無限滯后測度泛函微分方程的解關于參數的可微性

李寶麟, 徐志燕

(西北師范大學 數學與統計學院, 甘肅 蘭州 730070)

1 預備知識

Slavík[1]研究了一類無限滯后測度泛函微分方程

(1)

并且證明在一定條件下此方程與廣義常微分方程的等價關系.在文獻[2]中,方程(1)是測度微分方程的積分形式:

Dx=G(s,xs)Dg,

(2)

其中,g(s)是不減函數,Dx、Dg是函數x和g的分布導數.方程(1)右端是Kurzweil-Stieltjes積分.文獻[3]研究了無限滯后測度泛函微分方程的解關于初值條件的可微性.

文獻[4]研究了廣義常微分方程的解關于初值條件和參數的可微性.

本文在文獻[1,4]的基礎上,借助無限滯后測度泛函微分方程與廣義常微分方程的等價關系,考慮如下方程

(3)

的解關于參數的可微性.

方程(3)等價于積分方程

(4)

其中,x是取值在Rn上的函數,符號xs:(-∞,0]→Rn,xs(τ)=x(s+τ)表示滯后的長度,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ}.

無限滯后測度泛函微分方程滿足的相空間H0?G((-∞,0],Rn)是賦范線性空間,其中的范數為‖·‖*,假設賦范線性空間H0滿足下列條件[1]:

(H1)H0是完備的;

(H2) 如果x∈H0且t<0,則xt∈H0;

(H3) 存在有界函數k1:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,則‖x(t)‖≤k1(t)‖x‖*;

(H4) 存在一個函數k2:(0,∞)→[1,∞)使得如果σ>0,x(t)∈H0且t∈[-σ,0],則

(H5) 存在有界函數k3:(-∞,0]→R+使得如果x∈H0且t≤0,則

‖xt‖*≤k3(t)‖x‖*;

例 1.1[1]對于賦范線性空間H0滿足條件(H1)～(H6)的最簡單的例子是有界正則函數空間BG((-∞,0],Rn),它包含了(-∞,0]上的全體有界正則函數,并且賦予上確界范數

y∈BG((-∞,0],Rn).

可以直接驗證條件(H1)～(H5)是滿足的;特別地,對任意的t≤0,k1(t)=k3(t)=1且對任意的σ>0,k2(σ)=1時,條件(H3)～(H5)是成立的.由文獻[1]中引理2.3可知,條件(H6)成立.

設X是Banach空間,O?X是一個開子集.f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足如下條件:

(A2) 存在1個關于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數M:[t0,t0+σ]→R+,滿足

其中(x,λ)∈O×Λ,[a,b]?[t0,t0+σ];

(A3) 存在1個關于g的Kurzweil-Stieltjies可積函數L:[t0,t0+σ]→R+,滿足

其中,(x,λ1),(y,λ2)∈O×Λ,[a,b]?[t0,t0+σ](假設右端積分是存在的).g:[t0,t0+σ]→R是不減函數,P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}?H0,H0?G((-∞,0],Rn),H0是滿足條件(H1)～(H6)的Banach空間,G((-∞,0],Rn)是正則函數f:(-∞,0]→Rn構成的空間,稱1個函數f:[a,b]→Rn是正則函數,即極限

均存在.

本文利用廣義常微分方程的解關于參數的可微性討論無限滯后測度泛函微分方程(3)的解關于參數的可微性.

2 預備知識

τi∈[αi-1,αi]?(τi-δ(τi),τi+δ(τi)),

定義 2.1[4]1個矩陣值函數F:[a,b]×[a,b]→Rn×m稱為在[a,b]上Kurzweil可積的,如果存在1個矩陣I∈Rn×m,使得對任意的ε>0,存在定義在[a,b]上的正值函數δ,使得對[a,b]上的任何δ-精細分化D,有

(5)

特別地,當f:[a,b]→Rn且g:[a,b]→R,F(τ,t)=f(τ)g(t)時,記作

定義 2.2[4]設Ω?X×R,(x,t)∈Ω,稱函數x:[a,b]→X為廣義常微分方程

(6)

在區間[a,b]?R上的解,是指對所有的(x(t),t)∈Ω,且對每個s1,s2∈[a,b],有

成立.

