性根本上的形成機(jī)理正在于此。韓京清將其組成分為三個模塊[5]，控制器系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 ADRC控制系統(tǒng)框圖

由于結(jié)構(gòu)振動控制目標(biāo)值為0，不會發(fā)生階躍突變，無需安排過渡過程，所以可以省去TD模塊。在結(jié)構(gòu)振動2階控制系統(tǒng)(1)中，f0(v1,v2)為擾動中的可建模確知部分，則該系統(tǒng)的自抗擾控制算法[4]為

（1）以系統(tǒng)輸出y和輸入u來跟蹤估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和未知擾動的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(ESO)

式中：h為積分時間步長，β01、β02、β03為待定參數(shù)。

（2）非線性狀態(tài)誤差反饋律(NLSEF)

（3）擾動的補(bǔ)償過程

其中fal(e,α,δ)具體形式為

對于具有n個平動自由度的結(jié)構(gòu)，地震作用下主動控制運(yùn)動方程可以表述為

式中：{X(t)}∈Rn為結(jié)構(gòu)位移向量，[FC] {X(.t)}是阻尼力向量，[Fk] {X(t)}是恢復(fù)力向量；假定結(jié)構(gòu)中安裝有P個作動器，[U(t)] ∈RP為控制力向量，[BS] ∈Rn×P是相應(yīng)作動器位置矩陣。建筑結(jié)構(gòu)振動控制系統(tǒng)是多輸入-多輸出系統(tǒng)，第i個作動器的出力對第j路的位移輸出存在影響，這種現(xiàn)象叫做耦合。而自抗擾控制器主要用于單輸入-單輸出系統(tǒng)，因而應(yīng)用時需要進(jìn)行解耦。

對式(5)進(jìn)行變換

可以把地震作用看做成外擾動，結(jié)構(gòu)阻尼力和恢復(fù)力看成是內(nèi)擾動，則總和擾動即為

從而

其中：w(t)代表結(jié)構(gòu)受到的不確定擾動，U為虛擬控制量，引入，可以將p輸入-n輸出系統(tǒng)的矩陣表達(dá)式(8)寫為

輸入量uj系數(shù)bij的含義是第j個作動器出力對第i路輸出的影響系數(shù)，是系統(tǒng)狀態(tài)變量與時間的函數(shù)，當(dāng)作動器位置一定時，控制力輸出對結(jié)構(gòu)影響是一定的，可寫為

韓京清[4]將控制力之外部分稱為“動態(tài)耦合”部分，虛擬控制力U稱為“靜態(tài)耦合”部分，且“動態(tài)耦合”部分各分量已經(jīng)在解耦控制中作為各通道上的總擾動估計(jì)補(bǔ)償?shù)袅耍覍Α办o態(tài)耦合”部分只要矩陣可逆或在其附近找一個可逆矩陣來近似，便可通過虛擬控制力U推導(dǎo)出實(shí)際控制力u=[u1,u2,…up] 。

2 遺傳算法參數(shù)整定及ANSYS控制仿真實(shí)現(xiàn)原理

用于結(jié)構(gòu)振動控制的ADRC控制器待優(yōu)化參數(shù)：ESO模塊參數(shù)β01、β02、β03；NLSEF模塊參數(shù)γ1、γ2；擾動補(bǔ)償參數(shù)b0，見圖2。應(yīng)用控制器設(shè)計(jì)分離性原理[4]。同時采取分步整定優(yōu)化的方法[6]，既首先對ESO在開環(huán)狀態(tài)下進(jìn)行參數(shù)整定優(yōu)化，獲得β01、β02、β03參數(shù)值，之后再對NLSEF參數(shù)γ1、γ2進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)而獲得性能良好、適用于建筑結(jié)構(gòu)振動控制的ADRC控制器。

