加權(quán)空間中帶乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程

王云肖, 舒 級(jí), 楊 袁, 李 倩, 汪春江

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

近年來,在物理、生物、化學(xué)等領(lǐng)域關(guān)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程已被廣泛研究與應(yīng)用,例如分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程[1-3]、分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz方程、分?jǐn)?shù)階Landau-Lifshitz-Maxwell方程和分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程[4-7].

分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程能在分形色散的介質(zhì)中描述動(dòng)力過程.文獻(xiàn)[8-12]討論了關(guān)于確定性的Ginzburg-Landau方程,并討論了其長(zhǎng)時(shí)間行為以及分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程的適定性和動(dòng)力學(xué)行為.對(duì)于隨機(jī)分?jǐn)?shù)階Ginzburg-Landau方程,文獻(xiàn)[13-18]討論了其漸近動(dòng)力學(xué)和隨機(jī)吸引子的存在性.無界區(qū)域中以及非自治的情況在文獻(xiàn)[19-21]中有所介紹.由于L2和L2×L2空間具有平移不變性,得到的解不包含行波解,從而就遺漏了一些解.因此,選取更大的相空間使其包含行波解等其他重要的解,同時(shí)又要保證吸引子的存在性,其中一個(gè)難點(diǎn)就是得到解的漸近緊性,漸近緊性可以用來得到緊吸收集的存在性.因此,需要在加權(quán)空間中討論其隨機(jī)吸引子[22-23].

本文考慮如下加權(quán)空間中帶乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程

du=[-(λ+iβ1)(-Δ)αu-

(κ+iβ2)|u|2σu+δu+g(x,t)]dt+

uεh(x)dW(t),x∈Rn,t>τ,

(1)

具有初始條件

u(x,τ)=uτ(x),x∈Rn,

t>τ,τ∈R,

(2)

首先給出隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的一些相關(guān)知識(shí).若(Ω,F,P)是一個(gè)概率空間,{θ:Ω→Ω},t∈R+是一簇保測(cè)度變換,并且映射(t,ω)|→θtω是可測(cè)的,θ0=IX,θt+s=θt·θs,其中,s,t∈R,則(θt)t∈T是一個(gè)流,((Ω,F,P),(θt)t∈T)是一個(gè)可測(cè)動(dòng)力系.

定義 1[14]設(shè)(X,d)是可分的距離空間,F是Borelσ-代數(shù),θt是(Ω,F,P)對(duì)應(yīng)的保測(cè)度變換,若可測(cè)映射

在X上滿足：

1)S(0,ω)=IX;

2) 對(duì)任意的s,t∈R,ω∈Ω,有

S(t+s,ω)=S(t,θsω)°S(s,ω),

其中° 代表復(fù)合算子;

3)S(t,ω):X→X是連續(xù)的；

那么稱S是一個(gè)連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

定義 2[14]給定一個(gè)隨機(jī)集K,集合

稱為K的Ω-極限集.

定義 3[17]若S是隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),存在隨機(jī)緊集ω|→A(ω)滿足以下條件:

1)A(ω)是嚴(yán)格不變的,即對(duì)于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω);

2)A(ω)吸引所有確定有界集B?X；

那么稱A(ω)為S的隨機(jī)吸引子.

定理 1[18]假設(shè)S是Polish空間上的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),若存在緊集ω|→K(ω)吸收每一有界非隨機(jī)集B∈X,那么集合

是S的隨機(jī)吸引子.

接下來給出交換子估計(jì)的相關(guān)引理[15].

引理 1設(shè)u∈Lq,并且對(duì)于u的m階導(dǎo)數(shù)為Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.對(duì)于Dju,0≤j

并有

引理 2假設(shè)S>0,并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

則有

‖f‖Hs,p3‖g‖p4),

C(‖▽f‖p1‖g‖Hs-1,p2+‖f‖Hs,p3‖g‖p4).

下面給出分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子和分?jǐn)?shù)階Sobolev空間[23].

令H2α(Rn)表示在標(biāo)準(zhǔn)α下這個(gè)完備Sobolev空間

根據(jù)定義(-Δ)α,有引理3.

引理 3若f,g∈H2α(Rn),則

其中α1和α2是非負(fù)的且α1+α2=α.