定義 2.3[1]設X是1個Banach空間,O?X,稱F:O×[t0,t0+σ]→X屬于F(O×[t0,t0+σ],h,k),如果F滿足下列條件:

(F1) 存在1個不減函數h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X滿足對任意的x∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2)-F(x,s1)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(7)

(F2) 存在1個不減函數k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]→X滿足對任意的x,y∈O,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2)-F(x,s1)-F(y,s2)+F(y,s1)‖≤

‖x-y‖·|k(s2)-k(s1)|.

(8)

引理 2.2[4]設函數U:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積函數,假設存在函數f:[a,b]→Rn和g:[a,b]→R,滿足f是正則的,g是不減的,且

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤

f(τ)|g(t)-g(s)|,τ,t,s∈[a,b],

(9)

則

引理 2.3[5]設U:[a,b]×[a,b]→Rn×m是Kurzweil可積的,u:[a,b]→Rn×m可表示為

s∈[a,b].

(10)

如果U關于第二個變元是正則的,則u也是正則的,且滿足

u(τ+)=u(τ)+U(τ,τ+)-U(τ,τ),

τ∈[a,b),

u(τ-)=u(τ)+U(τ,τ-)-U(τ,τ),

τ∈(a,b].

此外,如果存在1個不減函數h:[a,b]→R使得

‖U(τ,t)-U(τ,s)‖≤|h(t)-h(s)|,

τ,t,s∈[a,b],

則

‖u(t)-u(s)‖≤|h(t)-h(s)|,

t,s∈[a,b].

引理 2.4[5]設h:[a,b]→[0,+∞)是不減的左連續函數,k>0,l≥0,如果ψ:[a,b]→[0,+∞)是有界的且滿足

則對任意的ξ∈[a,b],有ψ(ξ)≤kel(h(ξ)-h(a)).

引理 2.5[4]設F:[a,b]×[a,b]→Rn×n滿足(7)式,令y,z:[a,b]→Rn使得

s∈[a,b],

則z在[a,b]上是正則的.

引理 2.6[4]設F:[a,b]×[a,b]→Rn×n是Kurzweil可積的,且存在一個左連續函數h,使得F滿足(7)式,則對任意的z0∈Rn,初值問題

(11)

有唯一解z:[a,b]→Rn.

引理 2.7[1]如果空間H0?G((-∞,0],Rn)滿足條件(H1)～(H6),則對于任意的a∈R,下列條件成立:

1)Ha是完備的;

2) 如果x∈Ha且t≤a,則xt∈H0;

3) 如果t≤a且x∈Ha,則‖x(t)‖≤k1(t-a)‖x‖*;

4) 如果σ>0,且函數x∈Ha+σ在[a,a+σ]中取值,則

5) 如果x∈Ha+σ且t≤a+σ,則‖xt‖*≤k3(t-a-σ)‖x‖*;

設B=O×Λ,且賦予L1范數.當(x,λ)∈B,則

‖x‖+‖λ‖,

因此定義2.3可重新敘述為定義2.4.

定義 2.4[6]設X是1個Banach空間,O?X,稱F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X屬于F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),如果滿足下列條件:

(F1) 存在1個不減函數h:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X滿足對任意的(x,λ)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2,λ)-F(x,s1,λ)‖≤

|h(s2)-h(s1)|.

(12)

(F2) 存在1個不減函數k:[t0,t0+σ]→R,使得F:O×[t0,t0+σ]×Λ→X滿足對任意的(x,λ1),(y,λ2)∈B,s1,s2∈[t0,t0+σ]有

‖F(x,s2,λ1)-F(x,s1,λ1)-

F(y,s2,λ2)+F(y,s1,λ2)‖≤(‖x-y‖+

‖λ1-λ2‖)·|k(s2)-k(s1)|.