圖2 ADRC參數(shù)優(yōu)化示意圖

優(yōu)化具體步驟：

ESO參數(shù)優(yōu)化的適應(yīng)度函數(shù)表達(dá)式為

式(13)中ε1=0-z1表示位移的跟蹤誤差，文獻(xiàn)[6] 中同時考慮歸一化后3個狀態(tài)(位移、速度和總擾動)的跟蹤誤差并不合理，由于3個狀態(tài)峰值的數(shù)量級相差很大，而歸一化正是以峰值作為基數(shù)，峰值大，歸一化后的誤差小；峰值小，歸一化后的誤差反而大，因而歸一化后尋優(yōu)效果并不理想。3種誤差的變化同步，于是僅考慮位移誤差即可。將得到的β01、β02、β03作為 ESO 模塊參數(shù)，進(jìn)行參數(shù)γ1、γ2的優(yōu)化，適應(yīng)度函數(shù)為

y(t)與u(t)分別為振動位移與控制力輸入，w1與w2為相應(yīng)加權(quán)系數(shù)，以同時兼顧位移控制效果與出力的大小，根據(jù)文獻(xiàn)[7] ，位移和控制力的加權(quán)系數(shù)分別取值為8和1×10-6。

為實(shí)現(xiàn)通用有限元軟件ANSYS主平臺下的主動控制仿真，具體實(shí)現(xiàn)過程參考文獻(xiàn)[7] 制定并作相應(yīng)改進(jìn)。即通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)ADRC算法，通過ANSYS編程實(shí)現(xiàn)主體分析過程，建立一個flag標(biāo)志文件，當(dāng)flag=0時運(yùn)行ANSYS，此時MATLAB處于暫停狀態(tài)，當(dāng)flag=1運(yùn)行MATLAB，同時ANSYS處于暫停狀態(tài)。根據(jù)flag值的不同，循環(huán)運(yùn)行相應(yīng)的軟件，直到flag值改變?yōu)?時結(jié)束循環(huán)，兩個軟件結(jié)束運(yùn)行。ANSYS控制仿真運(yùn)行流程框圖如圖3所示。

圖3 ANSYS控制仿真實(shí)現(xiàn)框圖

3 數(shù)值模擬實(shí)例

3.1 RC框架NLFEM建立及可靠性驗(yàn)證

為驗(yàn)證ADRC控制器對建筑結(jié)構(gòu)振動控制的理論可實(shí)現(xiàn)性，本文對抗震設(shè)防烈度為8度地區(qū)某5層RC框架進(jìn)行沖擊荷載與罕遇地震作用下主動控制模擬。框架層高3.9 m，坐標(biāo)軸X方向有2跨，總跨度為8.4 m，Y方向有2跨，總跨度為7.2 m；X方向和Y方向的梁截面分別采用200 mm×500 mm和200 mm×400 mm矩形截面，板厚度為100 mm，柱截面采用400 mm×400 mm矩形截面。混凝土為C30混凝土，鋼筋為HRB335和HPB235兩種。結(jié)構(gòu)所在地區(qū)設(shè)計(jì)基本加速度為0.2 g，梁板柱均按相應(yīng)設(shè)計(jì)規(guī)范進(jìn)行配筋。

在ANSYS有限元中采用整體式模型[8]建立RC框架非線性有限元模型（NLFEM），使用SOLID65實(shí)體單元對梁板柱進(jìn)行網(wǎng)格劃分，不考慮鋼筋與混凝土粘結(jié)滑移，通過單元實(shí)常數(shù)設(shè)置來實(shí)現(xiàn)梁板柱中的鋼筋的彌散配置。框架整體NLFEM如圖4(a)所示，有限元模型中混凝土材料定義為文獻(xiàn)[8] 中的多線性等向強(qiáng)化模型(MISO)，并在其中的數(shù)據(jù)中去掉曲線下降段。鋼筋材料定義為雙線性等向強(qiáng)化模型(BISO)，材料的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線如圖5(a)和圖5(b)所示。混凝土材料的密度ρ=2551 kg/m3，泊松比μ=0.2，鋼筋混凝土樓板上均布恒荷載為6 kN/m2，對樓板密度進(jìn)行折算，折算后密度為ρ=8551 kg/m3。