2 隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程的解及其對(duì)應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

給出在加權(quán)空間中對(duì)于隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程生成一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).研究問題(1)和(2)的解在加權(quán)Sobolev空間下的一個(gè)加權(quán)函數(shù)

ξ(x)=(1+|x|2)-b,x∈Rn

其中{u:Rn→R}有界,且

且

ξβ(x)=(1+|βx|2)-b,x∈Rn,

且

規(guī)定t∈R,在R上定義一個(gè)轉(zhuǎn)化θ1,t為

θ1,t=τ+t,τ∈R,

表示為

Ω=ω∈C(R,R):ω(0)=0.

接下來,考慮概率空間(Ω,F,P),F是由Ω中產(chǎn)生的Borelσ-代數(shù),P是在(Ω,F)上對(duì)應(yīng)的Wiener測(cè)度,同時(shí)對(duì)于時(shí)間變換定義為

θ2,tω(·)=ω(·+t)-ω(t),ω∈Ω,t∈R,

則(Ω,F,P,(θ2,t)t∈R)是度量動(dòng)力系統(tǒng).

接下來,討論帶有乘性噪聲的隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程可以生成一個(gè)連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).由于帶有乘法噪聲的非自治隨機(jī)分?jǐn)?shù)階非自治Ginzburg-Landau方程可以簡(jiǎn)化為帶有可以根據(jù)合適變化的隨機(jī)參數(shù)的方程,則有

且有隨機(jī)偏微分方程:

dy+ydt=dW(t),

z(θ2,tω)=h(x)y(θ2,tω),

e2σεz(θ2,tω)≤r(ω),

(3)

其中在P-a.e.ω∈Ω下r(ω)滿足

(4)

因此,對(duì)于P-a.e.ω∈Ω有

(5)

令

v(t,τ,ω,v0)=u(t,τ,ω,u0)e-εz(θtω),

其中u(t,τ,ω,u0)是問題(1)和(2)的解,v(t,τ,ω,v0)滿足

(κ+iβ2)e2σεz(θ2,tω)|v|2σv+δv+

g(x,t)e-εz(θ2,tω)+εz(θ2,tω)v,

(6)

初值條件

v0=u0e-εz(θ2,tω),x∈Rn,

且

γ<0.

φ(t,τ,ω,u0)=v(t,τ,ω,v0)=

u(t,τ,ω,u0)e-εz(θ2,tω).

φ(t,τ,ω,v0)=u(t,τ,ω,u0),

值得注意的是,這2個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ和φ是等價(jià)的.若φ有一隨機(jī)吸引子,容易證得φ也有一隨機(jī)吸引子.因此,僅僅需要考慮隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ.

3 解的一致估計(jì)以及隨機(jī)吸引子的存在

在此,對(duì)當(dāng)τ

引理 4對(duì)于任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,使得v(t,τ,ω,v0)滿足

t≥T(τ,ω,B),

t≥T(τ,ω,B).

證明(6)式與ξβv作內(nèi)積且取實(shí)部,有

(7)

首先,估計(jì)(7)式等號(hào)右邊第二項(xiàng),有

(8)

對(duì)于第一項(xiàng)和第三項(xiàng),有

(9)

(10)

根據(jù)(8)～(10)式,有

(11)

(11)式兩邊同時(shí)乘eγt且在(τ-t,τ),t∈R+上積分,有

(12)

將ω替換為θ2,-τω,有

v(s,τ-t,θ2,-τω,vτ-t)|2dxds≤

則存在T=T(τ,ω,D)≥0,vτ-t∈D(τ-t,θ2,-tω)且D具有緩增性,有

e-γt‖vτ-t‖2≤1,t≥T,

t≥T(τ,ω,B).

通過以上不等式,有

t≥T(τ,ω,B).

證畢.

引理 5對(duì)于任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,則解v(t,τ,ω,v0)滿足

t≥T(τ,ω,B).

證明注意到eγs≥eγ(1-τ)對(duì)于所有s∈(τ-1,τ).因此,通過(13)式有

引理 6對(duì)任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,則解v(t,τ,ω,v0)滿足

t≥T(τ,ω,B).