(13)

3 主要結果

定理 3.1設O是Ht0+σ的1個子集,t≥t0,P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]},φ∈P×Λ,g:[t0,t0+σ]→R是不減函數,f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn滿足條件(A1)～(A3),F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)由(16)式給出且在Ht0+σ中取值.如果(y,λ)∈O×Λ是測度泛函微分方程

的一個解,則如下形式的函數(x,λ):[t0,t0+σ]×Rl→O×Λ,

(x(t,λ),λ)(v)=

是廣義常微分方程

t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ

(15)

的一個解,其中x∈O,t∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,F:O×[t0,t0+σ]×Λ→G((-∞,t0+σ],Rn)有

F(x,t,λ)(v)=

的一個解.

是廣義常微分方程

的一個解(詳細證明過程見文獻[1]中定理3.6),即定理得證.

定理 3.2設f:P×[t0,t0+σ]×Λ→Rn是連續函數,其導數fx、fλ存在且在P×[t0,t0+σ]×Λ上連續,并且滿足條件(A1)～(A3),其中P={xt:x∈O,t∈[t0,t0+σ]}?H0,H0?G((-∞,0],Rn)是滿足條件(H1)～(H6)的Banach空間,t0∈R,σ>0,O?Ht0+σ.如果g:[t0,t0+σ]→R是一個不減函數,且對于任意的λ∈Λ,λ0∈Rl,ρ>0,Λ={λ∈Rl;‖λ-λ0‖<ρ},x0:Λ→O,初值問題(3)等價于廣義常微分方程

λ∈Λ,x(t0)=x0(λ),

(17)

且(17)式在[t0,t0+σ]×Λ上存在唯一解.令x(t,λ)是(17)式的解在t∈[t0,t0+σ]上的值.

進一步,如果下列條件成立:

2) 函數x0在λ0處可微.

Fλ(x(τ,λ0),t,λ)],s∈[t0,t0+σ]

(18)

的唯一解.

證明根據假設,對于任意的x,y∈O,t∈[t0,t0+σ],t0≤t1

‖fx(xt,t,λ)‖≤A1,

‖fx(xt,t)-fx(yt,t)‖≤A2(‖x-y‖*)×

‖fλ(xt,t,λ)‖≤B1,

‖fλ(xt,t)-fλ(yt,t)‖≤B2(‖x-y‖*)×

Fx(x,t2,λ)(τ)-Fx(x,t1,λ)(τ)=

對于任意的x∈O,由引理2.7的第四條可得:

‖Fx(x,t2,λ)-Fx(x,t1,λ)‖*≤

Fx(x,t1,λ)(τ)‖=

同理可得

‖Fλ(x,t2,λ)-Fλ(x,t1,λ)‖*≤

另外,設z1=(x,λ1),z2=(y,λ2),且z1,z2∈O×Λ,則

‖Fx(x,t2,λ1)-Fx(x,t1,λ1)-

Fx(y,t2,λ2)+Fx(y,t1,λ2)‖*=

‖Fx(z1,t2)-Fx(z1,t1)-

Fx(z2,t2)+Fx(z2,t1)‖*≤

Fx(z1,t1)(τ)-Fx(z2,t2)(τ)+

Fx(z2,t1)(τ)‖=

由引理2.7的第五條可得,上式等于

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*).

同理有

‖Fλ(x,t2,λ1)-Fλ(x,t1,λ1)-

Fλ(y,t2,λ2)+Fλ(y,t1,λ2)‖*≤

(k(t2)-k(t1))(‖x-y‖*+‖λ1-λ2‖*),

其中

L(s)=max(A2,B2),

即證明了

Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k).

由于O×[t0,t0+σ]×Λ是閉的,根據向量值函數的平均值定理[4],且Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),可得

‖F(x,t2,λ1)-F(x,t1,λ1)-

F(y,t2,λ2)+F(y,t1,λ2)‖=

|h(t2)-h(t1)|·

(‖x-y‖+‖λ1-λ2‖),

(19)

其中,z1=(x,λ1),z2=(y,λ2)且z1,z2∈O×Λ.

根據假設有

(x(s,λ),λ)=(x0(λ),λ)+

λ∈Λ,s∈[t0,t0+σ].

由引理2.3可知,在區間[t0,t0+σ]上,每個解x都是正則的左連續函數.如果Δλ∈Rl使得‖Δλ‖<ρ,則

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

其中

J(τ,t,λ)=F(x(τ,λ0+Δλ),t,λ)-

F(x(τ,λ0),t,λ).

由(19)式可得

‖J(τ,t1,λ1)-J(τ,t2,λ2)‖=

‖F(x(τ,λ0+Δλ),t1,λ1)-

F(x(τ,λ0),t1,λ2)-

F(x(τ,λ0+Δλ),t2,λ1)+

F(x(τ,λ0),t2,λ2)‖≤(‖x(τ,λ0+Δλ)-

x(τ,λ0)‖+‖λ1-λ2‖)|h(t1)-h(t2)|.

由引理2.2,對于任意的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ有

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)+

‖λ1-λ2‖)dh(τ).

因此,利用引理2.4,可得

‖x(s,λ0+Δλ)-x(s,λ0)‖+

‖λ1-λ2‖≤

(‖x0(λ0+Δλ)-x0(λ0)‖+

‖λ1-λ2‖)eh(t0+σ)-h(t0),

s∈[t0,t0+σ].

從而,對所有的s∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.當Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0時,(x(s,λ0+Δλ),λ1)→(x(s,λ0),λ2).

令A(τ,t,λ)=(Fx(x(τ,λ0),t,λ),Fλ(x(τ,λ0),t,λ)),因為Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k),則A(τ,t,λ)滿足(19)式.由引理2.6可知,(18)式存在唯一解Z:O×Λ→Rn(詳細證明見文獻[4]中定理4.4).由引理2.5可知,解Z是正則的,因此存在一個M>0,對于任意的t∈[t0,t0+σ],滿足‖Z(t)‖≤M.

對于任意的Δλ∈Rl當‖Δλ‖<ρ,設

φ(r,Δλ)=

r∈[t0,t0+σ],λ1,λ2∈Λ.

下面證明對所有的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ,若Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則φ(r,Δλ)→0.

對于任意的ε>0,存在δ>0使得如果Δλ∈Rl,‖Δλ‖<ρ,則

‖(x(t,λ0+Δλ),λ1)-(x(t,λ0),λ2)‖<

ε,t∈[t0,t0+σ]

及

從而

φ(t0,Δλ)=

φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)=

其中

W(τ,t,λ)=

W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)=

令

F(1)=

(Fx(x(τ,λ0),t,λ0),Fλ(x(τ,λ0),t,λ0)),

F(2)=

(Fx(x(τ,λ0),s,λ0),Fλ(x(τ,λ0),s,λ0)),

則

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

因為函數F(x,t,λ)在O×[t0,t0+σ]×Λ上相對于(x,λ)是連續可微的,并且定義φ(r,Δλ),對于任意的ε>0,t,s∈[t0,t0+σ],可得

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤2ε×

‖F(1)-F(2)‖‖φ(τ,Δλ)‖≤2ε×

因此有(利用Fx,Fλ∈F(O×[t0,t0+σ]×Λ,h,k))

‖W(τ,t,λ1)-W(τ,s,λ2)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t)-h(s)|‖φ(τ,Δλ)‖≤

2ε(‖φ(τ,Δλ)‖+M)+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖,

從而,利用三角不等式得

‖φ(r,Δλ)‖≤‖φ(r,Δλ)-φ(t0,Δλ)‖+

2|h(t0+σ)-h(t0)|‖φ(τ,Δλ)‖)dτ≤

ε(2Mσ+1)+2(ε+(h(t0+σ)-

由引理2.4可得

‖φ(r,Δλ)‖≤ε(2Mσ+1)e2(ε+(h(t0+σ)-h(t0)))σ.

對于任意的r∈[t0,t0+σ],λ∈Λ.當ε→0+,如果Δλ→0,‖λ1-λ2‖→0,則φ(r,Δλ)→0.證畢.