圖4 結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

分析結(jié)構(gòu)模態(tài)，第1和第4階模態(tài)如圖4(b)、圖4(c)所示，可以看出這2階模態(tài)以水平Y(jié)方向振動為主，對應(yīng)自振頻率為f1=1.4009 Hz，f4=4.3615 Hz，在式(6)中，假定前2階阻尼比為0.05，采用比例阻尼C=α1M+α2K可得阻尼矩陣[C] ，[Fk] {X(t)}為結(jié)構(gòu)振動非線性恢復(fù)力，本文采用Bouc-Wen恢復(fù)力模型[9]，并基于該模型形成5層RC框架的非線性恢復(fù)力模型，其中第i層恢復(fù)力描述為

其中：yi為第i層的層間位移，αi、ki、di分別為第i層屈服前后剛度比值、初始彈性剛度、層間相對極限屈服位移。對該單層框架中柱頂點(diǎn)沿坐標(biāo)軸Y方向位移加載，可得該單層框架滯回曲線，提取可得ki=2.5326×107N/m，di=0.0612 m(i=1,2,3,4,5)，wi為恢復(fù)力模型無量綱參數(shù)，表達(dá)式為

式中θi、γi、βi、ni為結(jié)構(gòu)滯回曲線形狀控制參數(shù)，可根據(jù)該單層框架滯回曲線并采用遺傳算法對參數(shù)進(jìn)行整定，認(rèn)為每層參數(shù)相同，整定后參數(shù)：θi=1.6、αi=0.3、βi=10.56、γi=2.88、ni=12(i=1,2,3,4,5,6)。將上述層間恢復(fù)力模型寫入MATLAB自編S函數(shù)代碼程序，封裝成S-Function模塊，再與其他仿真功能模塊共同形成該5層RC框架基于Bouc-Wen恢復(fù)力模型SIMULINK彈塑性動力時程仿真模型。

分別對上述模型的彈塑性動力時程分析Y向輸入PGA=400 gal的El-centro波，圖6為框架首層位移和速度反應(yīng)，可以看出根據(jù)ANSYS有限元與根據(jù)SIMULINK仿真得到的樓層位移/速度反應(yīng)在一定程度上擬合較好，驗(yàn)證了有限元模型的可靠性。

3.2 ADRC控制器參數(shù)尋優(yōu)

將上述Bouc-Wen恢復(fù)力模型S-Function模塊與其他SIMULINK模塊搭建成遺傳算法優(yōu)化ADRC控制器參數(shù)的平臺。ESO與NLSEF模塊參數(shù)取值為

圖5 材料的單軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線

圖6 El-centro波首層位移/速度時程

進(jìn)行遺傳算法優(yōu)化時外擾選擇為PGA=400 gal的 Taft波 ，圖 7(a)與 圖 7(b)為 參 數(shù)β01、β02、β03、γ1、γ2尋優(yōu)SIMULINK模型圖。其中β01=897、β02=857.36、β03=3857.8、γ1=39.5、γ2=35.4。

外部可調(diào)參數(shù)b0取值為300。

圖7 參數(shù)尋優(yōu)的SIMULINK模型

3.3 ANSYS控制仿真

以ANSYS為主仿真平臺，分別選取PGA=200 gal的沖擊加速度、PGA=400 gal的Taft波、天津波、蘭州人工波在Y向輸入RC框架NLFEM，每種外擾工況下控制仿真又可分為有控制和無控制兩種工況。(注：各圖中的曲線A代表有控制工況，曲線B代表無控制工況)。

主動控制力可由主動質(zhì)量阻尼控制系統(tǒng)施加,但本文主要研究ADRC控制器在考慮建筑結(jié)構(gòu)非線性振動主動控制模擬時的算法可實(shí)現(xiàn)性，不對驅(qū)動器做深入設(shè)計(jì)，但在此對驅(qū)動器出力能力進(jìn)行限制，假定驅(qū)動器最大出力為400 kN，樓層最大位移小于0.0001 m，且最大速度小于0.002 m/s時，驅(qū)動器停止運(yùn)行。

(1)PGA=200 gal的階躍荷載

在ANSYS平臺上，在t=0 s施加PGA=200 gal的加速度沖擊，采樣時間步長為0.02 s。從圖8中可以看出，沖擊荷載作用下，未控工況下，t=7 s時結(jié)構(gòu)尚有較小振動；ADRC有控工況下，t=1 s時結(jié)構(gòu)已經(jīng)沒有輕微振動，振動收斂較快，控制效果明顯。

圖8 沖擊荷載作用下一層有控位移

(2)PGA=400 gal的Taft波、蘭州人工波、天津波

考慮結(jié)構(gòu)體系塑性，在某些特定地震荷載作用下，體系屈服后將不會在其初始的平衡位置附近震蕩。屈服引起體系的位移偏離其初始平衡位置，體系在新的平衡位置震蕩，直到下一次屈服時，此平衡位置改變，因此在地面停止震動后，體系通常將最終停留在與其初始平衡位置不同的位置上(即保持永久變形)[10]。無控制時，在Taft波、蘭州人工波輸入下計(jì)算結(jié)果見表1，各層層間相對位移均小于前述Bouc-Wen恢復(fù)力模型中的層間相對極限屈服位移di，此時為彈性階段振動，振動平衡位置為位移零點(diǎn)；而天津波輸入下（見圖11、表1），首層層間相對側(cè)移d1超出極限屈服位移，此時為塑性階段振動，振動平衡位置相對于位移零點(diǎn)發(fā)生偏移。

表1 位移絕對值峰值控制效果/10-2m

有控制時，3種地震波輸入下，各層間位移均控制在較小范圍（見圖9至圖12及表1），均小于層間相對極限屈服位移di，振動屬彈性階段，表明ADRC控制器具有良好的理論控制效果。

圖9 Taft波作用下一層有控位移

圖11 天津波作用下無控位移

圖12 天津波作用下一層有控位移

對比3種地震輸入下ANSYS主仿真平臺有控和無控峰值結(jié)果(見圖13及表1、表2)，地震作用下各層的控制力峰值均小于200 kN，各層有控位移峰值均有很大程度減小，ADRC控制效果整體較為明顯，天津波作用下體系位移有控與無控對比進(jìn)一步說明ADRC控制器對結(jié)構(gòu)振動控制的理論可實(shí)現(xiàn)性與理論控制效果。

圖13 位移絕對值峰值圖

表2 控制力絕對值峰值/kN

4 結(jié)語

本文系統(tǒng)論述了ADRC控制器用于建筑結(jié)構(gòu)振動控制時算法的改變，利用分離性原理和遺傳算法對控制器參數(shù)進(jìn)行分步整定優(yōu)化，同時將通用有限元ANSYS作為結(jié)構(gòu)振動控制主仿真平臺，建立8度烈度地區(qū)某5層鋼筋混凝土框架非線性有限元模型（NLFEM），最后在ANSYS中對被控結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行階躍荷載與地震波輸入時的主動控制仿真，得出如下結(jié)論：

(1)通過仿真實(shí)驗(yàn)效果對比發(fā)現(xiàn)，ADRC控制器對于地震外擾抑制效果明顯。通過輸入階躍荷載時結(jié)構(gòu)振動無控和有控對比，可知ADRC控制器對于階躍荷載的振動控制效果明顯，振動收斂很快。外擾作用下良好的控制效果進(jìn)一步說明ADRC控制策略的算法理論可實(shí)現(xiàn)性。

(2)在結(jié)構(gòu)振動控制中應(yīng)用ADRC控制策略存在控制器參數(shù)較多而整定較困難的問題，為克服這一不利因素，則源于過程控制、不依賴于被控對象精確模型的ADRC控制策略在結(jié)構(gòu)振動控制的應(yīng)用前景會十分廣泛。

(3)考慮結(jié)構(gòu)非線性條件下進(jìn)行彈塑性控制時程分析，在某些外擾作用下，無控制時體系振動將會進(jìn)入塑性階段，體現(xiàn)在位移時程中其振動平衡位置將會偏離位移零點(diǎn)。

(4)以通用有限元ANSYS作為振動控制仿真的主運(yùn)行平臺，一定程度上擴(kuò)寬了主動控制仿真實(shí)現(xiàn)途徑，這不僅從理論上說明基于通用有限元軟件平臺考慮非線性條件下實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)主動控制模擬的可行性，而且為主動控制技術(shù)研究提供了新思路。