證明(6)式與ξ(-Δ)αv作內(nèi)積且取實(shí)部,有

e2σεz(θ2,tθ-τω)|v|2σv(-Δ)αvdx+

(14)

首先,估計(jì)(14)式等號(hào)右邊第三項(xiàng),有

(15)

|v|2σv(-Δ)αvdx|=

(16)

有

m=2(δ+εz(θ2,tω)+

令t≥0,t∈R,ω∈Ω.對(duì)(17)式在s∈[τ-1,τ]下進(jìn)行積分,得到

(18)

將ω替換為θ2,-τω,得到

因此

證畢.

引理 7對(duì)任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,則解v(t,τ,ω,v0)滿足

證明有

m=2(δ+εz(θ2,tω)+

令t≥τ,t∈R,ω∈Ω.對(duì)(17)式在s∈[τ-t,τ]下進(jìn)行積分,得到

且

因此

引理 8對(duì)任何τ∈R,ω∈Ω,存在T(τ,ω,B)≥0,則解v(t,τ,ω,v0)滿足

t≥T(τ,ω,B).

證明通過引理7,將τ替換為t且t≥T1,有

引理 9對(duì)任何τ∈R,ω∈Ω,存在

且

R*=R*(τ,ω,ε)>0,

|v(τ,τ-t,θ2,-τω,vτ-t(θ-τω))|2dx≤η.

證明假設(shè)一光滑函數(shù)χ,對(duì)任何s≥0,使得0≤χ(s)≤1,有

(19)

首先,估計(jì)(19)式等號(hào)右邊第一項(xiàng),有

(20)

(21)

通過以上不等式有

通過引理4和引理6,存在T1=T1(B,ω)>0使得對(duì)所有t≥T1,有

(23)

(22)式兩邊同乘eγt,在(T1,t)上積分,使得對(duì)所有t≥T1有

(24)

將(24)式中ω替換為θ2,-τω,對(duì)所有t≥T1有

(25)

接下來,將對(duì)(25)式等號(hào)右邊的每項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).對(duì)第一項(xiàng),將τ替換為T1且對(duì)引理4中將ω替換為θ2,-τω,有

(26)

因此,存在T2=T2(B,ω,ε)>T1使得對(duì)所有t≥T2,有

通過引理1,存在T3=T3(B,ω)>T1,將τ替換為t,對(duì)(25)式等號(hào)右邊第二項(xiàng),有

且

通過引理8,存在T4=T4(B,ω)>T1,對(duì)(25)式等號(hào)右邊第四項(xiàng),有

將s替換為t,得

對(duì)所有t≥T5和k≥R2,有

令

T*=T*(B,ω,ε)=max{T1,T2,T3,T4,T5}.

通過以上不等式,對(duì)所有t≥T*,k≥R*=max{R1,R2},有

這意味著對(duì)所有t≥T*和k≥R*,有

證畢.

接下來,證明在無界區(qū)域Rn中,由問題(6)生成的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性.通過引理4,則D中φ有閉的隨機(jī)吸收集.φ的D-拉回漸近緊被證明,其中會(huì)運(yùn)用到尾估計(jì).

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θτn-tnω))

B={B(ω)}∈D,

且

v0,n(θτn-tnω)∈B(θτn-tnω),

其中tn→∞.

證明令τn,tn→∞,B={B(ω)}∈D且

v0,n(θ2,τn-tnω)∈B(θ2,τn-tnω).

根據(jù)引理4,ω∈Ω時(shí),

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,v0,n(θ2,τn-tnω))→

根據(jù)引理4和引理8,存在

T1B=T0B(ω)+1

使得對(duì)所有t≥T1B,

(29)

令N2=N2(B,ω)充分大,當(dāng)n≥N2時(shí)有tn≥T1B.根據(jù)(29)式,對(duì)所有n≥N2,有

(30)

令

通過嵌入

的緊實(shí)性,同(30)式,根據(jù)R*到子序列,

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))→,

N3=N3(B,ω)

對(duì)所有n≥N3有

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

(31)

R**=R**(ω)>0,

使得

(32)

令R′=max{R*,R**}和N′=max{N1,N3},則根據(jù)(28)～(30)式,對(duì)所有n≥N′,

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

‖φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))-

由此可知

φ(τn,tn,θ2,τn-tnω,vτ-t,n(θ2,τn-tnω))→

根據(jù)定理1得: