一類具有無窮時滯Lotka-Volterra模型的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性

鐘玲莉, 李樹勇

(1. 四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066； 2. 綿陽師范學院, 四川 綿陽 621000)

具有時滯的Lotka-Volterra模型大量出現于生物、人口等生態領域,為學者們廣泛關注和討論,尤其是解的穩定性等漸近性質更為學者們所重視[1-11],但由于測量等誤差,種群間相互作用的參數往往無法獲得精確值而只知道其上下界,這時研究區間動力系統的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性就顯得非常重要.最近,文獻[12]討論了具有有限時滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性,通過構造適當的Lyapunov泛函,利用區間動力系統穩定性理論,獲得了具有有限時滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性的充分條件;文獻[13]進一步討論具有有限時滯的Kolmogorov系統的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性,通過構造Lyapunov泛函,利用區間動力系統穩定性理論,獲得了具有有限時滯的Kolmogorov系統的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性的充分條件.受上述文獻的啟發,本文研究一類具有無窮時滯的Lotka-Volterra模型的魯棒穩定性和部分變元魯棒穩定性,通過構造Lyapunov泛函,使用區間動力系統的穩定性理論[14],運用Lyapunov-LaSalle定理[2],給出了系統全局漸近魯棒穩定和部分變元魯棒穩定的充分條件.

1 預備知識

考慮如下一類參數不確定的具有無窮時滯的Lotka-Volterra模型

(1)

本文假設:

(H2) 向量或矩陣的集合為

(H3) 對任意的r∈rI,A∈AI,B∈BI,D∈DI,方程(1)存在唯一的全局正解x(t;t0,φ);

考慮自治時滯微分系統

(2)

其中,xt=x(t+θ)(-∞<θ<0),f:C→Rn是一個連續映射且f(0)=0.假設系統(2)存在唯一解且連續地依賴于初始函數.記系統(2)過(t0,φ)的解為x(t;t0,φ).

對連續的泛函V:C|→R,定義

(3)

為V沿著(2)式的解的導數.

定義 1.1設x*=(y*,z*)是系統

(4)

的平衡態,其中,x=(y,z),y=(y1,y2,…,yk),z=(z1,z2,…,zl),k+l=n.

(i) 若對任意的ε>0,t0∈R,存在δ(ε,t0)>0,使得當‖(φ,ψ)‖≤δ時,有

|y(t;t0,φ,ψ)-y*|<ε,t≥t0,

則系統(4)的平衡態x*關于變元y部分穩定.

(ii) 若對任意的ε>0,t0∈R,存在b0(t0)>0和T(t0,ε,φ),使得當‖(φ,ψ)‖≤b0(t0)且t≥t0+T(t0,ε,φ)時,有|y(t;t0,φ,ψ)-y*|<ε,則系統(4)的平衡態x*關于變元y部分吸引.

(iii) 若系統(4)的平衡態x*關于變元y部分穩定且部分吸引,則系統(4)的平衡態x*關于變元y部分漸近穩定.

定義

M=方程(2)在E中的最大不變集.

(5)

引理 1.4[2](Lyapunov-LaSalle定理) 若V是G上的Lyapunov泛函,xt(φ)∈G是(2)式的有界解,則ω(φ)?M,即x(t;t0,φ)→M,當t→+∞.

2 主要結論

定理 2.1假設:

1)aii<0,i=1,2,…,n;

i=1,2,…,n.

(6)

因為G是M矩陣[15],所以對每一個βi>0,存在常數ci>0(i=1,2,…,n)使得

j=1,2,…,n.

(7)

構造Lyapunov泛函

(8)

由(3)式得

G={φ:φ∈C,φ(0)>0},

(9)

1)aii<0;

2)G:=-(diag(a11,…,ann)+((1-δij)×

|aij|)n×n+(|bij|)n×n+|dij|n×n)是M矩陣,

則確定方程

(10)

定理 2.4假設:

2) 存在常數cj>0,j=1,2,…,n,使得

(11)

j=m+1,m+2,…,n,

(12)

則系統(1)的平衡態x*關于變元x1,x2,…,xm部分魯棒穩定,關于變元xm+1,xm+2,…,xn部分全局漸近魯棒穩定.

證明構造Lyapunov泛函

(13)

則

(14)

所以

V(t0),t≥t0.

(15)

因為

V(t0)<∞,

(16)

Q<∞,

(17)

V(t0), t≥t0,

(18)

這意味著|ewj(t)-1|∈L1[0,∞).

下面,通過構造一個不同的Lyapunov泛函,得到系統(1)更方便應用的部分魯棒穩定的充分條件.

定理 2.5假設下面成立:

(19)

(20)

其中

|aij+aji|*=max{|aij+aji|},

則系統(1)的平衡態x*關于變元x1,x2,…,xm部分魯棒穩定,關于變元xm+1,xm+2,…,xn部分全局漸近魯棒穩定.

證明取正常數di,i=1,2,…,n,使得

i=1,2,…,m,

(21)

i=m+1,m+2,…,n.

(22)

構造Lyapunov函數

(23)

(ewi(t)-1)(ewj(t)-1)|+

類似定理2.4的討論可證.

(24)

i=m+1,m+2,…,n,

(25)

3 例子和數值模擬

例 3.1考慮如下2維參數不確定的具有無窮時滯的Lotka-Volterra系統

(26)

為討論方便,不妨取

rI:={r=(0.8,0.4)T},

容易計算出

(27)

對任意的B∈BI,因為

(28)

是M矩陣,則由定理2.1,系統(26)全局漸近魯棒穩定.

現在,使用Milstein方法[16]證實這個結果.設ξ1(θ)=0.32eθ,ξ2(θ)=0.18eθ,μ12(θ)=μ21(θ)=eθ,θ∈(-∞,0].考慮下面的離散化方程:

x1(k+1)=x1(k)+[r1+a11x1(k)+

b11x1(k-τ11/Δt)+0.09d12e-kΔt+

(29)

x2(k+1)=x2(k)+[r2+a22x2(k)+

b22x2(k-τ22/Δt)+0.16d21e-kΔt+

(30)

在圖1中,取μ12(θ)=μ21(θ)=eθ,ξ1(θ)=0.32eθ,ξ2(θ)=0.18eθ,τ11=τ22=1,r1=0.8,r2=0.4,a11=-3,a22=-2.5,b11=-1.3,b22=-1,d12=-0.9,d21=-0.9,Δt=0.01,則x*=(0.171,0.070),因為G為M矩陣,由推論2.3,x*全局漸近穩定,圖1證明了這個結果.在圖2中取b11=-5,b22=-3,其余參數與圖1相同,此時G不是M矩陣,圖2表明系統(26)不穩定.

圖 1 當b11=-1.3,b22=-1時系統(26)全局漸近穩定

圖 2 當b11=-5,b22=-3時系統(26)不穩定